Como indicamos nos procedimentos para análise dos dados, faremos uma análise das tarefas propostas na organização didática, das técnicas utilizadas para resolvê-las e do discurso tecnológico-teórico que fundamenta essas técnicas.
No contexto desta pesquisa, a organização didática é entendida, conforme Chevallard (1999), como o conjunto de todas as técnicas, tecnologias e teorias utilizadas pelo formador para pôr em prática um dado tipo de tarefa no quadro da instituição, que era o grupo de professores em formação. O formador não tinha a intenção de discutir suas práticas de formação – embora tenham ocorrido alguns diálogos nesse sentido, pois os professores sempre se remetiam às suas salas de aula de matemática –, mas, sim, favorecer que os professores entrassem em contato com a organização matemática pretendida, ou seja, que possibilitasse a construção de conhecimentos a respeito da demonstração no quadro da Geometria, mais especificamente, dos objetos que circundam o tema mediatriz.
A este respeito, Silva (2006, p. 6) destaca que:
[...] “ensinar um certo tema matemático” é um tipo de tarefa que consiste em “ensinar uma organização praxeológica de natureza matemática”. Assim, para ele o problema do professor de Matemática é construir praxeologias, de natureza didática e observar que seus componentes teóricos e tecnológicos podem tornar-se desacreditados quando novos tipos de tarefas problemáticas se apresentam.
A identificação de elementos praxeológicos, tais como a explicitação da tarefa, técnica e dos elementos tecnológico-teóricos relacionados aos conteúdos estudados no desenvolvimento de uma aula (nesse caso, uma formação de professores) ao analisar uma organização didática é tarefa do pesquisador (nossa).
Identificamos, assim, os aspectos técnicos e tecnológico-teóricos que foram usados no momento da formação. Em termos gerais, o formador utilizava a técnica de formação com base na Teoria das Situações Didáticas15, fazendo com que os professores em formação tomassem para si a responsabilidade de construção de seu conhecimento e, ao final, quando fomentava discussões a respeito das tarefas realizadas, promovia a sistematização dos tópicos emergentes (definições, propriedades, ...), em geral, elementos objetivados na organização didática.
Podemos, então, afirmar que a técnica utilizada pelo formador para colocar em jogo a organização matemática pretendida consistia em apresentar as tarefas aos professores, circular pelos grupos, encorajando-os a assumirem a responsabilidade pela construção de seus conhecimentos, promover momentos de socialização entre os grupos, sistematizar as ideias na lousa, permitindo, assim, que todos os professores pudessem se posicionar e, por fim, fazer a sistematização dos aspectos que pretendia tornar disponíveis, ou seja, explicitava parte da organização matemática almejada e que emergia das discussões em grupo.
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15 A Teoria das Situações Didáticas não foi exposta neste trabalho, por não ser nosso foco.
O entorno tecnológico-teórico tinha como referência a Teoria das Situações Didáticas, que é um dos aportes teóricos da Didática da Matemática16. A Teoria das Situações Didáticas era bastante discutida em nosso grupo de pesquisa, o que favoreceu que seus aspectos fossem respeitados.
Destacamos que nosso objetivo maior era desenvolver, com os professores em formação continuada, uma organização matemática na qual o contato com esta dava-se prioritariamente por meio de tarefas que pudessem permitir aos participantes construir a definição de mediatriz, e, com base nesta, justificar de modo formal, ou seja, fazer a demonstração de propriedades inerentes a esse objeto matemático, bem como justificar matematicamente, com base na Geometria Plana, algumas construções geométricas em que esse objeto era a principal ferramenta para a resolução do problema.
Desta forma, ao conceber a organização didática, focamos em tarefas que pudessem favorecer nosso objetivo. Podemos afirmar que esta foi também uma das técnicas utilizadas pelo formador para pôr em prática a organização concebida. Nesse sentido, os estudos teóricos realizados sobre os temas:
demonstração, Geometria, construções geométricas, formação de professores, ...
fizeram parte do discurso tecnológico-teórico.
Destacamos ainda que as tarefas propostas favoreceram o uso de um discurso tecnológico-teórico para justificar as técnicas utilizadas em sua realização, sobretudo, por termos como meta a construção de conhecimentos a respeito da demonstração em Geometria com o viés das construções geométricas. Assim, as tarefas favoreceram o uso de uma técnica fundamentada.
Por exemplo, o fato de termos pedido para se realizar a descrição do processo de construção utilizado na construção da mediatriz e justificar matematicamente a construção efetuada, pode ter possibilitado a emergência do discurso tecnológico-teórico que justificava a técnica utilizada na realização das tarefas.
As tarefas iniciais versaram sobre a construção da definição de mediatriz e demonstração de propriedades decorrentes da definição. Com base nessa definição e/ou propriedade, os professores tinham que fundamentar
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16 A expressão Didática da Matemática é o que se entende por Educação Matemática no contexto francês.
matematicamente as construções geométricas que foram propostas como tarefas, em sequência. Assim, seria possível perceber a disponibilidade do objeto geométrico mediatriz na solução de problemas de construção geométrica.
Desse modo, sete blocos de tarefas (compostos por uma ou mais tarefas – subtarefas) foram propostos. As tarefas propostas em cada bloco foram:
• BLOCO 1: construir o entorno tecnológico-teórico a respeito da mediatriz;
• BLOCO 2: construir a mediatriz;
• BLOCO 3: resolver problemas de construção geométrica utilizando a mediatriz;
• BLOCO 4: ampliar o alcance da técnica de construção da mediatriz;
• BLOCO 5: construir uma nova propriedade a respeito da mediatriz;
• BLOCO 6: demonstrar propriedades geométricas específicas; e
• BLOCO 7: solucionar dois desafios de construção geométrica.
Destacamos que o BLOCO 1 foi o único em que não apareceram tarefas de construção geométrica, pois como já mencionamos, antes de realizarmos essa pesquisa, participávamos do projeto como observadores e, muitas vezes, refletíamos sobre a construção do entorno tecnológico-teórico disponível no momento em que os professores deparavam-se com uma tarefa de demonstração Matemática. Tínhamos curiosidade de saber: será que construindo parte da tecnologia e teoria, a priori, o entorno tecnológico-teórico estaria disponível para os professores, quando fossem justificar suas técnicas ou, até mesmo, favorecer a emergência destas? Acreditamos que essa inquietação possibilitou que elaborássemos as subtarefas deste bloco, que tiveram esse propósito.
Para a análise das tarefas propostas, das técnicas utilizadas para resolvê-las e do discurso tecnológico-teórico que fundamenta essas técnicas tomamos por base os critérios de avaliação proposto por Chevallard (1999), ou seja, critérios para avaliar os tipos de tarefas, as técnicas e a pertinência do bloco tecnológico-teórico, que passamos a apresentar.
Critérios para avaliar os tipos de tarefas
• Critério de identificação: os tipos de tarefas T são apresentados de forma clara e bem identificados? Os conhecimentos disponíveis para resolvê-las estão postos de forma adequada? Ou não são conhecidos pelos sujeitos, mas, podem ser construídos por estes?
• Critério da razão de ser: a razão de ser dos tipos de tarefas T está explicitada? Ou pelo contrário, os tipos de tarefas aparecem sem um objetivo específico?
• Critério de pertinência: os tipos de tarefas considerados apresentam uma boa mostra das situações matemáticas encontradas? São pertinentes na visão da necessidade matemática dos alunos atualmente? Ou para o futuro? Ou pelo contrário, aparecem isoladas, sem relação verdadeira ou explícita com o resto da atividade matemática dos alunos?
Com relação a esses critérios, concordamos com Oliveira (2010, p. 115), quando com base em Artaud (1998) afirma que:
[...] o critério das razões de ser e o critério de pertinência podem ser tidos como complementares, uma vez que a explicitação da razão de ser de um tipo de tarefa pode implicar na sua representatividade para os alunos, tanto na atividade matemática como extramatemática.
Critérios para avaliar as técnicas
• As técnicas propostas são efetivamente elaboradas ou somente esboçadas ou servem apenas para aplicação imediata?
• São de fácil utilização?
• O seu alcance é satisfatório?
• São imprescindíveis para o cumprimento do tipo de tarefa proposto?
• São fidedignas e confiáveis, tendo em vista as condições de sua utilização no cumprimento do tipo de tarefa proposto?
• Podem evoluir de forma a ser usada futuramente?
Critérios para avaliar a pertinência do bloco tecnológico-teórico
• Dado um enunciado, o problema de sua justificativa está somente colocado ou é considerado tacitamente como pertinente, evidente, natural e bem conhecido?
• As formas de justificativas utilizadas são próximas daquelas matematicamente válidas? São parecidas com as formas canônicas em Matemática?
• Essas justificativas são adequadas, tendo em vista o problema colocado?
• Os argumentos utilizados são cientificamente válidos?
• Os resultados tecnológicos disponíveis são explorados de forma efetiva?
• O resultado tecnológico de uma determinada atividade pode ser explorado para produzir novas técnicas para resolver novas tarefas?
Assim, apresentaremos esta análise por BLOCOS de tarefas. Em cada bloco, inicialmente, explicitaremos as tarefas, faremos a análise dessas tarefas, das técnicas e do discurso tecnológico-teórico com base nos critérios apresentados. Em seguida, evidenciaremos as ações dos professores José e Mirtes com o objetivo de destacar os esquemas de utilização mobilizados e/ou construídos por eles para percebermos, como elaboraram o instrumento mediatriz, ou seja, analisaremos o processo de Gênese Instrumental. Contudo, nos remeteremos a outros participantes, quando para compreendermos o que se passou com José e Mirtes for necessário evocá-los. Além disso, evidenciaremos a aprendizagem desses professores em tópicos de Geometria Plana, advinda do processo de Gênese Instrumental.
Como sublinhamos nos procedimentos para a análise dos dados, buscaremos evidências que nos permitam inferir a respeito do processo Gênese Instrumental focando em cada um desses sujeitos, destacando a instrumentação e a instrumentalização. Ratificamos, com base em Artigue (2002), que compreender a Gênese Instrumental supõe considerar várias articulações:
A articulação entre os esquemas sociais (construídos no artefato por quem os concebeu em um ambiente sociocultural) e os esquemas individuais que o sujeito mobiliza;
A articulação entre dois tipos de esquemas de utilização: os esquemas de uso orientados na solução de tarefas específicas diretamente ligadas ao artefato e os esquemas de ação instrumentada que têm por objetivo desenvolver potencialidades do artefato e operar transformações sobre o objeto da tarefa;
A articulação entre dois componentes duais da gênese: uma componente de instrumentalização (relativa ao artefato, à descoberta e à seleção de comandos) e uma componente de instrumentação, relativa à emergência e a evolução de esquemas para a realização de uma tarefa ou de um conjunto de tarefas; e
A articulação entre o que o artefato foi designado para fazer (as limitações) e o que ele permite fazer (as potencialidades).
Apoiados nessas articulações, podemos afirmar que essa abordagem é essencialmente dialética.
BLOCO 1
TAREFA 1
a) Trace um segmento AB17 qualquer no papel que recebeu.
b) Faça uma dobradura, de modo que A e B coincidam.
c) Chame de “m” a reta representada pelo vinco deixado no papel e trace esta reta.
d) Que relações você pode fazer entre o segmento AB e a reta m?
e) A partir dessas relações, como você definiria a reta m?
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17 Neste trabalho, ao nos referirmos ao segmento de extremidades A e B, usaremos __
AB , segmento AB ou segmento __
AB . E sua medida será denotada apenas por AB.
TAREFA 2
a) Marque um ponto P (P diferente do ponto médio do segmento AB ) sobre a reta “m” da tarefa 1.
b) Trace os segmentos PA e PB .
c) Volte a dobrar sobre a reta “m”. O que você observou?
d) Marque outros pontos sobre a reta “m” e proceda da mesma forma anterior.
e) O que você observou?
f) Nessa tarefa, você observou uma propriedade da mediatriz. Escreva seu enunciado.
TAREFA 3
a) Podemos escrever uma mesma propriedade matemática em linguagens diferentes. Em Matemática, em geral, utilizamos a linguagem natural, a linguagem simbólica e a linguagem figural. Escreva a propriedade da tarefa 2 nessas linguagens. Linguagem natural, Linguagem simbólica e Linguagem figural.
b) Como sabemos, no enunciado de uma propriedade ou teorema constam as hipóteses e a tese.
Em geral, consideramos hipótese, os dados que o enunciado nos oferece e como tese o que se quer demonstrar. Identifique a hipótese e a tese da propriedade acima.
c) Demonstre essa propriedade.
TAREFA 4
a) Você acabou de demonstrar uma propriedade que diz que: todo ponto da mediatriz de um segmento equidista das extremidades desse segmento. Suponha agora que você pudesse marcar todos os pontos que são equidistantes das extremidades de um segmento AB (se desejar faça uma figura de apoio). Todos esses pontos formariam uma reta que intercepta o segmento AB em M. O que representa esta reta para este segmento? Justifique sua afirmação.
b) Na tarefa 3, você demonstrou que: se P pertence à mediatriz do segmento AB , então P é equidistante de A e B. A nova caracterização que você construiu no item (a) sugere uma outra propriedade. Escreva essa propriedade na: linguagem natural, linguagem simbólica e linguagem figural.
c) Identifique a hipótese e a tese dessa propriedade.
d) Demonstre essa propriedade.
TAREFA 5
Nas tarefas anteriores, você caracterizou a mediatriz de um segmento de duas formas diferentes, ou seja, definiu mediatriz pautado nas características próprias desse objeto matemático. Observe o quadro abaixo e responda:
a) Comparando as definições e as propriedades acima o que você pode afirmar?
b) As definições 1 e 2 são equivalentes? Justifique.
c) Para garantir a consistência das justificativas em questões de demonstração Matemática, é preciso ter claro o que é definição e o que é uma propriedade de um objeto matemático. Para evitar escritas circulares, elegeremos a definição de mediatriz e, consequentemente, a propriedade que serão usadas em tarefas futuras.
Definição: __________________________ Propriedade: _____________________________
As TAREFAS 1 a 5 desse bloco compunham uma tarefa ampla, isto é, construir o entorno tecnológico-teórico que pudesse ser usado no futuro para justificar matematicamente as tarefas vindouras (tarefas de construção geométrica) na qual o objeto geométrico fundamental era a mediatriz. Assim, a tarefa era composta por outras tarefas menores.
Os professores aceitaram o desafio de construir ou reconstruir a definição de mediatriz sob dois aspectos diferentes (reta que passa pelo ponto médio de um segmento, e é perpendicular a ele e pelo conjunto formado por todos os pontos que equidistam das extremidades de um segmento), além de listar a propriedade geométrica decorrente de cada definição. Destacamos que as tarefas de construir a definição da mediatriz sob dois aspectos diferentes, contudo equivalentes, além da escrita da propriedade decorrente da definição foram exploradas por meio de dobraduras e do material de desenho disponível (esquadros, régua, lápis, papel, borracha e transferidor), em que a técnica
DEFINIÇÃO 1: A mediatriz de um segmento é a reta que passa pelo ponto médio desse segmento e é perpendicular a ele.
PROPRIEDADE 1: Um ponto pertence à mediatriz de um segmento se, e somente se, equidista das extremidades desse segmento.
DEFINIÇÃO 2: A mediatriz de um segmento é o conjunto de todos os pontos que equidistam das extremidades desse segmento.
PROPRIEDADE 2: A mediatriz de um segmento passa pelo ponto médio desse segmento e é perpendicular a ele.
utilizada foi a escrita com suas próprias palavras da definição de mediatriz e da propriedade decorrente dessa definição. O discurso tecnológico-teórico foi observado na (re)escrita cuidadosa das definições e propriedades, discutindo a respeito de sua pertinência e veracidade seguidas de suas respectivas demonstrações.
Como o trabalho realizado era com professores, possivelmente, seus conhecimentos viriam à tona durante a realização das tarefas. Desta forma, algumas antecipações aconteceram, como afirma Chevallard (1999), poderia ser um reencontro, mas, como queríamos construir o entorno tecnológico-teórico que pudesse justificar matematicamente a construção geométrica da mediatriz, além de tarefas geométricas nas quais o objeto geométrico seria utilizado para a solução, podemos afirmar que as tarefas escolhidas cumpriram seu papel, ou seja, uma construção do entorno tecnológico-teórico.
Assim, podemos dizer que os professores, ao trabalharem com as tarefas planejadas, buscaram uma forma de resolvê-las, pois, ao serem “convidados” a justificar, realizar demonstrações, trabalhar com a técnica de escrever definições equivalentes sob aspectos diferentes, assim, o fizeram. No final, o formador sistematizou as definições apresentadas com suas respectivas propriedades e que poderiam ser usadas, a partir daquele momento, passando, possivelmente, a fazer parte do repertório cognitivo desses professores.
Vale destacar que, na TAREFA 5, os professores não elegeram a definição e a propriedade que usariam. Fizeram a opção de se referir ora à definição 1 e propriedade 1 e ora à definição 2 e propriedade 2, na emergência da necessidade de justificar matematicamente suas construções. Os professores verbalizaram que, no momento da escrita, tomariam o cuidado de explicitar qual definição e propriedade estavam utilizando. Vejamos o que ocorreu:
Formador: Temos que escolher entre a definição 1 ou a 2 e a sua propriedade.
Maria: Então, vai ser assim: Se usar a definição 2, tenho que usar a propriedade 2, que é o que decorre dela.
Formador: Qual a importância de se eleger uma definição e uma propriedade nesse momento?
Paula: Vai facilitar a escrita da demonstração na hora de fazer as justificativas.
Além disso, podemos afirmar, com base na fala do formador, que ele buscou explicitar a razão de ser da tarefa (construção do entorno tecnológico-teórico) e pautados na resposta da professora Paula percebemos que ela entendeu o que se pretendia com a tarefa, logo os critérios da identificação e pertinência foram contemplados em boa medida.
Podemos afirmar que a escolha das tarefas foi pertinente, visto que consideramos que a vivência com elas poderá favorecer aos professores em formação continuada mais autonomia ao trabalharem futuramente nesta perspectiva, além disso, por tudo que já pontuamos, os objetivos das tarefas que compunham este bloco estavam claros, ratificando o porquê de cada uma delas.
Como tomamos por base a construção do entorno tecnológico-teórico, os conhecimentos disponíveis para sua solução estavam postos, e no caso de não estarem, algumas informações seriam dadas e alguns conceitos geométricos poderiam ser retomados. Além disso, os professores não tiveram dificuldade em compreendê-las. Ressaltamos algumas dificuldades na escrita em linguagem simbólica, que passou a ser um desafio para alguns professores pela economia na escrita que apresentava. Com relação à escrita da demonstração, foram observadas inconsistências pontuais, essa constatação nos levou a ratificar que os professores ainda estavam construindo seus conhecimentos sobre demonstração em Geometria, em verdade, esse era um dos focos principais do projeto.
As técnicas utilizadas ficaram bem elaboradas e com alcance satisfatório, já que as tarefas propostas, em sua maioria, foram resolvidas com sucesso. Os professores trabalharam com várias representações de um mesmo objeto geométrico. Esperávamos que dificuldades aparecessem, entretanto as ações previstas contribuíram, para que se tornassem mais disponíveis a tecnologia e a teoria, ou seja, a definição de mediatriz e a explicitação de sua propriedade, com sua respectiva justificativa. Por exemplo, durante a demonstração alguns professores apresentaram confusão com relação aos casos de congruência de
triângulos, aproveitamos a oportunidade e discutimos que LLA18 não seria caso de congruência, trazendo o contraexemplo como uma técnica de demonstração.
O que os professores utilizaram em suas demonstrações e justificativas, em nosso entendimento, são matematicamente válidos e os argumentos eram bem próximos dos científicos. Vejamos o que a professora Maria escreveu na lousa, com base na Figura 1, após a discussão.
Figura 1: Demonstração sem utilizar triângulo isósceles.
Fonte: Observador da formação.
Caso LLL de congruência, logo, podemos concluir que:
(1) um triângulo dados dois lados e um ângulo não compreendido por esses lados. Tal construção, em geral, gera duas soluções diferentes, garantindo dessa forma (por meio de um contra-exemplo) que não é caso de congruência. (JESUS, 2008, p. 103).
Se m(AMˆP) + m(BMˆP) = 180o (por construção) e por (1) m(AMˆP) = m(BMˆP) = 90o, então PM⊥AB e como M é ponto médio de AB , logo PM é mediatriz de
AB .
Desta forma, podemos dizer que o objetivo didático do formador foi alcançado, pois os professores passaram a utilizar a definição de mediatriz e a explicitar a propriedade decorrente da definição, ao menos nesse momento.
Ações dos professores José e Mirtes
O professor José começou o trabalho com esse bloco de tarefas não seguindo rigorosamente as instruções dadas na TAREFA 1, em lugar de construir um segmento e fazer a dobradura, começou realizando uma dobradura e tentou construir um segmento. Sem sucesso nessa investida, começou a seguir as instruções da tarefa. Com relação à primeira tarefa escreveu: m ⊥ AB e m é mediatriz do segmento AB. Podemos notar que ele concluiu ser mediatriz, sem explicitar que a reta m passa pelo ponto médio do segmento. Com relação à formação do ângulo de 90º, ocorreu o seguinte diálogo:
O professor José começou o trabalho com esse bloco de tarefas não seguindo rigorosamente as instruções dadas na TAREFA 1, em lugar de construir um segmento e fazer a dobradura, começou realizando uma dobradura e tentou construir um segmento. Sem sucesso nessa investida, começou a seguir as instruções da tarefa. Com relação à primeira tarefa escreveu: m ⊥ AB e m é mediatriz do segmento AB. Podemos notar que ele concluiu ser mediatriz, sem explicitar que a reta m passa pelo ponto médio do segmento. Com relação à formação do ângulo de 90º, ocorreu o seguinte diálogo: