Análises de Agrupamentos

A determinação das regiões homogêneas do Índice de Precipitação Normalizada em Minas Gerais foi realizada através da técnica de Análise de Agrupamentos. Esta técnica permitiu descobrir a natureza complexa dos dados investigados. A classificação das variáveis em grupos homogêneos e a identificação de suas características comuns possibilitaram um melhor conhecimento do fenômeno em questão. A Análise de Agrupamento tem sido empregada nas ciências atmosféricas para particionar dados em diferentes grupos de padrões semelhantes (RICHMAN e ADRIANTO, 2010).

Os dois métodos de classificação mais utilizados são o método hierárquico (em que a partição dos grupos se dá a partir de um mínimo de grupos não definidos inicialmente) e o não hierárquico (onde a partição dos grupos é produzida a partir de um número de grupos fixado à priori). Há um grande número de métodos hierárquicos e não hierárquicos usados em problemas climatológicos (RICHMAN e ADRIANTO, 2010). Em ambos os métodos, a classificação dos indivíduos em grupos distintos depende da medida numérica de similaridade ou de dissimilaridade (função de agrupamento) e de um critério matemático (BOUROCHE e SAPORTA, 1982; EVERITT, 1993; WILKS, 2006; POHLMANN, 2007).

Nos métodos aglomerativos, todos os processos de hierarquização são similares, iniciando-se pela determinação da função de agrupamento que é usada como critério para medir a distância entre dois pontos ou para estabelecer o quanto eles são similares (WILKS, 2006). As medidas de similaridade ou de dissimilaridade mais utilizadas são os coeficientes de correlação e a distância euclidiana por apresentar facilidade de cálculo. A distância euclidiana entre dois indivíduos x e y é dada por:

d(x, y) = ‖ ‖ [∑ ( ) ] (23)

No caso dos métodos de hierarquização, os grupos são determinados por cortes transversais no dendrograma a partir do critério de agregação e do conhecimento prévio da região estudada (BOUROCHE e SAPORTA, 1982; EVERITT, 1993).

5.4.4 Análises de Ondeletas

Para se compreender a Análise de Ondeletas, faz-se necessário retomar suscintamente a ideia das Séries e da Transformada de Fourier. Utilizando-se da teoria sobre a análise de frequências, Joseph Fourier postulou que toda função periódica f(x) poderia ser reescrita como uma combinação linear das funções senos e cossenos (BOLZAN, 2004):

( ) ∑[ ( ) ( )] (24) sendo: ∫ ( ) (25) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

A Transformada de Fourier é uma importante técnica matemática que permite encontrar a contribuição de energia que cada função seno e cosseno possuem numa série temporal em relação à energia total da série periódica. A TF pode ser vista também como uma projeção do domínio temporal para o domínio da frequência, de acordo com a equação abaixo (LABAT, 2005):

( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

(26)

em que o produto escalar S( ) é a amplitude do espectro do sinal x(t) na frequência .

A transformação de um sinal é uma operação matemática que resulta em uma representação diferente daquele sinal. A Transformada de Fourier dá o espectro de qualquer sinal periódico como uma única representação de uma soma contínua de senoidais de diferentes amplitudes, frequências e fases. Apesar da funcionalidade, principalmente na obtenção da análise espectral do sinal, a TF não é suficiente para representar os sinais não estacionários. Isto ocorre porque a Transformada de Fourier pressupõe que o sinal a ser transformado é periódico e de comprimento infinito. Por consequência, usando Fourier, se o sinal estiver bem localizado num domínio (por exemplo, no domínio espacial), então estará mal localizado no outro domínio (ou seja, no domínio da frequência) e vice-versa (NAKKEN, 1999).

A Transformada Janelada de Fourier trouxe vastas contribuições no estudo e análise de séries temporais não estacionárias. Porém, algumas limitações ainda permaneceram (BARBOSA e BLITZKOW, 2008):

1. A janela temporal permanecia fixa, não possibilitando mudanças no seu tamanho após o início da aplicação da técnica TJF;

2. As funções trigonométricas usadas possuem energia infinita, ou seja, as mesmas são limitadas entre - ∞ e + ∞.

Concebido por Morlet e Grossmann, o termo “Ondeletas” refere-se a um conjunto de funções em forma de ondas geradas por dilatações ( ) ( ) e translações ( ) ( ) de uma função de variável real. Uma vez que na análise de Fourier toda função periódica, de período 2π, de quadrado integrável, ou seja, L2_{(0,2π), é gerada por uma} superposição das exponenciais complexas de Euler, o princípio matemático das ondeletas é estender L2(0,2π) para L2( ), isto é, gerar um novo espaço com base numa função padrão, de energia finita, por vezes referida como a ondeleta-mãe mostrada a seguir (MORETTIN, 1999; VITORINO et al., 2006; BLAIN e KAYANO, 2011):

( ) ( ) (27)

com a, b ∊ e a ≠ 0, sendo a o fator de dilatação e b o fator de translação. O parâmetro a determina a frequência de oscilação e o comprimento da ondeleta e o parâmetro de translação

b determina a sua posição de deslocamento. Usualmente, tomam-se valores especiais para a e b: e , com j e k ∊ Z.

O fator

é chamado de constante de normalização da energia de cada ondeleta- filha, de forma que juntas mantenham a mesma energia da ondeleta principal ( ). A equação das ondeletas-filhas pode ser expressa por (BOLZAN, 2006):

( )

(

) (28)

com j, k ∊ e j ≠ 0, sendo j o fator de dilatação e k o fator de translação.

Para que uma função seja denominada de função ondeleta base, representada por , a mesma deve satisfazer duas propriedades distintas (BARBOSA e BLITZKOW, 2008):

1ª propriedade. A integral dessa função deve ser zero:

∫ ( )

(29)

2ª propriedade. A função ondeleta base deve possuir energia unitária:

∫ ( )

(30)

De acordo com Barbosa e Blitzkow (2008), a primeira propriedade permite que a função ondeleta base assuma a forma de uma onda, assegurando a transformada inversa da função ondeleta base (condição de admissibilidade). Na segunda propriedade, ainda conforme

esses autores, a função ondeleta base tem um decaimento rápido de amplitude, garantindo que a ondeleta-mãe possua uma localização espacial.

5.4.5 A Transformada de Ondeletas

Para f de L2( ), ou seja, no espaço de funções quadraticamente integráveis (energia finita), a Transformada de Ondeletas, em relação a , é expressa por (MORETTIN, 1999; VITORINO et al., 2006): ( )( ) ∫ ( ) ( ) (31)

com a, b ∊ e a ≠ 0. Assim, observa-se que a TO é o produto interno da função f(t) a ser analisada pela função ondeleta-mãe.

Dada uma série temporal com um comprimento s de pontos. Represente s na forma de potência de base 2, de modo que . Considere, como exemplo, que . Assim, 512 . Isso significa que há 9 escalas (ou frequências) que a ondeleta, particularmente as chamadas discretas, pode detectar. Neste contexto, representa a primeira escala (ou frequência) em que a função ondeleta irá atuar, indicando que a série temporal será dividida em 2 partes iguais, cada uma com pontos. A função ondeleta-mãe será comprimida pela metade e será aplicada na primeira metade da série temporal. Em seguida, a ondeleta será transladada para a segunda parte da série temporal (BOLZAN, 2006).

Continuando o processo, no segundo nível de resolução, tem-se pontos. Ou seja, a série temporal estará subdividida em quatro partes. Novamente, a função ondeleta será comprimida pela metade de modo a caber no primeiro segmento da série de 128 pontos para, em seguida, ser transladada para os demais segmentos da série temporal (Figura 4).

Figura 18. Segundo nível da decomposição da ondeleta em diferentes resoluções (BOLZAN, 2006)

A decomposição da série até pontos representa o último nível de decomposição da ondeleta, fornecendo um diagrama denominado de Periodograma de Ondeleta:

Figura 19. Resultado da análise de multirresolução dada pela função ondeleta (BOLZAN, 2006)

A ondeleta-mãe utilizada deve ter um padrão semelhante ao sinal em estudo (NAKKEN, 1999; BLAIN e KAYANO, 2011). Nesse contexto, diversos trabalhos afirmam que a ondeleta de Morlet é recomendada no estudo de séries temporais cujos dados apresentam características oscilatórias, tornando-se, por isso, adequada para estudar a

amplitude e a fase do sinal da precipitação (TORRENCE e COMPO, 1998; VITORINO et al., 2006; BLAIN e KAYANO, 2011):

( ) (32)

onde o parâmetro t (adimensional) refere-se ao período ou escala temporal estudados e (adimensional) à frequência do sinal.

Neste estudo, aplicou-se a ondeleta de Morlet aos dados diários e mensais de chuva e aos dados diários de radiação, uma vez que tal função complexa tem desejáveis propriedades simetria/assimetria e variações de tempo íngremes e suaves. De acordo com a literatura, este é um critério para a escolha da função ondeleta (WENG e LAU, 1994; VITORINO et al., 2006). Diversos autores (TORRENCE e COMPO, 1998; VITORINO et al., 2006; BLAIN e KAYANO, 2011) descrevem que a ondeleta de Morlet pode ser entendida como uma função periódica cuja amplitude é modulada por uma gaussiana.

Figura 20. Parte real da função ondeleta de Morlet, representando uma onda com um envelope gaussiano (BOLZAN, 2006)