O MEF (Método de Elementos Finitos) teve o surgimento da década de 50, no entanto, somente em 1970 que o mesmo passou a ser empregado no eletromagnetismo de forma ampla, onde foi proposta a utilização deste método no uso em problemas de eletromagnetismo, principalmente envolvendo problemas com características de materiais não-lineares (BASTOS, 1996).
O MEF é utilizado para resolver os problemas envolvendo campos magnéticos por meio das Equações de Maxwell em uma região finita do espaço com condições de contorno adequadas. Quando necessário, com condições iniciais previamente especificadas pelo usuário, a fim de obter uma solução numérica (BARZEGARAN et al, 2010). Com a utilização do MEF é possível obter uma formulação matemática, que permita o desenvolvimento de análises de sistemas complexos e/ou geometricamente irregulares, por meio da discretização geométrica e implementação deste modelo em análises computacionais.
Portanto, de acordo com Bastos e Sadowski (2003) a resolução do problema consiste em discretizar (decompor) o domínio do estudo em pequenos subdomínios (chamados de elementos finitos) que são conectados entre si por meio de pontos discretos (chamados de nós). Esse conjunto de elementos utilizados na discretização da geometria é chamado de malha, conforme apresentado na Figura (14).
Figura 14 – Demonstração da definição do MEF: (a) problema geométrico complexo. (b) discretização do problema com diversos elementos. (c) elemento tetraédrico.
(a) (b) (c)
Fonte: SOUSA, 2018, pág. 58.
A partir da obtenção da malha (com os seus respectivos nós) as soluções aproximadas podem ser introduzidas para as variáveis de campos dependentes no interior de cada elemento. Essas variáveis são expressas como funções arbitrárias dos valores que as incógnitas assumem nos nós (chamadas de funções de interpolação). Ainda, são impostas condições para garantir a continuidade da solução nos nós compartilhados pelos elementos. Essas incógnitas (graus de liberdade) passam a ser os valores das variáveis de campo nos pontos nodais, sendo que o número do grau de liberdade (agora finito) é dependente da ordem, do número de elementos e do número de variáveis dependentes (BIANCHI, 2005).
De acordo com Fonseca (2016), o MEF não fornece soluções exatas (em princípio). No entanto, admite-se que à medida que mais elementos são utilizados para o desenvolvimento da análise, toda a solução obtida para o problema discretizado terá uma convergência para uma solução com maior precisão do problema contínuo. A implementação da técnica de elementos finitos, pode ser realizada por meio da utilização do método variacional ou do método de Galerkin (método dos resíduos ponderados), este último é fundamentado no princípio da minimização da energia associada ao campo elétrico presente no domínio do cálculo (BIANCHI, 2005).
O MEF apresenta algumas vantagens em relação a utilização de outras técnicas numéricas, e conforme Kulkarni & Khaparde (2012), podem ser definidas:
a) Elementos de diferentes formas e tamanhos podem ser associados para discretizar domínios de geometria complexa, uma vez que a sua formulação depende somente da classe do problema e é independente de geometria;
b) A divisão do domínio em regiões onde as propriedades físicas variam em função das coordenadas espaciais facilita a modelagem de problemas envolvendo domínios não homogêneos. O MEF também pode levar em conta, facilmente, a descontinuidade do material;
c) O método de elementos finitos pode ser todo formulado matricialmente, facilitando a sua implementação computacional.
4.4.1 SOFTWARE ANSYS MAXWELL
O ANSYS MAXWELL é um dos principais softwares comerciais de simulação de campo elétrico e campo magnético para engenheiros encarregados em desenvolver projetos e análises tanto em 2D quanto em 3D do comportamento magnéticos e mecânicos de dispositivos. Com isso, podem-se realizar análises em dispositivos como: motores, atuadores, transformadores, sensores, bobinas, entre outros. Neste programa é utilizado o método de elementos finitos (MEF) para resolver precisamente os campos magnéticos e elétricos estáticos, tanto no domínio da frequência quanto variável no tempo.
Ainda, pode ser destacado como uma das vantagens deste programa a estratégia utilizada para o refinamento da malha. Para isso, o mesmo realiza um processo de solução automatizada, onde se torna necessário especificar as características iniciais da solução, como informações sobre a geometria, condição de contorno, propriedades do material, excitação da máquina, entre outros, assim como os resultados que se deseja obter ao final da solução. A partir disso, o próprio programa produz automaticamente uma malha apropriada e precisa para a solução do problema, chamada de malha auto adaptativa. Essa malha utiliza técnicas de refinamento com objetivo de melhorar os resultados numéricos obtidos pelo software.
Assim como os demais softwares baseados no método de elementos finitos, o ANSYS MAXWELL apresenta três etapas para a divisão dos problemas. Essas etapas são semelhantes ao software ANSYS STRUCTURAL, que serão apresentadas no tópico a seguir.
4.4.2 SOFTWARE ANSYS STRUCTURAL
O ANSYS é um software baseado no método de elementos finitos (MEF) que pode ser utilizado nas mais diversas classes de problemas de engenharia. A capacidade desse programa inclui habilidades para resolver diferentes tipos de análises estruturais disponíveis. Destaca-se para este trabalho a utilização da análise estática. Esse tipo de análise pode ser utilizado na determinação de deslocamentos, condição de carga estática, estresse, deformações, entre outros. Para isso, as simulações podem ser realizadas para dois tipos de análises, linear e não-linear. Para as análises não-lineares são incluídas informações relacionados a plasticidade, tensão mecânica, rigidez, e suportabilidade em deformações, superfície de contato, entre outras informações (MARINHO, 2002).
A plataforma ANSYS Workbench é a estrutura sobre a qual o conjunto mais amplo e profundo da indústria de tecnologia avançada em engenharia de simulação é construído. Esta plataforma tem como finalidade interligar os diversos subprogramas da ANSYS Corporation que atua em todas as áreas da engenharia, respaldado pela aplicação do método numérico de solução.
Portanto, o programa ANSYS Workbench consiste em um conjunto de sistemas computacionais, em que cada sistema é destinado a uma determinada análise. Os diversos tipos de análises que podem ser realizados, de modo a simular o comportamento de um conjunto real mediante a utilização do ANSYS STRUCTURAL, são dependentes da geometria, das condições de contorno e hipóteses simplificadoras adotadas durante a modelagem (FONSECA, 2016).
Logo, assim como os demais sistemas computacionais baseados no método de elementos finitos, tanto o software ANSYS MAXWELL quanto o ANSYS STRUCTURAL utilizam na resolução de problemas a divisão em três etapas: (a) Pré-processamento; (b) Processamento e (c) Pós-processamento.
(a) Pré-Processamento: consiste na modelagem da estrutura, sendo realizada a definição da estrutura e descrevendo todas as características da geometria e do problema, as propriedades físicas dos materiais, a densidade das malhas e as condições de contorno. Também, pode-se definir a malha dos elementos finitos (criar e visualizar).
(b) Processamento: consiste na interpretação das informações definidas durante a etapa anterior (pré-processamento) e aplicação das equações de Maxwell (para a solução no
software ANSYS MAXWELL) e aplicação das equações mecânicas do comportamento estático e dinâmico (para a solução no software ANSYS STRUCTURAL).
(c) Pós-processamento: nesta etapa são disponibilizados os resultados sob a forma de contorno e a densidade. Assim, o usuário poderá inspecionar pontualmente a solução, realizar o cálculo de integrais a partir dos resultados, plotar resultados de variáveis de interesse como os campos elétricos, magnéticos, potenciais, corrente, torques, forças entre outros. Ainda, os resultados são disponibilizados na forma de gráficos, tabelas ou mesmo resultados numéricos.