´
otimo
Ap´os a obten¸c˜ao do planejamento amostral ´otimo segundo ambas as abordagens, podemos avaliar se o resultado indicado pelo modelo sob efeito da amostragem preferencial realmente produz uma maior redu¸c˜ao na variˆancia preditiva do processo subjacente S. Em outras palavras, ´e de grande interesse avaliar a efetividade da utiliza¸c˜ao desta metodologia em indicar um local para amostragem que produza maior utilidade (quantificada em termos da fun¸c˜ao objetivo) para o pesquisador.
Com este intuito, procedeu-se `a escolha dos locais apontados por ambos os modelos no estudo simulado bidimensional I. Os locais para amostragem ´otima apontados pelos modelos foram xd= (90.00; 76.66), para o modelo sob amostragem preferencial, e xd = (30.00; 50.00)
para o modelo sem considerar o efeito da amostragem preferencial. A Figura 7.6 apresenta os locais amostrados que foram considerados para cada modelo.
Para a compara¸c˜ao entre as abordagens considerou-se tamb´em que yd= µ + S(xd). Em
outras palavras, as observa¸c˜oes associadas aos locais ´otimos foram tomadas sem incorporar o erro associado ao efeito pepita τ2. Assim, os valores considerados foram y
d = S(xd) + 12 =
11.157 e yd = S(xd) + 12 = 10.719, para os modelos considerando e sem considerar o efeito
da amostragem preferencial, respectivamente.
A Figura 7.7 apresenta as predi¸c˜oes realizadas ap´os a observa¸c˜ao do planejamento amos- tral ´otimo para ambos os modelos. Assim como nas an´alises realizadas antes da escolha do planejamento amostral ´otimo, os resultados obtidos para o modelo sob efeito de amostra- gem preferencial foram mais satisfat´orios. ´E interessante notar tamb´em que a inclus˜ao do
Figura 7.6: Locais ´otimos apontados pelos modelos considerando (esquerda) e sem considerar (di- reita) os efeitos da amostragem preferencial no estudo simulado bidimensional I.
local ´otimo apontado pelo modelo sem efeito de amostragem preferencial produziu uma sig- nificativa melhora das previs˜oes realizadas na vizinhan¸ca deste local. Contudo, esta escolha acabou tamb´em produzindo um aumento no erro de predi¸c˜ao em locais cujo valor do processo subjacente S era elevado. Por este motivo, os erros de previs˜ao associados ao modelo sob amostragem preferencial foram menos elevados. Esta constata¸c˜ao pode ser melhor explorada analisando-se a Figura 7.8.
A Tabela 7.1 apresenta os Erros de Predi¸c˜ao Globais (EPG) ap´os a observa¸c˜ao do planejamento amostral ´otimo para ambos os modelos. A utiliza¸c˜ao do planejamento amostral ´
otimo apontado pelo modelo sob efeito de amostragem preferencial continou produzindo um erro de predi¸c˜ao global inferior, apesar de apresentar um pequeno aumento em rela¸c˜ao `a an´alise anterior. Este aumento pode ser explicado em virtude da escolha do novo local ´
otimo de amostragem ter sido obtido de forma intencional. O fato da escolha n˜ao ter sido realizada a partir da considera¸c˜ao de um processo pontual subjacente exerce uma influˆencia nas posterioris de α e β e provoca um aumento nos erros de predi¸c˜ao.
Por fim, para ilustrar outra vantagem do local ´otimo apontado pelo modelo sob amos- tragem preferencial, procedeu-se `a inferˆencia incluindo-o na an´alise e assumindo o modelo Geoestat´ıstico tradicional. Os resultados forneceram um EP G = 2.1719, o qual representa
Figura 7.7: M´edia a posteriori da distribui¸c˜ao preditiva de S obtidos considerando (esquerda) e sem considerar (direita) o efeito da amostragem preferencial para o processo simulado bidimensional I ap´os a obten¸c˜ao do planejamento amostral ´otimo.
Figura 7.8: Mapas com os Erros de Predi¸c˜ao Locais (EPL) considerando (esquerda) e sem considerar (direita) o efeito da amostragem preferencial no exemplo simulado bidimensional I ap´os a obten¸c˜ao do planejamento amostral ´otimo.
um valor inferior ao obtido utilizando-se o local apontado pelo modelo sem efeito de amos- tragem preferencial, conforme mostra a Tabela 7.1.
Desta forma, podemos concluir que a utiliza¸c˜ao do local amostral ´otimo proposto pelo modelo sob efeito de amostragem preferencial mostrou-se vantajosa mesmo quando a in-
Tabela 7.1: Erro de Predi¸c˜ao Global (EPG) no exemplo simulado bidimensional I ap´os a obten¸c˜ao do planejamento amostral ´otimo apontado por cada um dos modelos considerados.
Modelo Sem efeito de amostragem pref. Sob efeito de amostragem pref.
EPG 2.3348 1.8392
Cap´ıtulo 8
Aplica¸c˜ao `a Dados de Precipita¸c˜ao
Pluviom´etrica no Rio de Janeiro
A metodologia de obten¸c˜ao do planejamento amostral ´otimo foi aplicada a um cen´ario real no contexto de redes de monitoramento ambientais. Mais especificamente, ser˜ao analisados dados de precipita¸c˜ao pluviom´etrica obtidos de 32 esta¸c˜oes de monitoramento localizadas na cidade do Rio de Janeiro.
Os dados se referem `a precipita¸c˜ao total (em mm) observada no per´ıodo de 01 a 31 de Outubro de 2005 e foram obtidos junto ao Instituto Pereira Passos (IPP) pelo site www.armazemdedados.rio.rj.gov.br (acessado em 04 de setembro de 2012).
A an´alise da precipita¸c˜ao no mˆes de Outubro, ´epoca do ano na qual inicia-se a esta¸c˜ao chuvosa na regi˜ao Sudeste do Brasil, ´e de interesse especial para meteorologistas e ´org˜aos go- vernamentais (Alves et al., 2005). A Figura 8.1 apresenta o mapa da cidade do Rio de Janeiro juntamente com os respectivos n´ıveis de precipita¸c˜ao (agrupados por quintis) observados no per´ıodo de interesse.
A an´alise da distribui¸c˜ao espacial das esta¸c˜oes monitoradoras parece indicar uma maior concentra¸c˜ao destas em locais onde os n´ıveis de precipita¸c˜ao s˜ao mais elevados. Mais pre-
Figura 8.1: Precipita¸c˜ao Pluviom´etrica na cidade do Rio de Janeiro em Out/2005 (as esta¸c˜oes est˜ao separadas de acordo com os quantis de 20%, 40%, 60% e 80% e agrupadas pelas cores azul, verde, amarelo, marrom e vermelho, respectivamente).
realiza¸c˜ao de um processo de Cox log-Gaussiano (com β > 0). Embora aspectos geogr´aficos e econˆomicos da cidade tamb´em possam ser considerados como poss´ıveis causas do planeja- mento amostral amostral observado, o emprego da metodologia de obten¸c˜ao do planejamento amostral ´otimo sob amostragem preferencial parece adequado para estes dados.
8.1
Predi¸c˜ao espacial
Primeiramente realizou-se a inferˆencia no intuito de estudar os parˆametros da covariˆancia espacial e obter a superf´ıcie predita de precipita¸c˜ao sobre a cidade. Para isto, foram utilizados o modelo Geoestat´ıstico tradicional e o modelo sob efeito de amostragem preferencial.
Para a inferˆencia, foram utilizadas as mesmas prioris utilizadas nos estudos de simula¸c˜ao bidimensionais apresentados no Cap´ıtulo 6, exceto por altera¸c˜oes nos hiperparˆametros das prioris de τ−2 (aτ = 5; bτ = 5), σ−2 (aσ = 1; bσ = 1000) e uma altera¸c˜ao nos hiperparˆametros
particionou-se a regi˜ao em estudo em M = 332 sub-regi˜oes.
Foram monitoradas 100.000 itera¸c˜oes no algoritmo MCMC para ambos os modelos e as primeiras 10.000 amostras foram desprezadas. A convergˆencia das cadeias foi realizada por meio de inspe¸c˜ao visual de cadeias que partiram de valores iniciais distintos.
Para evitar taxas de aceita¸c˜ao muito baixas para as propostas de S durante o algoritmo MCMC, optou-se por amostrar as componentes S1, ..., SM individualmente. Sem perda de
generalidade, suponha que Sy = {S1, ..., Sn} e SN = {Sn+1, ..., SM}, onde S = {Sy, SN}.
Neste caso, a distribui¸c˜ao condicional completa de Si torna-se
p(Si | S−i, µ, τ−2, σ−2, φ, α, β, x, y) ∝ exp n − 1 2τ2[Si2− 2Si(yi− µ)] + βSi− S0R−1MS 2σ2 o × × exp−∆eα+βSi , i = 1, ..., n
para os locais onde amostras foram observadas e p(Si | S−i, µ, τ−2, σ−2, φ, α, β, x, y) ∝ exp n −S0pR −1 MSp 2σ2 − ∆e α+βSi o , i = n + 1, ..., M
para os locais onde n˜ao foram observadas amostras. Assim, os Si’s s˜ao atualizados por passos
de Metropolis com propostas Gaussianas unidimensionais centradas nos valores da itera¸c˜ao anterior, onde as probabilidades de aceita¸c˜ao das propostas no MCMC s˜ao, respectivamente, dadas por pSi = exp n − 1 2τ2[(S 2prop i − Si2) − 2(S prop i − Si)(yi− µ)] + β(Siprop− Si) − Sp0R −1 MSp−S0R−1MS 2σ2 o × × exp−∆eα(eβSpropi − eβSi) , i = 1, ..., n
e pSi = exp n −Sp0R −1 MSp−S 0R−1 MS 2σ2 − ∆e α(eβSpropi − eβSi) o , i = n + 1, ..., M.
Na express˜ao desta distribui¸c˜ao condicional completa o vetor Sp ´e dado por Sp =
S1j−1, . . . , Siprop, . . . , SMj−10, onde j representa o n´umero da itera¸c˜ao do MCMC.
A Tabela 8.1 apresenta as m´edias a posteriori e os respectivos intervalos de 95% de credi- bilidade para os parˆametros estimados considerando e sem considerar efeitos de amostragem
Tabela 8.1: M´edia a posteriori e IC 95% (entre parˆentesis) para os parˆametros de ambos os modelos.
Parˆametros do modelo Sob Amostragem Preferencial Sem amostragem preferencial
τ2 1.25 (0.49 ; 2.90) 1.32 (0.51 ; 3.45) σ2 4289.92 (2096.31 ; 10528.91) 4132.72 (2120.30 ; 8514.38) µ 104.84 (97.73 ; 110.60) 119.88 (111.49 ; 130.32) φ 10.69 (4.27 ; 26.75) 10.43 (4.51 ; 22.76) α -3.84 (-4.24 ; -3.48) — β 0.008 (0.002 ; 0.014) —
Os resultados obtidos evidenciam a significˆancia dos parˆametros associados ao efeito da amostragem preferencial, sugerindo uma poss´ıvel associa¸c˜ao entre o plano amostral amostral e a magnitude da precipita¸c˜ao no munic´ıpio.
A inferˆencia para os parˆametros da estrutura de covariˆancia espacial resultou em re- sultados semelhantes, conforme pode ser observado nos variogramas estimados por ambos os modelos na Figura 8.2.
Figura 8.2: Mediana a posteriori e respectivos IC 95% dos variogramas estimados pelo modelo considerando (esquerda) e sem considerar (direita) efeitos da amostragem preferencial para os dados de precipita¸c˜ao pluviom´etrica na cidade do Rio de Janeiro (os c´ırculos representam o variograma amostral observado).
Em contrapartida, a distribui¸c˜ao a posteriori da m´edia µ produziu estimativas significa- tivamente distintas para ambos os modelos. A m´edia estimada pelo modelo sob amostragem preferencial foi significativamente mais baixa do que a m´edia estimada pelo modelo sem con- siderar este efeito (104.84 contra 119.88, respectivamente). Este resultado ´e compat´ıvel com a significˆancia do efeito da amostragem preferencial ( ˆβ > 0).
Por fim, a Figura 8.3 apresenta as superf´ıcies preditas de S, representadas pelas m´edias a posteriori obtidas por cada um dos modelos. Conforme observado nas simula¸c˜oes realizadas no Cap´ıtulo 6, a incorpora¸c˜ao do efeito da amostragem preferencial produziu diferen¸cas significativas nas superf´ıcies preditas. A distin¸c˜ao entre as predi¸c˜oes torna-se ainda mais evidente quando comparamos as distribui¸c˜oes preditivas [Y | x, y] e [Y | y] (ver Figura 8.4), uma vez que a m´edia µ estimada para ambos os modelos difere significativamente.