An´ alise de sensibilidade ` as distribui¸c˜ oes a priori

Fixados s = 2 e m = 10000, passamos `a an´alise de sensibilidade das estimativas a posteriori `a escolha de diferentes distribui¸c˜oes a priori. Uma an´alise similar foi feita por Bazan, Bolfarine e Leandro (2007) para o modelo 2PN.

As distribui¸c˜oes a priori escolhidas para os parˆametros foram:

• P1 : α ∼ N (1, 0.5)I(0, ), β ∼ N (0, 2), δ ∼ Beta(1, 1) • P2 : α ∼ N (1, 0.5)I(0, ); β ∼ N (0, 2); δ ∼ Beta(0.5, 0.5) • P3 : α ∼ N (1, 0.5)I(0, ); β ∼ N (0, 2); δ ∼ Beta(1, 3) • P4 : α ∼ N (1, 0.5)I(0, ); β ∼ N (0, 2); δ ∼ Beta(10, 30) • P5 : α ∼ N (0.1, 0.5)I(0, ); β ∼ N (0, 2); δ ∼ Beta(0.5, 0.5) • P6 : α ∼ N (2, 0.5)I(0, ); β ∼ N (0, 2); δ ∼ Beta(0.5, 0.5)

• P7 : α ∼ LogN ormal(0, 1); β ∼ N (0, 2); δ ∼ Beta(0.5, 0.5)

• P8 : α ∼ LogN ormal(1, 0.5); β ∼ N (0, 2); δ ∼ Beta(0.5, 0.5)

A nota¸c˜ao N (a, b)I(0, ) indica a distribui¸c˜ao normal truncada para valores positivos com m´edia a e variˆancia b.

Em um primeiro momento fixamos as distribui¸c˜oes a priori para os parˆametros α e β, usando as propostas feitas por Sahu (2002) e Patz and Junker (1999): α ∼ N (1, 0.5)I(0, ) e β ∼ N (0, 2), e variamos a distribui¸c˜ao a priori do parˆametro δ.

As duas primeiras propostas de distribui¸c˜oes a priori, P1 e P2, s˜ao escolhas obje-

tivas (n˜ao informativas). A primeira ´e a distribui¸c˜ao uniforme no intervalo unit´ario e a segunda ´e a distribui¸c˜ao dada pela regra de Jeffreys para o modelo Bernoulli.

As escolhas seguintes, P3 e P4, s˜ao subjetivas e baseadas na seguinte id´eia: haver

4 alternativas para cada item, sendo que apenas uma delas ´e correta. Isso nos leva a pensar que a chance de acerto ao acaso ´e 0,25. Usamos esse n´umero como valor esperado das distribui¸c˜oes Betas propostas. A diferen¸ca entre elas est´a na variabili- dade da distribui¸c˜ao. P3 tem variˆancia maior do que P4, com valores 0.0375 e 0.004,

respectivamente.

Um segundo conjunto de distribui¸c˜oes a priori foi proposto com a inten¸c˜ao de analisar a influˆencia da distribui¸c˜ao a priori do parˆametro α. Em P5 e P6modificamos

o centro da distribui¸c˜ao a priori de α para verificar mudan¸cas expressivas a posteriori. Em P7 e P8 utilizamos a distribui¸c˜ao a priori logNormal para α. A distribui¸c˜ao a

priori para os parˆametros β foi mantida fixa para as oito propostas.

Ap´os as 8 execu¸c˜oes planilhamos as estat´ısticas obtidas no programa. Consider- amos inicialmente as estimativas de M´edia, Mediana e Desvio Padr˜ao, (ver tabelas A.7, A.8, A.9, A.10, A.11 e A.12).

A partir dos resultados descritos nas tabelas A.7 `a A.10 podemos observar que a distˆancia entre m´edias e medianas das estimativas s˜ao consideravelmente baixas para a maioria dos parˆametros.

Notamos que, n˜ao s´o das estimativas a posteriori da m´edia e da mediana, como tamb´em do desvio padr˜ao variam bastante conforme a escolha da distribui¸c˜ao a priori para todos os parˆametros, com destaque para os parˆametros δ.

Os valores das estimativas das medidas de tendˆencia central, para todos os itens tendem a ser menores sob as distribui¸c˜oes a priori subjetivas: P 3 e P 4, do que sob as n˜ao informativas: P 1 e P 2.

as estimativas a posteriori para os δj’s s˜ao muito pr´oximos de 0,25, o que retrata a

grande influˆencia dessa distribui¸c˜ao a priori. Enquanto o uso de P1 e P2 possibilitou

obter uma variabilidade maior de valores para as estimativas.

Observando os resultados para os percentis de 2.5% e 97.5% para os parˆametros δj’s, notamos que os intervalos s˜ao relativamente grandes, exceto no caso P4, em que

colocamos uma priori muito informativa e com baixa variabilidade. Dentre as demais propostas, a que possui as maiores distˆancias entre os referidos percentis ´e P7, onde

o comprimento m´edio dos intervalos para os 14 parˆametros ´e 0,75.

Os valores dos percentis, bem como o comprimento do intervalo de credibilidade de 95% considerando P4 e P7, s˜ao apresentados na tabela A.13.

As tabelas A.14, A.15 e A.16 apresentam os itens ordenados pela mediana a posteriori de δ, α e β∗, respectivamente, usando as diferentes distribui¸c˜oes a priori. Notamos que o item 12 aparece como o com menor probabilidade de acerto casual para todas as propostas. Mas isso n˜ao significa que os demais itens estejam igual- mente ordenados nos 8 casos. Os itens 14, 2, 9, 10 e 5 aparecem com maior probabi- lidade de acerto ao acaso para a maioria das distribui¸c˜oes a priori, com excess˜ao das distribui¸c˜oes a priori subjetivas.

O item 14 ´e o item com maior probabilidade de acerto casual para 6 das 8 pro- postas de distribui¸c˜oes a priori, no entanto, aparece como o 7o _{e 12}o_{, se olharmos as}

ordena¸c˜oes de P3 e P4, respectivamente.

Com rela¸c˜ao aos parˆametros de dificuldade e discrimina¸c˜ao, percebemos bastante similaridade nas ordena¸c˜oes para as 8 propostas.

Agrupamos as propostas de distribui¸c˜oes a priori utilizando as ordena¸c˜oes pelas estimativas a posteriori da mediana para os parˆametros δj, feitas anteriormente com

o objetivo de verificar a similaridade na ordena¸c˜ao dos itens entre as propostas de distribui¸c˜oes a priori consideradas.

Para nos auxiliar no c´alculo da similaridade utilizamos o Coeficiente de Con- cordˆancia de Kendall (CCK), ver Siegel (1975) .

Primeiro calculamos o CCK para as 8 propostas de distribui¸c˜oes a priori conjun- tamente. Em seguida constru´ımos alguns subgrupos afim de verificar um poss´ıvel aumento da similaridade entre distribui¸c˜oes a priori com alguma caracter´ıstica em comum. O primeiro subgrupo foi composto pelas trincas cujas distribui¸c˜oes a priori para α e β s˜ao fixas, (P1, P2, P3 e P4). O segundo composto pelas trincas cujas al-

tera¸c˜oes ocorrem apenas nas distribui¸c˜oes a priori de α, (P5, P6, P7 e P8). O terceiro

composto pelas duas distribui¸c˜oes a priori pouco informativas para δ e cujas prioris para α e β s˜ao as mesmas, (P1 e P2). Finalmente o quarto subgrupo foi composto

pelo que consideramos extremos com rela¸c˜ao `a informa¸c˜ao das distribui¸c˜oes a priori para δ: P2 e P4. Pois, P2 ´e considerada a menos informativa e P4 a mais informativa.

Quanto maior o valor do CCK, maior a similaridade entre os resultados da or- dena¸c˜ao dos itens.

Na tabela 3.1 s˜ao apresentados os valores do CCK para os subgrupos de dis- tribui¸c˜oes a priori anteriormente descritos, com rela¸c˜ao aos parˆametros dos itens.

Confirmamos que com rela¸c˜ao aos parˆametros de dificuldade e discrimina¸c˜ao h´a bastante similaridade nas ordena¸c˜oes, sobretudo por utilizarmos distribui¸c˜oes a priori semelhantes para α e iguais para β em todos os casos. A concordˆancia diminui quando comparamos δ, principalmente quando colocamos num mesmo subgrupo distribui¸c˜oes a priori informativas e n˜ao informativas, neste caso ´e not´avel a baixa concordˆancia.

Tabela 3.1: Valores de CCK. Grupos de prioris δ α β∗ Todas 0,734 0,830 0,819 P1, P2, P3, P4 0,653 0,861 0,854 P5, P6, P7, P8 0,953 0,887 0,887 P1, P2 0,997 0,993 0,997 P2, P4 0,514 0,815 0,837

Pelos dois ´ultimos subgrupos da tabela 3.1 percebemos claramente a similaridade entre a ordena¸c˜ao dos parˆametros δj para P1 e P2 e a diferen¸ca que h´a entre esta e

P4, uma distribui¸c˜ao que carrega muita informa¸c˜ao a priori.

A partir das observa¸c˜oes que tivemos durante o estudo apresentado nesta se¸c˜ao, conclu´ımos que este modelo ´e bastante sens´ıvel a escolha de distribui¸c˜oes a priori. Escolhemos P2 como distribui¸c˜ao a priori para a an´alise das estimativas a posteriori

no modelo de trˆes parˆametros para o conjunto de dados das provas aplicadas no Per´u.