An´ eis e ´ Algebras. Estruturas e Constru¸ c˜ oes B´ asicas

Xm k_l=1

αk1···kl

l! ek1∧ · · · ∧ek_l,

comαk1···k_l∈K, sendo que na última igualdade assumimos que as quantidadesαk1···k_lsão antissimétricas por permuta¸cões de seus

´ındices, ou seja, satisfazemαk_π(1)···k_π(l)= sinal (π)αk1···klpara todoπ∈Sle todosk1, . . . , kl∈ {1, . . . , m}. 6

Um fato relevante das considera¸c˜oes acima ´e que U^⊗l

Ae U^⊗m−l

Atˆem a mesma dimens˜ao, ^m_l

=_l!(m−l)!^m! , sendo, portanto (n˜ao-canonicamente) isomorfos. Esse isomorfismo pode ser explorado quando da presen¸ca de formas bilineares n˜ao-degeneradas emU, conduzindo a uma estrutura de dualidade, a chamadadualidade de Hodge⁷⁹entre os espa¸cos

U^⊗l

A discussão sobre produtos tensoriais de espa¸cos vetoriais será continuada na Se¸cão 2.5, página 200.

2.3.8 O Produto Tensorial de M´ odulos. Deriva¸c˜ oes

•O produto tensorial de dois m´odulos sobre uma ´algebra associativa

Vamos aqui a uma defini¸cão que nos será importante. SejamMeNdois bimódulos sobre uma álgebra associativa A, ambos supostos serem espa¸cos vetoriais sobre o corpo dos complexos. Com os métodos expostos anteriormente de constru¸cão de produtos tensoriais de espa¸cos vetoriais, podemos definir o espa¸co vetorialM⊗CN. Entretanto, em certas aplica¸cões desejamos definir um outro tipo de produto tensorial entreMeNque seja também um módulo sobre a mesma

´algebraA.

Para tal, consideremos emM⊗CNe o conjunto de rela¸c˜oes R := n

r∈M⊗CN

r = (ma)⊗Cn−m⊗C(an),coma∈A, m∈M, n∈No

. (2.148)

Definamos, então,R(R) como sendo o subespa¸co deM⊗CN composto por todas as combina¸cões lineares finitas com coeficientes no corpoCde elementos deR. ComoR(R) é um subespa¸co deM⊗CN, queda definido um novo produto tensorial, que denotamos porM⊗AN, dado pelo quociente de espa¸cos vetoriais

M⊗AN := M⊗CN

/R(R). (2.149)

Podemos fazer deM⊗ANum m´odulo, digamos `a direita, sobreAtomando o produto

a·(m⊗An) := (ma)⊗An=m⊗A(an), (2.150) para todoa∈Ae todosm∈M,n∈N. Em verdade, esse produto deve ser linearmente estendido a todoM⊗AN, por

a·



 Xk j=1

mj⊗Anj



 :=

Xk j=1

(amj)⊗Anj = Xk j=1

mj⊗A(anj),

para todok∈Ne todosa∈A,mj∈M,nj∈N,j= 1, . . . , k.

E. 2.136Exerc´ıcio. Verifique que essa expressão faz deM⊗ÂN, de fato, um módulo sobreA. 6 O sub´ındiceAaposto ao s´ımbolo⊗serve para recordar que um elemento da álgebra associativaApode ser passado de um lado para outro do s´ımbolo⊗A, tal como na última igualdade em (2.150). Essa propriedade não é satisfeita pelo produto tensorial originalM⊗CN.

Faremos uso do assim definido produto tensorialM⊗AN adiante. O mais importante para nós será a identidade (ma)⊗An=m⊗A(an) válida em todoM⊗ANpara todoa∈A. Uma outra constru¸cão que também irá interessar-nos

79Sir William Vallance Douglas Hodge (1903–1975).

é a seguinte. SejaMum bimódulo sobre uma álgebra associativaAe tomemosVn=M^⊗Âⁿ≡M⊗A· · · ⊗AM

| {z }

nvezes

. Com os conceitos apresentados anteriormente temos definida a soma diretaM

n∈N

M^⊗^Aⁿ.

•Deriva¸c˜oes

SejaAuma álgebra associativa sobreCcom identidadeee sejaMum bimódulo sobreA. Uma aplica¸cão linear δ:A→Mé dita ser umaderiva¸cãodeAemMse satisfaz a regra de Leibniz⁸⁰:

δ(ab) = aδ(b) +δ(a)b , (2.151)

para todosa,b∈A.

Vamos a alguns exemplos.

Exemplo 1.SejaAuma ´algebra sobreCcom unidadeeeM=A⊗CAcom os seguintes produtos de bim´odulo:

a·(b⊗c) := (ab)⊗c , (2.152)

(b⊗c)·a := b⊗(ca). (2.153)

Deixa-se ao leitor verificar a associatividade dos produtos de bim´odulo nesse caso. Defina-se

δ(a) := a⊗e−e⊗a . (2.154)

Deixa-se ao leitor verificar a validade da regra de Leibniz nesse exemplo. Note-se tamb´em que, por essa defini¸c˜ao, δ(e) = 0.

Exemplo 2. SejaAuma ´algebra associativa sobreC, com unidadeeeM =A⊗CA, com os seguintes produtos de bim´odulo:

a·(b⊗c) := (ab)⊗c , (2.155)

(b⊗c)·a := b⊗(ca)−(bc)⊗a . (2.156)

Deixa-se ao leitor verificar a associatividade dos produtos de bim´odulo nesse caso. Defina-se

δ(a) := e⊗a . (2.157)

Deixa-se ao leitor verificar a validade da regra de Leibniz nesse exemplo. Note-se tamb´em que, por essa defini¸c˜ao, δ(e) =e⊗e6= 0.

Exemplo 3.Exemplo importante de deriva¸cões pode ser visto em álgebras de Lie. SejaAuma álgebra de Lie vista como um bimódulo sobre si mesma. Sejazum elemento fixo da álgebra e seja a aplica¸cãodz:A→Adada pordz(a) = [z, a].

E f´´ acil verificar (fa¸ca!) usando a identidade de Jacobi (2.24) que dz [a, b]

= dz(a), b

+ a, dz(b) para todoa, b∈A. Assim, tem-se que a cadaz∈A´e associada uma deriva¸c˜aodz.

2.4 An´ eis e ´ Algebras. Estruturas e Constru¸c˜ oes B´ asicas

2.4.1 Ideais em An´ eis e ´ Algebras Associativas

A no¸cão de ideal, introduzida por Dedekind⁸¹e depois aprofundada e generalizada por Hilbert⁸²e Noether⁸³, desempenha um papel central no estudo de álgebras e anéis. Apesar de algumas defini¸cões gerais que seguem aplicarem-se tanto para anéis quanto para anéis não associativos vamos nos restringir, por simplicidade, aos primeiros.

80Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716).

81Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831–1916).

82David Hilbert (1862–1943).

83Amalie Emmy Noether (1882–1935).

2.4.1.1 Ideais em An´eis

•Subgrupo gerado por um subconjunto de um anel (e alguma nota¸c˜ao)

SejaAum anel e, como tal, dotado de uma opera¸cão de produto “·” (s´ımbolo esse que, por simplicidade, omitiremos no que segue) e de uma opera¸cão de soma “+” em rela¸cão à qual é um grupo Abeliano, segundo as defini¸cões da Se¸cão 2.1.6.1, página 103.

SeB⊂A´e um subconjunto n˜ao vazio deA, o conjuntoG[B]⊂Adefinido por G[B] := n

m1b1+· · ·+mnbn, n∈N, mk∈Z e bk∈B para todok= 1, . . . , no ,

formado por todas as somas finitas de múltiplos inteiros de elementos deB, é o menor subgrupo deAque contémB, o chamadosubgrupo gerado pelo subconjuntoBdeA.

E de se observar que se´ BeCsão subconjuntos não vazios deA, entãoG[B∪C] contémG[B] eG[C] como subgrupos.

SeBeCsão subconjuntos não vazios deAdenotamos porBCo conjunto de todos os elementos deAque são da formabccomb∈Bec∈C:

BC := n

bc , comb∈B e c∈Co . Com isso, ´e f´acil ver queG[B]G[C]⊂G[BC].

SeB,CeDsão subconjuntos não vazios deAdenotamos porBCDos conjuntos (BC)D=B(CD) (essa igualdade dando-se em fun¸cão da assumida associatividade deA):

BCD := n

bcd , comb∈B , c∈C e d∈Do .

•Ideais à esquerda, à direita e bilaterais em anéis

SejaAum anel. Um subconjuntoLdeAque seja um subgrupo deAem rela¸cão à opera¸cão “+” é dito ser umideal

a esquerdadeAseal∈Lpara todoa∈Ae todol∈L. Um subconjuntoRdeAque seja um subgrupo deAem rela¸c˜ao

à opera¸cão “+” é dito ser umideal à direitadeAsera∈Rpara todoa∈Ae todor∈R. Um subconjuntoBdeAé dito ser umbi-idealdeA, ou umideal bilateraldeA, se for simultaneamente um ideal à direita e um ideal à esquerda de A.

Naturalmente, seAé um anel,Aé um ideal bilateral de si mesmo, assim como{0}é um ideal bilateral (trivial) de A.

E claro também que se´ Lé um ideal à esquerda de um anelA, entãoLé um módulo à esquerda sobreAe analogamente para ideais à direita e ideais bilaterais.

•Homomorfismos e ideais bilaterais

SejamAeBdois anéis e sejaφ:A→Bum homomorfismo. Então, Ker(φ) ={a∈A|φ(a) = 0}é um ideal bilateral deA. De fato, 0∈Ker(φ), sea, a^′∈Ker(φ), entãoφ(a+a^′) =φ(a) +φ(a^′) = 0 e sea∈Ker(φ), então−a∈Ker(φ), poisφ(−a) =−φ(a) = 0, provando que Ker(φ) é um subgrupo deA. Fora isso, seb∈Ker(φ), então para todoa∈A valeφ(ab) =φ(a)φ(b) =φ(a)0 = 0 e, analogamente, para todoc∈Avaleφ(bc) =φ(b)φ(c) = 0φ(c) = 0.

A afirma¸cão feita acima, que Ker(φ) é um ideal bilateral, apesar de elementar, tem aplica¸cões e consequências em diversas áreas.

•Intersec¸c˜oes de ideais

SejaAum anel e sejamLλcomλ∈Λ (Λ sendo um conjunto arbitrário de ´ındices) uma fam´ılia de ideais à esquerda deA. É muito fácil verificar pelas defini¸cões (fa¸ca-o!) queT

λ∈ΛLλé também um ideal à esquerda deA. Afirma¸cão análoga vale para ideais à direita e ideais bilaterais.

•Ideais gerados por subconjuntos de um anel

SejaC⊂Aum subconjunto não vazio de um anelA. Então, a interseçcão de todos os ideais à esquerda deAque contêmCé também um ideal à esquerda, que é dito ser oideal à esquerda gerado pelo conjuntoC. Defini¸cões análogas valem para ideais à direita e ideais bilaterais.

Denotaremos porI_E[A, C] (ou simplesmente porI_E[C], quando o anelAfor subentendido) o ideal `a esquerda gerado porC⊂A. Analogamente, denotamos porI_D[A, C] (ou simplesmente porI_D[C]) e porI_B[A, C] (ou simplesmente porI_B[C]) os ideais `a direita e bilaterais, respectivamente, gerados porC⊂A.

No caso de an´eis associativos ´e poss´ıvel explicitar mais os elementos de ideais gerados por conjuntos.

Proposi¸c˜ao 2.25SejaC⊂Aum subconjunto n˜ao vazio de um anel associativoA. Tem-se que:

1.I_E A, C

=G (AC)∪C

, ou seja, o ideal `a esquerda gerado porC,I_E A, C

, consiste em todos os elementos deAformados por somas finitas de produtos de elementos deAcom elementos deC(nessa ordem) mais somas finitas de elementos deCcom coeficientes inteiros. Naturalmente, seA´e unital, ent˜aoI_E

A, C

=G AC

. 2.I_D

A, C

=G (CA)∪C

, ou seja, o ideal `a direita gerado porC,I_D A, C

, consiste em todos os elementos deAformados por somas finitas de produtos de elementos deCcom elementos deA(nessa ordem) mais somas finitas de elementos deCcom coeficientes inteiros. Naturalmente, seA´e unital, ent˜aoI_E

A, C

=G CA

. 3.I_B

A, C

(ACA)∪(AC)∪(CA)∪C

. Naturalmente, seA´e unital, ent˜aoI_E[A, C] =G[ACA]. 2

Prova.E evidente que´ G (AC)∪C

é um ideal à esquerda deAe que contémCe, portanto,I_E A, C

⊂G (AC)∪C

. Por outro lado,I_E

A, C

, por ser um ideal à esquerda deAque contémC, necessariamente contém todos os elementos deAC e deCe o subgrupo gerado por tais elementos (um ideal deAé um subgrupo deA), ou seja,I_E[A, C] deve conter todos os elementos deG

(AC)∪C

. Isso estabelece queI_E A, C

eG (AC)∪C

são iguais. Os dois outros casos são análogos.

E. 2.137Exerc´ıcio.Complete os detalhes faltantes da demonstra¸c˜ao acima. 6

•Ideais principais

SeA´e um anel ea∈A, os ideais gerados pelo conjunto de um elementoC={a}s˜ao denominados por alguns autores osideais principaisgerados pora.

Denotamos poraAo conjuntoaA:={aa^′|a^′∈A}e porAao conjuntoAa:={a^′a|a^′∈A}. É muito fácil constatar queI_E[{a}], o ideal principal à esquerda gerado pora, coincide comAae queI_D[{a}], o ideal principal à direita gerado pora, coincide comaA.

Observe-se que o conjuntoAaA:={a^′aa^′′|a^′, a^′′∈A}nãoé um ideal deA, por não ser um subgrupo deA.

•Somas de ideais

SeL1eL2são dois ideais à esquerda de um anelA, então sua soma, definida porL1+L2:={l1+l2, l1∈L1el2∈L2}

é também, como facilmente se verifica, um ideal à esquerda deA. Esse ideal é dito ser asomados ideaisL1eL2. Afirma¸cão análoga vale tanto para somas de dois ideais à direita quanto para somas de ideais bilaterais.

•Estrutura de reticulado em an´eis

SejaAum anel. Para dois ideais à esquerdaL1eL2deAdefina-se as opera¸cõesL1∧L2:=L1∩L2eL1∨L2:=L1+L2. A cole¸cão de todos os ideais à esquerda deAé umreticulado(para a defini¸cão, vide página 83 e seguintes) em rela¸cão a essas duas opera¸cões. Afirma¸cão análoga vale tanto para a cole¸cão de todos os ideais à direita deAquanto para a cole¸cão de todos os ideais bilaterais deA.

E. 2.138Exerc´ıcio.Prove as afirma¸c˜oes acima. 6

•Produtos de ideais

SejaBum subconjunto não vazio deA. SeLé um ideal à esquerda deAo conjuntoG LB

´e igualmente um ideal

a esquerda deA, denominado o ideal produto deLporB. Analogamente, seR´e um ideal `a direita deAo conjunto G

é igualmente um ideal à direita deA, denominado o ideal produto deBporR. Por fim, seLé um ideal à

esquerda deAeRé um ideal à direita deA, entãoG LR

´e um ideal bilateral deA, denominado o bi-ideal produto de LporR.

•Quocientes de an´eis por ideais bilaterais

Vamos agora a uma das mais importantes constru¸cões ligadas à no¸cão de anel: a de anel quociente de um anel por um seu ideal bilateral. Essa constru¸cão guarda forte semelhan¸ca à de grupo quociente, introduzida na Se¸cão 2.2.2, página 132.

SejaAum anel eBum ideal bilateral deA. Podemos definir emAuma rela¸c˜ao de equivalˆencia declarandoa∼a^′ sea−a^′∈Bparaa, a^′∈A.

Por essa defini¸cão é evidente quea∼apara todoa∈A. É também evidente que, sea∼a^′, entãoa^′∼apara todosa, a^′∈A. Por fim, sea∼a^′ea^′∼a^′′, entãoa−a^′′= (a−a^′) + (a^′−a^′′)∈B, poisa−a^′∈B,a^′−a^′′∈B eBé um subgrupo deA, provando quea∼a^′′. Isso estabeleceu que “∼”, definida acima, é, de fato, uma rela¸cão de equivalência emA. Assim,Aparticiona-se em classes de equivalência por essa rela¸cão de equivalência. Seja [a] a classe de equivalência de um elementoa∈A. Podemos fazer da cole¸cão das classes de equivalência, que denotaremos porA/B, um anel definindo

[a1] + [a2] := [a1+a2] e [a1] [a2] := [a1a2],

a1, a2∈A. Antes de mostrar que essas opera¸cões fazem deA/Bum anel, é preciso provar que elas estão bem definidas enquanto opera¸cões entre classes. Mas, de fato, sea1, a2∈Aeb1, b2∈B, tem-se (a1+b1)+(a2+b2) =a1+a2+(b1+b2), e comob1+b2∈B, segue que a soma [a1] + [a2] não depende do particular representante tomado das classes [a1] e [a2], o resultado sendo sempre um elemento da classe [a1+a2]. Analogamente, (a1+b1)(a2+b2) =a1a2+ (a1b2+b1a2+b1b2).

Comoa1b2+b1a2+b1b2∈B(note que a propriedade debi-lateralidade do idealB´e usada aqui), segue que o produto [a1][a2] n˜ao depende do particular representante tomado das classes [a1] e [a2], o resultado sendo sempre um elemento da classe [a1a2].

E evidente pelas defini¸c˜´ oes que [a1] + [a2] = [a2] + [a1] para todos [a1],[a2]∈A/B. É também fácil ver que [0] =B.

Logo, [0] é o elemento neutro deA/Bpela opera¸cão de soma. Cada [a]∈A/B, tem no elemento [−a] seu inverso aditivo, pois [a] + [−a] = [a−a] = [0]. LogoA/Bé um grupo comutativo para a opera¸cão “+”. Agora, para todos [a1],[a2] e [a3]∈A/Bvale [a1][a2]

[a3] = [a1a2][a3] = [a1a2a3] = [a1] [a2][a3]

, provando que o produto ´e associativo. Por fim, [a1] [a2] + [a3]

= [a1][a2+a3] =

a1(a2+a3)

a1a2+a1a3

= [a1a2] + [a1a3] = [a1][a2] + [a1][a3] e

[a2] + [a3]

[a1] = [a2+a3][a1] =

(a2+a3)a1

a2a1+a3a1

= [a2a1] + [a3a1] = [a2][a1] + [a3][a1] , estabelecendo a distributividade do produto na soma. Isso demonstrou queA/B´e um anel.

O anelA/Bé denominadoanel quocientedeApelo ideal bilateralB, ouanel fatordeAporB. Diversas estruturas algébricas importantes são constru´ıdas na forma de quocientes de anéis por ideais bilaterais e teremos a oportunidade de apresentar algumas.

Notemos, por fim, que seApossui uma identidade 1, então [1] é a identidade deA/B, pois, para todo [a]∈A/Bvale [a][1] = [a1] = [a]. Fora isso, seAé comutativo,A/Btambém o é, pois [a][b] = [ab] = [ba] = [b][a] para todosa, b∈A.

A rec´ıproca n˜ao ´e necessariamente verdadeira:A/Bpode ser comutativo sem queAo seja.

•An´eis gerados por rela¸c˜oes

SejaAum anel. É por vezes muito importante construir um novo anel a partir deAidentificando alguns elementos selecionados deA. Se, por exemplo,aebsão elementos distintos deApode ser de nosso interesse impor que valha uma rela¸cão comoa=b, ou comoa²=b, ou ainda comoaba=b³, ou várias delas simultaneamente. Isso equivale a impor que alguns elementos deA(como os elementosa−b, oua²−bou aindaaba−b³, nos exemplos acima) sejam nulos.

Combinando alguns ingredientes apresentados acima uma tal constru¸c˜ao ´e poss´ıvel.

SejaAum anel e sejaCum subconjunto não vazio deA. SejaI_B[A, C]≡I_B[C] o ideal bilateral gerado porC e seja o anelA/I_B[C]. Pela constru¸cão, sex∈I_B[C], então [x] = [0]. ComoC⊂I_B[C], segue que sec∈C, vale [c] = [0]. Como se vê, essa constru¸cão permite o efeito desejado se impor a nulidade de certos elementos deA, a saber os deC(e todos os demais deI_B[C], os quais são da forma de somas finitas de elementos comocouaca^′, coma, a^′∈Ae c∈C).

O anelA/I_B[C] ´e dito ser oanel geradopelo subconjuntoC⊂A, ou oanel geradopelo conjunto de rela¸c˜oesC⊂A.

O anelA/I_B[C] ser´a por vezes denotado porR[A, C] ou simplesmente porR[C], quandoAfor subentendido.

Um exemplo relevante de uma tal constru¸cão é o seguinte. SejaAum anel não comutativo. Podemos construir um anel comutativo a partir deAconsiderando o conjuntoC={ab−ba,coma, b∈A}e construindo o anelR[A, C] =A/I_B[C].

Os elementos deR[A, C] são classes [a] coma∈A. Para todosa, b∈Ateremos que [a][b]−[b][a] = [ab−ba] = [0], poisab−ba∈C⊂I_B[C], que é a classe do elemento 0. Com isso, vê-se queR[A, C] é um anel comutativo, por vezes denominado aAbelianiza¸cãodo anelA.

E. 2.139Exerc´ıcio.Seja o anelZ, formado pelos inteiros, com as opera¸c˜oes usuais de soma e produto. SejaC={n}, comnum

inteiro positivo. Mostre queR[Z,{n}]coincide comZn. 6

Constru¸cões como a do anel gerado por um subconjunto Csão particularmente potentes quando combinadas à constru¸cão da álgebra tensorial de espa¸cos vetoriais, que introduziremos na Se¸cão 2.5, página 200.

•Ideais próprios, primos e maximais e algumas de suas propriedades Vamos agora a algumas defini¸cões úteis. SejaAum anel.

Um idealIdeAé dito ser umideal próprioseIfor um subconjunto próprio deA. É fácil constatar que seAé um anel com identidade 1, então um idealIé próprio se e somente se 16∈I. Essa observa¸cão elementar tem consequências diversas sobre propriedades estruturais de ideais, como veremos adiante.

Um ideal pr´oprio deIdeA´e dito ser umideal primose para todosaeb∈Apara os quais valhaab∈Item-se ou quea∈Iou queb∈I(ou ambos).

Um ideal próprioM deAé dito ser umideal maximalse não houver emAnenhum outro ideal próprio que contém M.

Proposi¸cão 2.26SeAé um anel comutativo com uma unidade1, então todo ideal maximal deAé um ideal primo.2

Prova. ComoAé comutativo, todo ideal deAé bilateral. Sejama, b∈Atais queab∈M. Sea∈Ma prova está completa. Vamos, então, supor quea6∈M. O conjuntoAaé um ideal, pois para todoa^′∈Avalea^′ab∈a^′M⊂M. Fora isso,Aanão é um subconjunto deMpois, comoAé unital,Aacontém o elemento 1a=a6∈M. Assim, a soma Aa+Mé um ideal bilateral deAque contémMcomo subconjunto próprio e que deve conter a unidade, pois se assim não fosse seria um ideal próprio deAque contémMpropriamente, contrariando a maximalidade deM. Logo, existem a^′∈Aem∈Mtais quea^′a+m= 1. Logo,a^′ab+mb=b. Agora,a^′ab∈Memb=bm∈M. Logo,b∈M.

As proposi¸cões que seguem contém informa¸cões importantes sobre a rela¸cão entre ideais primos, ideais maximais e quocientes.

Proposi¸cão 2.27SejaAum anel comutativo com unidade eP um ideal primo emA. Então, A/P é um anel de

integridade. 2

Prova. Vimos acima que a comutatividade deAimplica a comutatividade deA/Pe queA/P é unital, poisAo é, a unidade sendo [1]. Tudo o que precisamos é provar queA/P não tem divisores de zero. Suponhamos queA/P tenha divisores de zero, ou seja, que existam [a]6= [0] e [b]6= [0] tais que [a][b] = [0]. Isso significa que [ab] = [0], ou seja, que ab∈I. Pela hipótese, isso significa ou quea∈I(o que implica [a] = [0]) ou queb∈I(o que implica [b] = [0]) ou ambos.

Isso é uma contradi¸cão e com ela completa-se a demonstra¸cão.

A seguinte proposi¸cão é empregada na teoria dos anéis e álgebras comutativas e na topologia algébrica.

Proposi¸cão 2.28SejaAum anel comutativo com unidade eM um ideal maximal emA. Então,A/Mé um corpo. 2

Prova. Vimos acima que a comutatividade deAimplica a comutatividade deA/Me queA/Mé unital, poisAo é, a unidade sendo [1]. Vimos também (Proposi¸cão 2.26) queMé um anel primo e, portanto,A/Mé um anel de integridade (Proposi¸cão 2.27). Tudo o que precisamos é provar que todo elemento não nulo [a] deA/Mtem uma inversa.

Primeiramente, notemos que sea∈Atem uma inversaa⁻¹, ent˜ao [a⁻¹] ´e a inversa de [a], pois [a][a⁻¹] = [aa⁻¹] = [1].

Vamos, então, considerar elementosa∈Aque não tenham inversa emA. A condi¸cão que [a] seja um elemento não nulo deA/Msignifica quea6∈M.

Fixado um tala, consideremos o conjuntoaA. O fato deanão ter inversa emAequivale a dizer que 16∈aA. O conjuntoaAé um ideal à direita, mas também um ideal à esquerda, pois, devido à comutatividade deA, valeaA=Aa.

Assim,aAé um ideal bilateral que não contém 1. Notemos também queaAnão é um subconjunto deMpois, comoA

´e unital,aAcont´em o elementoa1 =a6∈M.

A somaM+aAé igualmente um ideal bilateral deA, masM+aAcontém o elemento 1 pois, se assim não fosse, M+aAseria um ideal bilateral próprio deAque contémM propriamente (já queaAnão é um subconjunto deM), contrariando a hipótese queMé maximal. Assim 1∈M+aA, o que significa que existemm∈M ea^′∈Atais que m+aa^′= 1, ou seja,aa^′= 1−m, o que implica [aa^′] = [1] e, portanto, [a][a^′] = [1]. Isso prova que [a] tem uma inversa multiplicativa, a saber, [a]⁻¹= [a^′].

2.4.1.2 Ideais em ´Algebras Associativas

As defini¸cões e constru¸cões acima, sobre ideais em anéis, podem ser estendidas para o contexto de álgebras associativas.

Lembrando que toda álgebra associativa é um anel, um ponto relevante a considerar é a estrutura linear introduzida pelo corpo de escalaresKcom os quais podemos multiplicar os vetores da álgebra em questão. Aqui não repetiremos todas as constru¸cões acima no mesmo n´ıvel de detalhe, por tal ser claramente dispensável, e nos ateremos apenas aos fatos mais importantes para os desenvolvimentos ulteriores. Vamos primeiramente às defini¸cões adequadas de ideais em álgebras.

•Subespa¸co gerado por subconjunto de uma ´algebra associativa e alguma nota¸c˜ao

SejaAuma álgebra associativa sobre um corpoK. Como tal,Aé dotada de uma opera¸cão associativa de produto

“·” (s´ımbolo esse que, por simplicidade, omitiremos no que segue) e de uma opera¸cão de soma “+” em rela¸cão à qual é um grupo Abeliano, sendo também um espa¸co vetorial sobreK.

SeB⊂A´e um subconjunto n˜ao vazio deA, o conjuntoE[B]⊂Adefinido por E[B] :=n

α1b1+· · ·+αnbn, n∈N, αk∈K e bk∈B para todok= 1, . . . , no ,

e formado por todas as combina¸cões lineares finitas de elementos deBcom coeficientes emK, é o menor subespa¸co de Aque contémB, o chamadosubespa¸co gerado pelo subconjuntoBdeA.

E de se observar que se´ BeCsão subconjuntos não vazios deA, entãoE[B∪C] contémE[B] eE[C] como subespa¸cos.

Analogamente ao caso de anéis, seBeCsão subconjuntos não vazios deAdenotamos porBCo conjunto de todos os elementos deAque são da formabccomb∈Bec∈C: BC:=n

bc, comb∈Bec∈Co

. Com isso, é fácil ver queE[B]E[C]⊂E[BC]. SeB,CeDsão subconjuntos não vazios deAtambém denotamos porBCDos conjuntos (BC)D=B(CD) (essa igualdade dando-se em fun¸cão da assumida associatividade deA): BCD:=n

bcd, comb∈ B, c∈Ce d∈Do

•Ideais à esquerda, à direita e bilaterais em álgebras associativas

SejaAuma álgebra associativa sobre um corpoK. Um subconjuntoLdeAque seja um subespa¸co vetorial sobreK deAé dito ser umideal algébrico à esquerdadeAseal∈Lpara todoa∈Ae todol∈L. Um subconjuntoRdeA que seja um subespa¸co vetorial sobreKdeAé dito ser umideal algébrico à direitadeA(ou simplesmente umideal à direitadeA) sera∈Lpara todoa∈Ae todor∈R. Um subconjuntoBdeAé dito ser umbi-ideal algébricoou um ideal bilateral algébricodeAfor simultaneamente um ideal à direita e um ideal à esquerda deA. Por vezes omitiremos o qualificativo “algébrico” e falaremos apenas de ideais à esquerda ou à direita ou bilaterais, tal como no caso de anéis.

•Homomorfismos e ideais alg´ebricos bilaterais

SejamAeB duas álgebras associativas e sejaφ :A→Bum homomorfismo algébrico. Então, Ker(φ) ={a∈ A|φ(a) = 0}é um ideal bilateral algébrico deA. A prova dessa importante afirma¸cão é análoga à do caso de anéis e os detalhes são deixados como exerc´ıcio.

•Intersec¸c˜oes de ideais

SejaAuma álgebra associativa e sejamLλcomλ∈Λ (Λ sendo um conjunto arbitrário de ´ındices) uma fam´ılia de anéis algébricos à esquerda deA. É muito fácil verificar pelas defini¸cões (fa¸ca-o!) queT

λ∈ΛLλé também um ideal algébrico à esquerda deA. Afirma¸cão análoga vale para ideais algébricos à direita e ideais algébricos bilaterais.

•Ideais alg´ebricos gerados por subconjuntos de uma ´algebra associativa

Assim como no caso de anéis, a no¸cão de ideais algébricos gerados por subconjuntos de uma álgebra associativa

No documento Estruturas Alg´ ebricas B´ asicas (páginas 58-62)