Definic¸˜ao 1.10. Um conjunto n˜ao vazio A ´e um anel em relac¸˜ao `as operac¸˜oes bin´arias de adic¸˜ao (+) e multiplicac¸˜ao (·) desde que, para arbitr´arios a, b, c ∈ A, as seguintes propriedades sejam verificadas:
(A1) (a + b) + c = a + (b + c) (a operac¸˜ao (+) ´e associativa).
(A2) a + b = b + a (a operac¸˜ao (+) ´e comutativa).
(A3) ∃ 0A∈ A tal que a + 0A= a (existe elemento neutro para a operac¸˜ao (+)). (A4) ∀ a ∈ A, ∃ (−a) ∈ A tal que a + (−a) = 0A(todo elemento tem sim´etrico aditivo).
(M1) (a · b) · c = a · (b · c) (a operac¸˜ao (·) ´e associativa).
(M2) a · (b + c) = a · b + a · c (distributividade de (·) `a esquerda de (+)).
(M3) (b + c) · a = b · a + c · a (distributividade de (·) `a direita de (+)).
Nas condic¸˜oes expostas acima dizemos que a terna ordenada (A, +, ·) ´e um anel.
Por abuso de linguagem ´e comum dizer-se apenas que A ´e um anel para ex- pressar o conceito agora introduzido. Isto naturalmente pressup˜oe que as duas operac¸˜oes tenham sido fixadas “a priori”.
Definic¸˜ao 1.11. O anel (A, +, ·) ´e anel comutativo quando: (M4) a · b = b · a; ∀ a, b ∈ A.
Definic¸˜ao 1.12. O anel (A, +, ·) ´e anel com unidade quando: (M5) ∃ 1A ∈ A tal que a · 1A= 1A· a = a, ∀ a ∈ A.
Definic¸˜ao 1.13. O anel (A, +, ·) ´e anel sem divisores de zero quando: (M6) a, b ∈ A e a · b = 0 =⇒ a = 0 ou b = 0.
Definic¸˜ao 1.14. Um dom´ınio (dom´ınio de integridade ou anel de integridade) ´e um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero.
Exemplo 1.10. S˜ao exemplos cl´assicos de dom´ınios:
• Anel dos inteiros (Z, +, ·). • Anel dos racionais (Q, +, ·).
• Anel dos reais (R, +, ·). • Anel dos complexos (C, +, ·).
Exemplo 1.11. Para cada n ∈ Z, o conjunto nZ = {n · q \ q ∈ Z}, ´e anel em relac¸˜ao `a adic¸˜ao e `a multiplicac¸˜ao usuais de Z. Note que nZ ´e comutativo, sem divisores de zero, mas n˜ao tem unidade, exceto quando n = 1.
Exemplo 1.12. M2(R) = (Ã a b c d ! ; a, b, c, d ∈ R )
, com as operac¸˜oes usuais de matrizes ´e anel n˜ao comutativo, com divisores de zero e com unidade.
Proposic¸˜ao 1.6. As seguintes afirmac¸˜oes s˜ao verdadeiras para um anel qualquer. (i) O elemento neutro da adic¸˜ao ´e ´unico.
(ii) O elemento neutro da multiplicac¸˜ao ´e ´unico. (iii) O sim´etrico de um elemento ´e ´unico.
Demonstrac¸˜ao.
(i) O elemento neutro da adic¸˜ao ´e ´unico.
De fato, sejam α e α0 elementos neutros para a adic¸˜ao. Como α0 ´e neutro temos que
α = α0+ α
e, como α ´e neutro temos que
α0 = α + α0.
Por (A2) temos ent˜ao que
α0 = α + α0 = α0 + α = α. Logo α0 = α.
(ii) O elemento neutro da multiplicac¸˜ao ´e ´unico.
A demonstrac¸˜ao acima devidamente adaptada nos fornece o resultado. (iii) O sim´etrico de um elemento a ∈ G ´e ´unico.
De fato, se a0e a00s˜ao dois sim´etricos de a, ent˜ao por (A2) e (A1) temos que
¥
Observac¸˜ao 1.7. Usaremos o s´ımbolo 0 para denotar o elemento neutro da adic¸˜ao que ser´a chamado de zero.
Observac¸˜ao 1.8. Usaremos o s´ımbolo 1 para denotar o elemento neutro da multipli- cac¸˜ao que ser´a chamado de unidade ou apenas de um.
A proposic¸˜ao a seguir traz propriedades de sim´etricos em um anel qualquer. Usaremos estes resultados na demonstrac¸˜ao do Teorema 1.6.
Proposic¸˜ao 1.7. Sejam A um anel qualquer e a, b ∈ A. Ent˜ao: (i) a(−b) = (−a)b = −ab.
(ii) (−a).(−b) = ab.
Demonstrac¸˜ao.
(i) Note que:
0 = a.0 = a.(b − b) = ab + a(−b).
Isso assegura que o sim´etrico de ab ´e a(−b). Portanto, −ab = a(−b). Analogamente verifica-se que −ab = (−a)b.
(ii) Usando (i) temos:
(−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)).
Como ab − ab = 0, conclu´ımos que o sim´etrico de −ab ´e ab. Isto ´e,
−(−ab) = ab.
Portanto, (−a)(−b) = −(−ab) = ab.
¥ Ao se definir um novo ente matem´atico ´e necess´ario que se estabelec¸a quando dois representantes deste ente s˜ao considerados iguais. ´E o que faremos agora em relac¸˜ao a an´eis. Para isto h´a a necessidade de algumas definic¸˜oes.
Definic¸˜ao 1.15. Sejam A e A0 dois an´eis e seja f uma func¸˜ao do conjunto A no conjunto A0. Diz-se que f ´e um homomorfismo do anel A no anel A0 se, e somente se, s˜ao v´alidas as seguintes condic¸˜oes:
(1 ) f (a + b) = f (a) + f (b).
Exemplo 1.13. Sejam A = Z e B = Z × Z, f : Z −→ Z × Z definida por
f (x) = (x, 0), ∀x ∈ Z. f ´e homomorfismo porque f (x + y) = (x + y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = f (x) + f (y) e f (x · y) = (x · y, 0) = (x, 0) · (y, 0) = f (x) · f (y).
Exemplo 1.14. Considere a func¸˜ao f : Z −→ A, onde A ´e um anel, definida por
f (n) = 1An. f ´e homomorfismo porque
f (m) + f (n) = 1Am + 1An = 1A(m + n) = f (m + n) e
f (m) · f (n) = (1Am) · (1An) = 1A(m(1An)) = m(n1A) = 1A(mn) = f (mn).
Definic¸˜ao 1.16. Se f ´e um homomorfismo de A em A0 e se f ´e uma func¸˜ao injetora, diremos que f ´e um monomorfismo de A em A0 ou que f ´e um homo- morfismo injetor de A em A0.
Exemplo 1.15. O homomorfismo f : Z −→ Z × Z dado por f (x) = (x, 0),
∀ x ∈ Z, ´e monomorfismo pois
f (x) = f (y) =⇒ (x, 0) = (y, 0) =⇒ x = y.
Existe uma forma alternativa para verificar se um homomorfismo f ´e monomor- fismo. Para apresent´a-la, introduziremos o conceito a seguir.
Definic¸˜ao 1.17. Seja f : A −→ B um homomorfismo de an´eis, chamamos de n ´ucleo (ou kernel) de f o conjunto N (f ) = {a ∈ A; f (a) = 0}.
Exemplo 1.16. Seja f : Z −→ A definida por f (n) = 1An. Vimos no Exemplo 1.14 que f ´e um homomorfismo. Tomando-se A = Z, o homomorfismo f ´e a func¸˜ao idˆentica de Z e seu n´ucleo se reduz a {0}.
Exemplo 1.17. Seja f : Z −→ A definida por f (n) = 1An. Vimos no Exemplo 1.14 que f ´e um homomorfismo. Seja m > 1 e tomemos A = Zm.
Neste caso, o homomorfismo f ´e definido por f (n) = 1 · n = n e seu n´ucleo ´e mZ como vemos abaixo:
N(f ) = {a ∈ Z; f (a) = 0} = {a ∈ Z; a · 1 = 0} = {a ∈ Z; a = 0} = mZ.
Proposic¸˜ao 1.8. Seja f : A −→ B um homomorfismo. S˜ao equivalentes: (i) f ´e monomorfismo
Demonstrac¸˜ao. • (i) =⇒ (ii) f (0) = 0 =⇒ 0 ∈ N(f ) =⇒ {0} ⊆ N(f ). x ∈ N(f ) =⇒ f (x) = 0 = f (0) =⇒ x = 0,
por f ser monomorfismo. Ficamos com x ∈ {0}, ou seja, N (f ) ⊆ {0}. Logo, N (f ) = {0}.
• (ii) =⇒ (i) Suponhamos f (x) = f (y). Ent˜ao: f (x) = f (y) =⇒ f (x) − f (y) = 0
=⇒ f (x − y) = 0 =⇒ x − y = 0 =⇒ x = y. Logo, f ´e monomorfismo.
¥
Observac¸˜ao 1.9. Note que o Exemplo 1.15 pode ser feito utilizando a proposic¸˜ao acima, ou seja, mostrando que o N (f ) = {0}.
N(f ) = {m ∈ Z; f (m) = (m, 0) = (0, 0)} = {0}.
Definic¸˜ao 1.18. Se f ´e um homomorfismo de A em A0 e se f ´e uma func¸˜ao sobrejetora, diremos que f ´e um epimorfismo de A em A0 ou que f ´e um homo- morfismo sobrejetor de A em A0.
Exemplo 1.18. f : Z × Z −→ Z dada por f(x, y) = x, ∀(x, y) ∈ Z × Z, ´e um
homomorfismo sobrejetor uma vez que
f ((x, y) + (x0, y0)) = f (x + x0, y + y0) = x + x0 = f (x, y) + f (x0, y0),
f ((x, y) · (x0, y0)) = f (x · x0, y · y0) = x · x0 = f (x, y) · f (x0, y0). Dado x ∈ Z, tome (x, 0) ∈ Z × Z, ent˜ao f (x, 0) = x.
Logo, f ´e um homomorfismo sobrejetor.
Definic¸˜ao 1.19. Se f ´e um homomorfismo de A em A0 e se f ´e uma func¸˜ao bije- tora, diremos que f ´e um isomorfismo de A em A0ou que f ´e um homomorfismo bijetor de A em A0.
Observac¸˜ao 1.10. Um homomorfismo de A em A tamb´em ´e denominado endo-
A existˆencia de um isomorfismo entre dois an´eis implica que os dois an´eis, mesmo que tenham elementos distintos e que as operac¸˜oes neles definidas tamb´em sejam diferentes, algebricamente tˆem a mesma estrutura. Por esta raz˜ao, a e- xistˆencia de um isomorfismo entre dois an´eis ´e utilizada para definir igualdade de an´eis: dois an´eis s˜ao iguais quando eles s˜ao isomorfos.
Baseados no Exemplo 1.16 e no Exemplo 1.17 daremos a seguinte definic¸˜ao.
Definic¸˜ao 1.20. Chama-se caracter´ıstica de um anel comutativo A, com ele- mento unidade 1A 6= 0, ao ´unico n´umero natural m tal que mZ seja o n´ucleo do homomorfismo f : Z −→ A definido por f (n) = 1A· n.
Dessa forma, o anel A tem caracter´ıstica zero se, e somente se , 0 ´e o ´unico n´umero inteiro tal que 1A·n = 0. Por outo lado, o anel A tem caracter´ıstica m > 0 se, e somente se, m ´e o menor n´umero natural n˜ao nulo tal que 1A· m = 0.
Observac¸˜ao 1.11. O Exemplo 1.16 e o Exemplo 1.17 nos mostram, respectiva- mente, que o anel Z dos n´umeros inteiros tem caracter´ıstica zero e o anel Zm (m > 1), dos inteiros m´odulo m, tem caracter´ıstica m.
Definic¸˜ao 1.21. Seja A um anel comutativo com elemento unidade 1A 6= 0 e suponhamos que esteja definida uma ordem total ≤ sobre o conjunto A. Diz-se que esta ordem ´e compat´ıvel com a estrutura de anel definida sobre o conjunto A ou, simplesmente, que A ´e um anel ordenado pela ordem ≤ se, e somente se, s˜ao v´alidos os seguintes axiomas
(OA) ∀ a, b, c ∈ A, se a ≤ b, ent˜ao a + c ≤ b + c. (OM ) ∀ a, b, c ∈ A, se a ≤ b e 0 ≤ c ent˜ao ac ≤ bc.
Se A ´e anel comutativo com elemento unidade e se estiver fixada, sobre o conjunto A, uma ordem total ≤ que satisfaz os axiomas (OA) e (OM ) diremos, simplesmente, que A, ´e um anel ordenado suprimindo-se, portanto, a referˆencia `a ordem total fixada sobre o conjunto A e ao fato que esta ordem satisfaz os axiomas (OA) e (OM).
Observac¸˜ao 1.12. Apesar de haver a restric¸˜ao 0 ≤ c no axioma (OM ), costuma- se dizer que a ordem ≤ ´e compat´ıvel com a multiplicac¸˜ao.
Observac¸˜ao 1.13. Se A ´e um anel ordenado pela ordem ≤, ent˜ao ´e imediato que (A, +, ≤) ´e um grupo abeliano ordenado, portanto, num anel ordenado valem as propriedades enunciadas na secc¸˜ao 1.1 relativas `a adic¸˜ao.
Definic¸˜ao 1.22. Seja A um anel comutativo com unidade 1A 6= 0. Dizemos que
A ´e orden´avel, quando existe uma relac¸˜ao de ordem total ≤ em A, que satisfaz
Teorema 1.5. Todo anel comutativo ordenado tem caracter´ıstica zero.
Demonstrac¸˜ao. Seja A um anel ordenado. Considere o homomorfismo
f : Z −→ A, tal que f(n) = 1A· n.
n ∈ N(f ) ⇐⇒ n · 1A = 0.
Como (A, +, ≤) ´e grupo abeliano totalmente ordenado e 1A ∈ A usamos o Corol´ario 1.3 para concluir que n = 0. Portanto,
n ∈ N(f ) ⇐⇒ n · 1A = 0
⇐⇒ n = 0.
Segue que A tem caracter´ıstica zero.
¥
Definic¸˜ao 1.23. Sejam A um anel com unidade e a ∈ A. Definimos:
a0 = 1
A
an= a · ... · a, n vezes quando n ∈ N∗.
Veremos a seguir algumas propriedades da ordem, relativas aos produtos, e s´o consideraremos o caso em que o anel ordenado n˜ao admita divisores pr´oprios do zero. Portanto, daqui por diante s´o consideraremos an´eis de integridade ordena- dos.
Teorema 1.6. Num anel de integridade ordenado A valem as seguintes propriedades:
(1) Regra dos sinais:
(a) se 0 < a e se 0 < b, ent˜ao, 0 < ab.
(b) se a < 0 e b < 0, ent˜ao 0 < ab.
(c) se a < 0 e b > 0, ent˜ao, ab < 0.
(d) se 0 < ab, ent˜ao 0 < a e 0 < b ou a < 0 e b < 0.
(e) se ab < 0, ent˜ao 0 < a e b < 0 ou a < 0 e 0 < b.
(2) 0 ≤ a2para todo a em A e 0 < a2para todo a 6= 0; em particular, o elemento unidade de A ´e estritamente positivo.
(3) Se a ´e invers´ıvel, ent˜ao a e a−1 s˜ao ambos estritamente positivos ou estrita- mente negativos.
(4) |ab| = |a| · |b|.
(1) (a) 0 < a =⇒ 0 ≤ a e a 6= 0. 0 < b =⇒ 0 ≤ b e b 6= 0. Por (OM ) temos:
0 · b ≤ a · b =⇒ 0 ≤ ab.
Note que n˜ao podemos ter ab = 0 j´a que a, b 6= 0 e A ´e anel de integridade (sem divisores de zero).
Logo, 0 < ab.
(b) Pelo Lema 1.2 temos:
a < 0 =⇒ −a > 0 e b < 0 =⇒ −b > 0.
Por (a) temos:
(−a) · (−b) > 0 =⇒ ab > 0.
(c) De a < 0 temos −a > 0. Ent˜ao por (a), (−a) · b > 0 =⇒ −ab > 0
=⇒ ab < 0.
(d) Se 0 < a, podemos dizer que 0 ≤ a.
Suponha, por absurdo, que b ≤ 0, ent˜ao por (OM ),
a.b ≤ a.0 = 0,
contradic¸˜ao. Outro caso ´e an´alogo. (e) Se 0 < a, podemos dizer que 0 ≤ a.
Suponha, por absurdo, que 0 ≤ b, ent˜ao por (OM ), 0.b ≤ a.b =⇒ 0 ≤ a.b,
contradic¸˜ao! O caso a < 0 ´e an´alogo. (2) 0 ≤ a2, ∀ a ∈ A.
a > 0 =⇒ a.a = a2 > 0, por (1)(a).
a < 0 =⇒ a.a = a2 > 0, por (1)(b).
a = 0 =⇒ a.a = 0.0 = 0.
De qualquer forma, temos a2 ≥ 0. Al´em disso, fica claro que se a 6= 0, ent˜ao
Como 1A6= 0 temos, em particular, que 1A= 1A· 1A= (1A)2 > 0. (3) a ´e invers´ıvel =⇒ (a > 0 e a−1 > 0) ou (a < 0 e a−1 < 0).
Se a > 0 temos a.a−1 = 1A> 0 por (2). Ent˜ao por (1)(d), a−1 > 0. Se a < 0 temos a.a−1 = 1A> 0 por (2). Ent˜ao por (1)(d), a−1 < 0. (4) |ab| = |a|.|b|
• a ≥ 0 e b ≥ 0
Por (1)(a) temos ab ≥ 0. Ent˜ao |ab| = ab.
De a ≥ 0 temos |a| = a. Da mesma forma |b| = b. Ent˜ao ficamos com |ab| = a.b = |a|.|b|.
• a < 0 e b < 0
Por (1)(b) temos ab ≥ 0. Ent˜ao |ab| = a.b.
De a < 0 temos |a| = −a. Da mesma forma |b| = −b. Ent˜ao ficamos com |ab| = a.b = (−a).(−b) = |a|.|b|.
• a ≥ 0 e b < 0
Por (1)(c) temos ab ≤ 0. Ent˜ao |ab| = −a.b. De a ≥ 0 temos |a| = a. De b < 0 temos |b| = −b. Ent˜ao ficamos com |ab| = −a.b = a.(−b) = |a|.|b|.
• a < 0 e b ≥ 0
An´alogo ao caso anterior.
¥
Proposic¸˜ao 1.9. Num anel de integridade ordenado A valem as seguintes pro- priedades:
(i) se 0 < a, ent˜ao 0 < anpara todo n´umero natural n.
(ii) se a < 0, ent˜ao 0 < a2ne a2n+1 < 0 para todo n´umero natural n.
(i) Temos que provar que se 0 < a, ent˜ao 0 < an. Por induc¸˜ao sobre n.
• Para n = 0 temos a0 = 1
A, por definic¸˜ao. Como 1A > 0, pelo Teorema 1.6, temos que a0 > 0.
• Hip´otese de induc¸˜ao: para k fixo, k > 0 temos 0 < ak.
• Tese de induc¸˜ao: 0 < ak+1.
ak+1 = ak.a > 0.
(ii) Pelo Teorema 1.6 (2) temos que a2 > 0, pois a 6= 0. Segue de (i) que (a2)n> 0, isto ´e, a2n > 0.
Como a2n > 0 e a < 0, aplicamos a Regra dos Sinais para concluir que
a2n+1 = a2n· a < 0.
¥ Notac¸˜ao: Sejam A um anel e P um subconjunto de A. Usaremos a notac¸˜ao:
P P = {ab ∈ A; a, b ∈ P }.
Teorema 1.7. Se A ´e um anel de integridade ordenado e se P ´e o conjunto dos elementos positivos de A, ent˜ao temos:
(I) P + P ⊂ P . (II) P T(−P ) = {0}. (III) P S(−P ) = A. (IV) P P ⊂ P .
Al´em disso, se A ´e um anel de integridade e se P ´e uma parte do conjunto A que satisfaz as condic¸˜oes (I), (II), (III) e (IV ), ent˜ao existe uma ´unica ordem total ≤, sobre A, compat´ıvel com a adic¸˜ao e a multiplicac¸˜ao, tal que P seja o conjunto de todos os elementos positivos pela ordem ≤.
Demonstrac¸˜ao.
(I), (II) e (III)
Como A ´e ordenado temos que (A, +, ≤) ´e grupo abeliano totalmente orde- nado.
Al´em disso, P ´e o conjunto dos elementos positivos de (A, +, ≤). Segue do Teorema 1.1 que P satisfaz as condic¸˜oes (I), (II) e (III). (IV ) P P ⊂ P
Sejam a, b ∈ P . Ent˜ao 0 ≥ a e 0 ≥ b. Por (OM ) temos: 0.b ≤ a.b =⇒ 0 ≤ a.b.
Seja A um anel de integridade e suponhamos que exista uma parte P , do con- junto A, que satisfac¸a as condic¸˜oes (I), (II), (III) e (IV ).
Pelo Teorema 1.1, aplicado ao grupo (A, +, ≤), existe uma ´unica ordem ≤, compat´ıvel com a adic¸˜ao, tal que P seja o conjunto dos elementos positivos por esta ordem.
Pela Definic¸˜ao 1.22 basta verificar (OM ). Mas o axioma (OM ) ´e de verificac¸˜ao imediata por (IV ).
¥
Corol´ario 1.8. Um anel de integridade A ´e orden´avel se, e somente se existe uma parte P , de A, satisfazendo as condic¸˜oes (I), (II), (III) e (IV ).
Demonstrac¸˜ao. E imediato do teorema anterior.´
¥
Teorema 1.8. A ordem habitual dos n´umeros inteiros ´e a ´unica ordem total com- pat´ıvel com a estrutura de anel definida sobre Z.
Demonstrac¸˜ao. O subconjunto P = N do anel Z dos n´umeros inteiros satisfaz as condic¸˜oes (I), (II), (III) e (IV ) do Teorema 1.7, logo, Z ´e um anel orden´avel. Note que esta ordem ´e a ordem usual dos n´umeros inteiros:
a ≤ b ⇐⇒ b − a ∈ N.
Sejam R uma ordem total definida sobre Z compat´ıvel com a adic¸˜ao e a multiplicac¸˜ao e, P o conjunto dos elementos positivos pela ordem R, isto ´e:
P = {a ∈ Z; 0Ra}.
Vamos provar que P = N. Por induc¸˜ao temos:
• 1 ∈ P , pelo Teorema 1.6.
• Gostaria de provar que k + 1 ∈ P . k ∈ P e 1 ∈ P =⇒ 0Rk e 0R1
=⇒ (0 + 1)R(k + 1) =⇒ 1R(k + 1) =⇒ k + 1 ∈ P .
Portanto n ∈ P , para todo n natural n˜ao nulo.
Note que 0 ∈ P , logo, N ⊂ P . Falta provar que P ⊂ N. Suponha por absurdo, que isso n˜ao ocorra, ent˜ao existe b ∈ P tal que
b /∈ N =⇒ b ∈ (−N)
pois Z = NS−N. Temos ent˜ao b = −a, a ∈ N.
b = −a =⇒ b ∈ −P .
Mas ent˜ao b ∈ PT(−P ) = {0}, de onde vem que b = 0.
Chegamos dessa forma a uma contradic¸˜ao, pois 0 ∈ N. Logo a ordem R coincide com a ordem habitual dos n´umeros inteiros.
¥
Definic¸˜ao 1.24. Sejam (A, +, ·) um anel e A0 ⊆ A, A0 6= {}. Dizemos que A0 ´e subanel de A quando A0 ´e um anel com as operac¸˜oes de A, isto ´e:
(i) x, y ∈ A0 =⇒ x + y ∈ A0 e x · y ∈ A0. (ii) (A0, +, ·) ´e anel.
Definic¸˜ao 1.25. Seja A0um subanel de A. Se 1A∈ A0, dizemos que A0 ´e subanel unit´ario de A.
Proposic¸˜ao 1.10. Sejam A um anel e A0 um subconjunto de A. Temos que A0 ´e um subanel unit´ario de A se, e somente se, as seguintes condic¸˜oes s˜ao satisfeitas:
(i) 1 ∈ A0.
(ii) quaisquer que sejam a, b ∈ A0, temos que a − b ∈ A0 e a · b ∈ A0.
Demonstrac¸˜ao.
(=⇒) ´E imediato da definic¸˜ao. (⇐=) Como 1 ∈ A0, segue que
0 = 1 − 1 ∈ A0.
Se a ∈ A0, ent˜ao −a = 0 − a ∈ A0.
a + b = a − (−b) ∈ A0.
Como a · b ∈ A0e as demais propriedades que definem um anel s˜ao verificadas em A0 pois o s˜ao em A, temos que A0 ´e um subanel de A.
¥
Teorema 1.9. Seja A um anel comutativo com elemento unidade 1A 6= 0. Ent˜ao
o conjunto de todos os m´ultiplos inteiros de 1A
1A· Z = {m · 1A; m ∈ Z}
´e o menor subanel unit´ario de A.
Demonstrac¸˜ao. Seja A um anel comutativo com elemento unidade 1A6= 0. Claro que 1A∈ 1A· Z. Sejam m · 1A, n · 1A∈ 1A· Z. Como m · 1A− n · 1A= (m − n) · 1A∈ 1A· Z e m · 1A· n · 1A= (mn) · 1A∈ 1A∈ 1A· Z
segue da Proposic¸˜ao 1.10 que 1A· Z ´e subanel unit´ario de A. Falta provar que ´e o menor.
Seja A0 um subanel unit´ario de A. Logo, 1A∈ A0. Dado m ∈ Z, temos: • se m = 0 ent˜ao m · 1A= 0 ∈ A0. • se m > 0 ent˜ao m · 1A= 1A+ ... + 1A∈ A0. • se m < 0 ent˜ao m · 1A= −(1A+ ... + 1A) ∈ A0. Portanto, m · 1A ⊆ A0. ¥
Teorema 1.10. Se A ´e um anel comutativo com elemento unidade 1A 6= 0 e se A
tem caracter´ıstica zero, ent˜ao o menor subanel unit´ario de A ´e isomorfo ao anel
Z dos n´umeros inteiros.
Demonstrac¸˜ao. Consideremos a func¸˜ao f : Z −→ 1A· Z, definida por
f (n) = 1A· n.
(1) f (a + b) = f (a) + f (b). (2) f (ab) = f (a).f (b).
Sejam m, n ∈ Z:
(1) f (m + n) = 1A· (m + n) = 1A· m + 1A· n = f (m) + f (n). (2) f (m.n) = 1A· (mn) = (m1A).(n1A) = f (m) · f (n).
• Para f ser epimorfismo devemos ter f sobrejetora, ou seja, Im(f) = 1A· Z.
Im(f ) = {f (x); x ∈ Z} = {1A· x; x ∈ Z} = 1A· Z.
• Para f ser monomorfismo devemos ter f injetora. Pela Proposic¸˜ao 1.8 deve-
mos ter N (f ) = {0}. Como A tem caracter´ıstica zero,
N(f ) = {x ∈ Z; f (x) = 0} = {x ∈ Z; 1A· x = 0} = {0}, logo, f ´e injetora.
¥
Definic¸˜ao 1.26. Sejam (A, +, ·, ≤) e (A0, +, ·, ≤) dois an´eis de integridade orde- nados e f uma func¸˜ao do conjunto A no conjunto A0. Diz-se que f ´e um isomor- fismo ordenado de A em A’ se, e somente se, f satisfaz as seguintes condic¸˜oes: (1) f ´e um isomorfismo do anel A no anel A0.
(2) quaisquer que sejam a e b em A, tem-se a ≤ b se, e somente se, f (a) ≤ f (b).
Teorema 1.11. O menor subanel unit´ario 1A· Z, de um anel de integridade orde-
nado A, ´e ordenadamente isomorfo ao anel Z dos n´umeros inteiros.
Demonstrac¸˜ao. Pelo Teorema 1.5, o anel de integridade ordenado tem cara- cter´ıstica zero. Ent˜ao, pelo Teorema 1.9, temos que 1A · Z ´e o menor subanel unit´ario de A. Aplicando agora o Teorema 1.10, temos que 1A· Z ´e isomorfo ao anel Z dos n´umeros inteiros.
O isomorfismo ´e f : Z −→ 1A· Z, f (n) = 1A· n.
Basta provar que 1A · Z ´e ordenadamente isomorfo ao anel Z. Ent˜ao pela Definic¸˜ao 1.26 devemos ter para quaisquer m e n em Z, m ≤ n se, e somente se,
f (m) ≤ f (n).
(=⇒) Sejam m, n ∈ Z tais que m ≤ n.
Como n − m ≥ 0, temos por definic¸˜ao que (n − m) · 1A≥ 0. Assim:
(⇐=) Seja agora m, n ∈ Z tais que f (m) ≤ f (n). Ent˜ao m · 1A≤ n · 1A, isto ´e, (m − n) · 1A≤ 0. Suponha, por absurdo, que m − n > 0.
Segue da definic¸˜ao de m´ultiplo em A que (m − n) · 1A= 1A+ ... + 1A > 0. Absurdo! Logo, m − n ≤ 0, e portanto m ≤ n.
¥ Nesta ´ultima secc¸˜ao trabalharemos com um tipo particular de estrututa alg´ebrica, os corpos. ´E importante frisar que os corpos s˜ao an´eis de integridade onde todo elemento n˜ao nulo ´e invers´ıvel.