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anteriores, denota-se falta de hábitos regulares de trabalho fora da aula. No entanto alguns alunos frequentam aulas privadas de recuperação a Matemática.
Toda a turma trabalha bem em aula, de forma cooperativa e participante, havendo um excelente relacionamento com o professor. Adaptam-se bem à realização de tarefas exploratórias e exercícios de aplicação propostos. O professor incentiva a comunicação e intervenção dos alunos, quer oralmente quer através da deslocação ao quadro para correção e apresentação de resultados.
Em termos gerais, são no entanto notórias as dificuldades à disciplina. É frequente haver uma apreensão razoável de novos conteúdos, mas logo surgem enormes dificuldades ao nível do cálculo, principalmente nas propriedades das operações algébricas, manipulação e simplificação de expressões, o que dificulta e exige muito tempo extra na aplicação dos conhecimentos adquiridos. O facto de a turma ser bastante heterogénea torna difícil adotar ritmos de trabalho que se adaptem à maioria dos alunos.
Existem também limitações importantes a nível do domínio da Língua Portuguesa, que se manifesta de forma mais evidente na dificuldade em interpretar corretamente os enunciados escritos.
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Considera-se que os alunos do 11.º ano estão em condições de ter o primeiro contacto com o conceito. No entanto, apenas o programa de ‘Matemática A’ aborda esta temática.
Efetivamente, os programas de matemática do ensino secundário para os cursos na área das Ciências Sociais e Humanas (ME, 2001) ou os designados Cursos Tecnológicos (ME, 2004/5), não incluem o conceito de limite nem as suas múltiplas aplicações posteriores a conceitos como continuidade ou derivada. É pois assumido que a noção de limite é estrutural e indispensável a quem ambiciona prosseguir os seus estudos científicos a nível universitário.
O domínio Funções Reais de Variável Real é precedido pelo domínio das Sucessões. Aqui os alunos definem o conceito de sucessão como uma extensão das sequências do ensino básico. Antes de abordar a noção de limite de uma sucessão, os alunos são confrontados com a definição de minorante, majorante, mínimo e máximo de um conjunto, bem como de conjunto limitado. Estas noções são depois naturalmente aplicadas às sucessões para definir sucessões monótonas e limitadas. Como exemplos de sucessões definidas por recorrência, as sucessões aritméticas e geométricas são objeto de estudo aprofundado com exercícios de aplicação e consolidação.
Uma vez que o programa adota a definição de Heine para limite de uma função real de variável real, é fundamental que os alunos tenham bem consolidados os conhecimentos que adquiriram imediatamente antes relativamente ao limite de sucessões, álgebra de limites e técnicas de levantamento de indeterminações. Terão igualmente de mobilizar os conhecimentos de lógica, álgebra e funções adquiridos no 10.º ano, como por exemplo o conceito de vizinhança de um ponto da reta real, operações sobre conjuntos, quantificadores, intervalos de monotonia, extremos de funções e operações algébricas sobre funções.
É também no domínio Sucessões que, pela primeira vez, os alunos são confrontados com diversos teoremas em que se exige que o desempenho
‘Provar/Demonstrar’ (ME, 2013) comece a assumir maior relevância relativamente ao que até aí sucedera no ensino secundário. Nos casos de menor dificuldade, as demonstrações são apresentadas no manual da disciplina logo a seguir aos enunciados, sendo o aluno incentivado a consultar anexos para os casos de maior complexidade. Há assim uma preocupação sistemática em que o aluno comece a interiorizar que a maioria das proposições matemáticas não pode ser aceite sem prévia demonstração rigorosa, apoiada em afirmações anteriores já submetidas à mesma metodologia.
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Ainda no que respeita à ênfase em que os alunos comecem a preocupar-se em saber demonstrar os enunciados matemáticos a que recorrem, é precisamente a propósito da apresentação de algumas propriedades das sucessões que é introduzido o princípio de indução e o respetivo método de demonstração. No manual adotado da disciplina (Viegas & Valente, 2016), o princípio de indução precede e serve de suporte teórico à definição de sucessões por recorrência.
A aprendizagem do conceito de limite pode tirar imenso benefício do recurso à tecnologia. Os alunos são frequentemente convidados a efetuar representações gráficas das sucessões e interpretar intuitivamente a evolução das curvas apresentadas no mostrador da calculadora. Este recurso, especialmente quando associado à resolução de problemas práticos, dá uma ajuda inestimável não só à apreensão formal do conceito de limite, como também contribui para a perceção pelos alunos da utilidade da matemática como instrumento de modelação e aplicação a situações concretas do mundo real, uma das finalidades do ensino da matemática (ME, 2013).
As seis aulas supervisionadas que lecionei centraram-se na definição de limite de funções reais de variável real segundo Heine e na operatória sobre limites. Não foi possível, por falta de tempo, explorar convenientemente o levantamento de indeterminações e alguns teoremas mais elaborados, como o teorema do produto de uma função limitada por outra de limite igual a zero e o limite da função composta. No que respeita à definição de Heine, como já foi referido, a tónica foi evidenciar que o conceito de limite de uma função é essencialmente uma extensão e consolidação do que já tinha sido apresentado aos alunos a respeito das sucessões. As maiores novidades na aplicação do conceito a funções foram os limites laterais e limites no infinito.
Os alunos não mais deixarão de usar e aplicar amiúde o conceito de limite. Isso sucederá a propósito da continuidade, assíntotas ao gráfico de uma função e, de forma mais sistemática, na definição de derivada e suas aplicações. No 12.º ano aprofundarão o estudo de limites de sucessões e funções, seguirão para as derivadas de segunda ordem e respetivas aplicações a áreas exteriores à matemática como por exemplo a Física.
Finalmente, no novo domínio ‘Primitivas e Cálculo Integral’, considerado como um complemento essencial do Cálculo Diferencial, os alunos terminam o ensino secundário com uma visão mais unificada e abrangente da Análise elementar (ME, 2013).
Pode assim concluir-se que o conceito de limite, uma vez introduzido para as sucessões, passa a estar omnipresente, ainda que muitas vezes de forma implícita, em praticamente todos domínios e subunidades de conteúdos subsequentes. Tal como se
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refere logo no início do programa e metas curriculares para o ensino secundário, o conceito de limite merece atenção especial em curricula de outros países, não só pela sua relevância como tópico matemático transversal, mas igualmente pelas consequências negativas da sua incorreta aprendizagem (ME, 2013, Introdução).
Em termos de planeamento anual da Matemática na escola (AEQB-ESPAN, Planificação Anual 11.º ano - Matemática A - 2018/2019), há uma concordância, no que ao total de tempos letivos diz respeito, com as recomendações contidas no programa e metas curriculares de Matemática A do ensino secundário (ME, 2013). No plano para o ano letivo 2018/2019, estão previstos 43 tempos letivos (45 minutos cada) para o domínio Funções Reais de Variável Real. Neste, o subdomínio dedicado ao limite segundo Heine, preenche 5 aulas (10 tempos), ou seja, aproximadamente 25% do planeamento total do domínio. É curioso verificar que são sensivelmente equivalentes os tempos reservados ao limite de sucessões e ao limite de funções, com ligeira predominância (3 tempos) para o limite de sucessões, o que é compreensível face à relevância das sucessões na definição de Heine. Mas o subdomínio com maior relevo no estudo das funções no 11.º ano é sem dúvida o das derivadas. Pesa mais de 50% no planeamento do domínio (22 tempos letivos), o que acentua a importância de uma correta prévia aprendizagem do conceito de limite pelos alunos.
Parece assim incontornável a importância de uma correta apreensão do conceito de limite logo nos primeiros contactos dos alunos com o tema. A tendência é aliás internacional. No sentido de alinhar o programa nacional com algumas opções curriculares já adotadas por outros países (nomeadamente alguns participantes no programa de avaliação internacional TIMSS-Advanced), procedeu-se ao reforço de alguns tópicos, como o do ‘…estudo de limites de sucessões e de funções, que, quando trabalhados de forma vaga e exageradamente intuitiva, levam com frequência à formação de conceções erradas e difíceis de reverter.’ (ME, 2013, p.4).
Também o NCTM realça a importância do conceito de limite no ensino secundário. Na sua tabela de ‘standards and expectations’, é referida a necessidade de explorar e aplicar conceitos informais de aproximação sucessiva, limitação superior/inferior e limite em cenários de medição (NCTM, 2000).
Na preparação e planeamento das seis aulas supervisionadas, recorri essencialmente às recomendações e instruções contidas no Programa e Metas Curriculares para o Ensino Secundário e ao manual da disciplina adotado pela escola
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(Viegas & Valente, 2016). O plano detalhado de cada uma das aulas encontra-se em anexo, no final do documento (Anexo 1 a Anexo 6).