Ancoragem da subunidade de ensino no programa da disciplina

A prática letiva incidiu no tema II - “Introdução ao cálculo diferencial I, funções racionais e com radicais e taxa de variação e derivada” (ME, 2001, p. 5) no tópico taxa de variação e derivada. Porém, este estudo foca ainda alguns aspetos abordados no tema III - “sucessões reais” (ME, 2001, p. 8) do programa de Matemática A para o 11.º ano de escolaridade, atendendo à sua articulação com o tema anterior.

No 10.º ano de escolaridade os alunos desenvolvem o estudo intuitivo de propriedades das funções e dos seus gráficos, particularmente no caso da função quadrática e funções polinomiais (graus 3 e 4) bem como a decomposição de polinómios em fatores. No tema da Geometria analítica os alunos estudam a equação vetorial e reduzida da reta, no plano e no espaço, onde o estudo do declive da mesma está presente.

No 11.º ano de escolaridade, os alunos iniciam o estudo da Análise Infinitesimal “interpretando fenómenos e resolvendo problemas recorrendo a

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gráficos, por via intuitiva, analítica e usando calculadora gráfica” (ME, 2001, p. 4), adquirindo conhecimentos através de uma “aproximação gradual dos conceitos de continuidade, derivadas e limites” (ME, 2001, p. 4).

O tópico que antecedeu a prática letiva foi o de “funções racionais e com radicais” onde, recorrendo à resolução problemas, foram exploradas as propriedades das funções do tipo

. A “aproximação experimental da noção de limite” (ME, 2001, p. 9) foi pela primeira vez abordada, este ano, no estudo das assíntotas de funções racionais.

Referindo o programa de Matemática A do Ensino Secundário (ME, 2001) e estabelecendo o elo de ligação do mesmo com a utilização das três representações (R3) na UE, interessa realçar que:

A abordagem das funções reais considerará sempre estudos dos diferentes pontos de vista - gráfico, numérico e algébrico - sobre tipos simples de funções, desde as algébricas inteiras (que são as tratadas no 10.º ano), passando pelas fracionárias [11.º ano] e acabando nas transcendentes - exponenciais e logarítmicas ou trigonométricas [12.º ano]. Neste grande tema, será realizada uma abordagem ao cálculo de variações e de limites, bem como ao estudo da continuidade, sem recurso inicial às definições simbólicas rigorosas. (ME, 2001, p. 2)

Os objetivos específicos de aprendizagem do tópico funções racionais e com radicais, tópico antecedente ao tópico lecionado, são “compreender a noção de limite lateral, finito e infinito… reconhecer, após compreensão, as assintotas de uma função e limites nos ramos infinitos ” (ME, 2001, p. 6) o que estabelece a ponte para o conceito de limite no contexto da diferenciabilidade. O programa, nas suas indicações metodológicas indica a necessidade de “propor problemas envolvendo as funções anteriores e as estudadas no 10.º ano, tanto sob os aspetos analíticos como numéricos e gráficos” (ME, 2001, p. 6). Além disso, refere que “As competências de manipulação simbólica e a capacidade de interpretar gráficos podem funcionar em conjunto…[sendo] uma agregação de investigação na sala de aula” (NCTM, 2007, p. 358) indo ao encontro, mais uma vez, da utilização das várias representações (R3- numérica, gráfica e simbólica), na prática letiva.

O programa sugere que “O conceito de limite, a ser formalizado mais tarde, deve ser utilizado de forma intuitiva” (ME, 2001, p. 6), o que é favorável à ideia de Tall (1993) quando refere que os alunos devem compreender as ideias fundamentais

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antes de serem introduzidos os conceitos formais. Desta forma, os alunos vão construindo o “conceito imagem” de limite (onde se insere o “conceito definição”) de modo intuitivo e formal.

O estudo da taxa de variação e derivada, tópico da prática letiva, engloba como objetivos específicos a compreensão da noção da taxa de variação, interpretação geométrica da taxa média de variação e respetivo cálculo. Os alunos devem compreender a noção derivada de uma função (generalização) e compreender/determinar (por definição) a expressão algébrica da função derivada.

O programa, nas suas indicações metodológicas, propõem alguns problemas simples que envolvam derivadas num contexto de aplicações.

No tema I, antecedente ao tema da minha intervenção, os alunos estudaram a intersecção, paralelismo e perpendicularidade de retas e planos onde o conceito de tangente a uma circunferência (já abordado no 3.º ciclo) e plano tangente a uma superfície esférica estão presentes.

O tema III, subsequente à intervenção letiva, é o das sucessões reais; sua definição e propriedades. O estudo da sucessão e da convergência é iniciado, bem como relembrados os limites infinitamente grandes/pequenos e reais. A este respeito, o programa refere que:

Depois de se terem introduzido as noções de sucessão como função de variável natural, de ordem, de termo geral, etc. podem apresentar- se exemplos de sucessões definidas pelo seu termo geral e, utilizando a calculadora gráfica, através de cálculos e representações gráficas de sequências de termos chegar aos conceitos de infinitamente grande, de infinitamente pequeno e de limite de uma sucessão. Cada definição deve ser suportada por exemplos e contra exemplos que esclareçam as ideias imediatas e corrijam eventuais conceções alternativas e erradas. (ME, 2001, p. 9)

Este tema III, subsequente ao período da lecionação, também será considerado no estudo, dado o seu pertinente enquadramento na construção do “conceito imagem” de limite e utilização que os alunos efetivam do conceito do mesmo.

Os objetivos específicos do programa (ME, 2001), referentes ao mesmo tema, centram-se na compreensão e justificação da convergência ou divergência de uma sucessão usando a definição ou teoremas o que “abre portas à exploração de sequências e séries finitas e a noções informais de limites” (NCTM, 2007, p. 361).

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Como prossecução imediata (12.º ano) das aprendizagens, o programa inclui o estudo das funções exponenciais e logarítmicas, teoria de limites, onde se integra o limite de função segundo Heine, propriedades operatórias, limites notáveis, indeterminações, assíntotas e continuidade. O estudo do Teorema de Bolzano– Cauchy precede o cálculo diferencial que integra o estudo de funções deriváveis (onde são trabalhadas as regras de derivação), teorema da derivada da função composta, segundas derivadas e concavidade.

Os objetivos curriculares são totalmente propícios à ancoragem da fundamentação teórica do estudo e ao seu objetivo, estabelecendo-se assim uma base perfeita para a sua concretização.

O planeamento escolar começou por indicar o início do estudo das funções racionais, a 12 de janeiro, porém somente ocorreu a 23 do mesmo mês e, o estudo da programação linear (incluído no tema I), previamente planeado para iniciar em meados de abril, teve início a 18 de março. Como consequência deste desfasamento temporal e da replanificação escolar, o tópico da taxa de variação e derivada onde recai a minha intervenção, teve lugar no começo do terceiro período ou seja a 2 de abril.