Ancoragem da Trigonometria no programa de Matemática

Ao longo do 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico, os alunos vão adquirindo noções básicas como segmento, ângulo e triângulo que irão ser desenvolvidas ao longo do seu percurso escolar e que permitirão uma maior compreensão do tema Trigonometria.

Segundo o Programa de Matemática do Ensino Básico (ME, 1991a), os alunos começam no 7.º ano de escolaridade a trabalhar intuitivamente a noção matemática de forma e semelhança de figuras. Neste tema observam e constroem ampliações e reduções de figuras, usando diverso material de modo a constatarem “experimentalmente que os ângulos se mantêm e os comprimentos são proporcionais” (p. 22). No caso particular dos triângulos, é desejável que os alunos sejam capazes de reconhecer que dois triângulos são semelhantes, se tiverem dois ângulos iguais e posteriormente, utilizarem esse resultado na resolução de problemas, que impliquem a determinação da altura de árvores, candeeiros e edifícios. No tema “construção de triângulos”, os alunos aprendem a desigualdade triangular e os critérios de igualdade de triângulos de forma intuitiva, através da construção de triângulos. Ao fazerem essa construção verificam que em triângulos iguais, os elementos correspondentes, isto é lados e ângulos são iguais. Os critérios de igualdade de triângulos e as relações entre ângulos de lados paralelos, ângulo internos e ângulos externos de um triângulo são utilizados na justificação de raciocínios sobre figuras geométricas. As relações entre ângulos de lados paralelos são aceites com base na experimentação, e a partir delas, os alunos “poderão justificar ou acompanhar a justificação das propriedades relativas ao ângulo externo e à soma dos ângulos internos de um triângulo (ME, 1991a, p. 26).

Em relação ao 8.º ano de escolaridade, o programa preconiza a resolução de puzzles geométricos, como por exemplo o Tangram, que permite aos alunos contactar e conhecer melhor figuras geométricas básicas por composição e decomposição, com o objectivo de dar a conhecer, aos alunos, as propriedades e as relações que se podem estabelecer entre os vários elementos das figuras. Desta forma, surge a demonstração do Teorema de Pitágoras que poderá ser feita por decomposição de um quadrado. É nesta altura que começam a surgir os termos “hipótese”, “tese”, “teorema” e “demonstração” no vocabulário matemático dos alunos. É recordada a noção de semelhança, alargando o conceito à semelhança de triângulos, onde são estudados de uma forma intuitiva, recorrendo à construção, os critérios de semelhança de triângulos (LLL, LAL, LAA). De modo a aplicar estes conhecimentos é sugerido pelo programa que o professor

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proponha aos alunos problemas tais como “calcular a altura de um candeeiro de rua, com o auxílio de uma estaca colocada perpendicularmente ao solo, medindo as respectivas sombras” (ME, 1991a, p. 39). São também abordados problemas envolvendo distâncias entre dois pontos, que permitem identificar e reconhecer conjuntos de pontos, como a circunferência e a mediatriz de um segmento de recta.

No 9.º ano de escolaridade é iniciado o estudo da circunferência e das propriedades relativas a ângulos ao centro, inscritos, arcos e cordas que se verificam experimentalmente, sendo utilizadas em raciocínios sobre figuras. Neste ano de escolaridade, surge pela primeira vez uma unidade didáctica dedicada à Trigonometria. Esta unidade é designada por Trigonometria do triângulo rectângulo e permite aos alunos fazer um estudo das razões trigonométricas de ângulos agudos, a partir de triângulos rectângulos semelhantes. Estudam-se algumas relações entre as razões trigonométricas, nomeadamente a fórmula fundamental da Trigonometria e a fórmula que relaciona as três razões trigonométricas (seno, co-seno, tangente), além de serem propostos vários problemas como “determinar valores aproximados do apótema de um hexágono regular, conhecido o lado, e/ou determinar valores aproximados do lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência, conhecido o raio” (ME, 1991a, p. 60) e determinar distâncias inacessíveis como a altura de edifícios, janelas ou árvores.

Segundo o Programa de Matemática A para o Ensino Secundário (ME, 2001b), um dos temas que é estudado pelos alunos do 10.º ano de escolaridade é a “Geometria Analítica”. Neste tema, os alunos estudam referenciais cartesianos ortogonais e monométricos no plano e no espaço. Surgem novas noções de “referencial”, “coordenadas” e “vectores”. Aparecem as correspondências entre o plano e e entre o espaço e , além de se trabalharem as “equações de rectas/planos paralelos a eixos/planos coordenados ou bissectrizes/planos bissectores de quadrantes/octantes” (ME, 2001b, p. 26).

No 11.º ano de escolaridade, há uma continuidade da geometria estudada no ano anterior e surge uma unidade didáctica denominada, “Geometria no Plano e no Espaço II”, onde os alunos aplicam muitos dos conhecimentos que adquiriram anteriormente sobre Trigonometria e geometria do 10.º ano de escolaridade. Nesta unidade generaliza- se a noção de ângulo e arco, bem como das razões trigonométricas. Surge uma nova medida de ângulo, o radiano. São estudadas as funções seno, co-seno e tangente no círculo trigonométrico, além de equações trigonométricas simples que os alunos devem ser capazes de resolver.

25 No 12.º ano de escolaridade existe uma unidade ligada somente à Trigonometria, que se denomina por “Trigonometria e números complexos”. Os objectivos desta unidade são realizar um estudo intuitivo das funções trigonométricas “com base no círculo trigonométrico, tanto a partir de um gráfico particular, como usando calculadora gráfica ou computador” (ME, 2002, p. 7); um estudo intuitivo de ; cálculo das derivadas das funções trigonométricas, assim como, a

utilização de funções trigonométricas na modelação de situações reais. Relativamente aos números complexos é desejável que os alunos representem números complexos, tanto na forma trigonométrica, como na algébrica, e sejam capazes de fazer a passagem de uma para outra forma. Esta unidade encerra assim o estudo da Trigonometria, que foi realizado ao longo do ensino secundário.