Ancoragem da unidade de ensino

O conceito de derivada faz parte do tópico das funções e surge no 11.º ano de escolaridade, inserido no tema ‘Introdução ao Cálculo Diferencial’. Este conceito é abordado a partir do estudo da noção de variação e torna-se extremamente importante nos dias que correm, na medida em que “cada vez mais, as discussões sobre variação são encontradas na imprensa generalista e nas reportagens” (NCTM, 2008, p. 362). Por isso, é necessário dotar o aluno das ferramentas adequadas para compreender situações do quotidiano.

As noções de taxa média de variação e de taxa de variação/derivada desempenham um papel crucial na Introdução ao Cálculo Diferencial, sendo apresentadas aos alunos recorrendo ao uso informal e intuitivo da noção de limite.

Gil (2014) afirma que, na maioria dos casos, o significado que os alunos tendem a desenvolver em relação à derivada de uma função está relacionado com a sua aplicabilidade num determinado tipo de tarefas (problemas de otimização e análise de funções). Refere também que, embora em menor número, alguns alunos desenvolvem paralelamente um significado geométrico da derivada de uma função num determinado ponto, embora revelem dificuldades na sua compreensão. Esta aplicabilidade da derivada à resolução de problemas de otimização e ao estudo de funções é precisamente uma das

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Classificações 2.º Período - Matemática

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razões que torna indispensável a presença do estudo da derivada no currículo escolar do ensino secundário.

No decorrer do 11.º ano, de acordo com o programa, são estudadas derivadas de algumas funções em casos simples: funções afins, funções polinomiais do 2.º e 3.º grau e funções racionais. É somente no 12.º ano que o estudo das derivadas se torna mais formal e é alargado a outro tipo de funções (função exponencial, logarítmica e funções trigonométricas).

À medida que se introduzem novos elementos, nomeadamente as regras de derivação, os alunos tendem a esquecer conceitos abordados anteriormente como, por exemplo, o da definição de derivada num ponto (Gil, 2014). Daí, que o professor deva estar alerta para estas situações, tentando estabelecer um equilíbrio entre tarefas onde impere a utilização das regras de derivação, mas também tarefas onde o aluno necessite de recorrer e trabalhar os conceitos relacionados com a derivada.

A unidade de ensino na qual se enquadra o meu estudo faz parte do programa de Matemática A do ensino secundário (ME, 2001), do 12.º ano de escolaridade. O tema da unidade de ensino é “Introdução ao Cálculo Diferencial II” e o tópico sobre o qual realizei a minha intervenção letiva é o Cálculo Diferencial, em particular o subtópico Funções deriváveis. A lecionação incidiu, em primeiro lugar, sobre as regras de derivação, onde, de acordo com o programa, foi demonstrada a regra de derivação da soma, do produto e dado a conhecer aos alunos as restantes regras. Em segundo lugar, abordei o teorema da derivada da função composta e os exemplos apresentados seguiram as indicações metodológicas (ME, 2001), não ultrapassando o seguinte grau de dificuldade: 𝑓(𝑎𝑥), 𝑓(𝑥 + 𝑏) e 𝑓(𝑥𝑘_{). O domínio das regras de derivação e do conceito de derivada é}

essencial para a unidade didática que se seguirá, onde os alunos terão de aplicar estes conhecimentos no estudo de funções.

De acordo com a planificação anual da disciplina de Matemática, o tópico Funções deriváveis foi lecionado no segundo período do ano letivo de 2015/16. Em particular, a minha intervenção decorreu no período que abrangeu o final do mês de fevereiro e início do mês de março e teve a duração de 10 tempos de 45 minutos que se combinam em 5 aulas da turma já referida. As duas primeiras aulas foram dedicadas às regras de derivação, as duas aulas seguintes ao teorema da derivada da função composta e a última aula foi de aplicação dos conhecimentos adquiridos na resolução de tarefas envolvendo a primeira derivada. Na tabela seguinte apresento o plano da unidade de

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ensino lecionada, integrando a calendarização das aulas, os objetivos específicos propostos para cada uma delas e a indicação das tarefas aplicadas.

Tabela I - Plano da unidade de ensino

Unidade

de ensino: Subunidade: Tópicos:

Número de aulas: Cálculo Diferencial Funções deriváveis

- Função derivada (regras de derivação); - Derivadas de funções elementares; - Derivada da função exponencial 𝑥 ↦ 𝑒𝑥_.

Segunda definição do número 𝑒;

- Derivada da função logarítmica 𝑥 ↦ ln (𝑥); - Teorema da derivada da função composta.

5 aulas de 90 minutos

Objetivos de aprendizagem:

- Trabalhar com conceitos já utilizados anteriormente de forma intuitiva: limite, continuidade e derivada;

- Deduzir, utilizando a definição de derivada num ponto, a função derivada de 𝑒𝑥 _e

ln (𝑥);

- Conhecer as regras de derivação e saber aplicá-las na determinação da derivada de uma função;

- Conhecer e utilizar o teorema da derivada da função composta na determinação da derivada de uma função composta;

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Aula Objetivos específicos Tarefa

1ª Aula 26/02/2016 (90 minutos)

- Determinar a derivada de uma função polinomial de grau menor ou igual a 3;

- Aplicar as regras de derivação da soma, do produto e da potência no cálculo de derivadas; - Mobilizar as regras supramencionadas para o cálculo de derivadas de funções polinomiais de grau arbitrário. Tarefa 1 “Regras de derivação” 2ª Aula 01/03/2016 (90 minutos)

- Determinar a derivada da função 𝑒𝑥 e da função ln (𝑥);

- Aplicar as regras de derivação da soma, do produto, da potência e do quociente no cálculo de derivadas;

- Mobilizar as regras supramencionadas para o cálculo de derivadas envolvendo as funções 𝑒𝑥 e ln (𝑥); Tarefa 2 “Regras de derivação” + Questão de aula 1 3ª Aula 03/03/2016 (90 minutos)

- Aplicar as regras de derivação da soma, do produto, da potência e do quociente no cálculo de derivadas;

- Trabalhar com a composição de funções; - Mobilizar as regras supramencionadas para o cálculo de derivadas. Tarefa 2 “Regras de derivação” + Tarefa 3 “Teorema da derivada da função composta” 4ª Aula 04/03/2016 (90 minutos)

- Utilizar o teorema da derivada da função composta no cálculo de derivadas;

- Mobilizar as regras de derivação para o cálculo de derivadas envolvendo funções compostas; - Aplicar o teorema da derivada da função composta para deduzir as derivadas de funções da forma 𝑒𝑢, ln (𝑢), 𝑎𝑢 e log𝑎(𝑢). Tarefa 3 “Teorema da derivada da função composta” 5ª Aula 08/03/2016 (90 minutos)

- Aplicar as regras de derivação da soma, do produto, da potência e do quociente no cálculo de derivadas;

- Utilizar o teorema da derivada da função composta no cálculo de derivadas;

- Utilizar o significado geométrico de derivada de uma função num ponto.

Tarefa 4

“Regras de derivação”

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Questão de aula 2

Na elaboração desta planificação de unidade de ensino tive em conta o público alvo, isto é, as características e as necessidades dos alunos da turma em análise, as questões e os objetivos do presente estudo, bem como as orientações curriculares presentes no programa do 12.º ano da disciplina de Matemática (ME, 2001).

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