Esta descrição apóia-se extensamente Conover (1980), particularmente em sua exposição dos testes de sinal. O teste de sinal utilizado foi o teste de tendência Cox e Stuart. Como qualquer teste de sinal, trata-se de um teste binomial com probabilidade p *= 1/2. Este teste pode ser usado para investigar se há alguma tendência em uma seqüência de observações. Os dados utilizados n o teste de tendência de Cox e Stuart consistem de observações em uma seqüência de variáveis aleatórias X1, X2, ... ,Xn dispostas na ordem em que as variáveis aleatórias foram
observadas. Agrupam-se as variáveis aleatórias em pares (X1, X1 + c), (X2, X2 + c), ... (Xn'-c, Xn),
onde c = n '/ 2 se n' é par, e c = (n'+2) / 2 se n' é ímpar. Note-se que a variável aleatória mediana da sequência é eliminada usando esse esquema, se n' é par. Tendo montado a sequência, substitua cada par (Xi, Xi + c) por um "+" se Xi < Xi + c, ou por um "-" se Xi > Xi + c,
ignorando os casos em que Xi = Xi + c. O número de pares assim obtido é chamado n. O teste
de Cox e Stuart pode ser usado para detectar tendências fazendo uso dos seguintes pressupostos:
1. As variáveis aleatórias X1, X2 , ... , Xn são independentes entre si;
2. A escala de medição de Xi é pelo menos ordinal. Ou seja, para cada par (Xi, Xi + c) é
possível dizer se Xi > Xi+c ou Xi < Xi + c ou Xi = Xi+c;
3. Ou os valores de Xi estão identicamente distribuídos, ou há uma tendência (para baixo
ou para cima). Consequentemente, se há tendência decrescente, os últimos valores de Xi são provavelmente menores que os primeiros, enquanto se houver uma tendência crescente ocorre o contrário;
A estatística T do teste é o número de "+" observados. Se não há nenhuma tendência a probabilidade de obter um "+" é a mesma de obter um "-". Portanto, o número de valores observados para '+' segue uma distribuição binomial em que p *= 1/2. Usando a distribuição binomial e os pressupostos 1, 2 e 3 acima descritos, é possível investigar as seguintes hipóteses:
H0: P(+) = P(-) H1: P + ≠ P -) B. (Teste Monocaudal) H0: P + P -) H1: P (+) > P (-) C. (Teste Monocaudal) H0: P + P -) H1: P (+) < P (-)
A interpretação dada a estas hipóteses é a seguinte: A: H0: Não existe tendência
H1: Há uma tendência crescente ou uma tendência descendente
B: H0: Não há tendência crescente H1: Há uma tendência crescente C: H0: Não há tendência decrescente H1: Há tendência decrescente
Em nosso caso as observações de consumo per capita de energia foram usadas para investigar se há uma tendência decrescente. Valores pequenos de T indicam que um „-‟ é mais provável que um „+‟, em concordância com H1 no caso C. Portanto, a região crítica do teste corresponde aos valores de T menores que ou iguais a t, sendo t encontrado entrando na tabela de distribuição binomial com p=1/2 e n (número de pares desiguais) e encontrando a entrada da tabela que é aproximadamente igual ao nível de significância α. O valor de y na tabela correspondente a α é t.
Aplicamos o teste de tendência de Cox e Stuart para os países do G20100. Obviamente, o
mesmo teste pode ser aplicado a outros países, períodos históricos e também outras classes de recursos naturais. Entretanto, os testes aqui apresentados são suficientes para deixar claro que a evidência disponível é mais que suficiente para falsear a hipótese de que o crescimento econômico perpétuo a partir de uma base de recursos exauríveis é possível. As taxas de consumo per capita de energia foram extraídas do banco de dados da OCDE, disponível eletronicamente101. Nesta base de dados há consumo per capita de energia de acordo com o seguinte esquema:
Tabela 8-1: Disponibilidade de Dado de Consumo per Capita de Energia por País
100 O G20 é composto pelos ministros das finanças e banco central da União Européia e dos seguintes 19 países: Alemanha, África do Sul, Arábia Saudita, Argentina, Austrália, Brasil, Canadá, China, Coréia do Sul, Estados Unidos, França, Índia, Indonésia, Itália, México, Japão, Reino Unido, Rússia e Turquia.
101 Disponível em
http://lysander.sourceoecd.org/vl=6248875/cl=46/nw=1/rpsv/oecd_database.htm. É possível encontrar o Documento com dados de consumo per capita de energia na base de dados eletrônica da OCDE por meio do seguinte procedimento de busca. Selecione os itens „OECD Databases‟ e „Databases‟ em Publications. Use „TPES‟ (Total Primary Energy Supply) como palavra-chave para a busca. Os documentos referentes a consumo de energia para membros e não-membros da OECD contêm os dados de consumo per capita de energia. Período 1960-2009 1971-2009 1971-2008 1990-2008 1991-2009 Alemanhaa
Observação a: Embora na base de dados utilizada constem dados para a Alemanha cobrindo o período de 1960-2009, optou-se por usar apenas os dados referentes ao período de 1991-2009, época correspondente
à reunificação da Alemanha.
Austrália, Canadá, Estados Unidos, França, Itália, Japão, Reino Unido e Turquia Coréia do Sul e México
África do Sul, Arábia Saudita, Argentina, Brasil, China, Índia e Indonésia Rússia
Como exemplo ilustrativo da aplicação do teste, tome-se o caso do Reino Unido. Neste caso o teste foi aplicado para o período de 1960-2009, cobrindo 50 anos de observações. Os dados de consumo per capita de energia durante o período são mostrados abaixo:
Tabela 8-2: Consumo per Capita de Energia para o Reino Unido
Agrupe os dados em pares (Xi , Xi+c). Associe um „+‟ a eventos nos quais Xi < Xi+c e um „-‟
aos casos em que Xi > Xi+c. Seguindo estas regras é possível construir a Tabela 8-3:
Reino Unido Reino Unido
Toneladas Equivalentes de Petróleo por habitante Toneladas Equivalentes de Petróleo por habitante
1 1960 3,03 26 1985 3,55 2 1961 3,01 27 1986 3,60 3 1962 3,08 28 1987 3,62 4 1963 3,20 29 1988 3,64 5 1964 3,21 30 1989 3,63 6 1965 3,33 31 1990 3,60 7 1966 3,31 32 1991 3,71 8 1967 3,34 33 1992 3,69 9 1968 3,41 34 1993 3,71 10 1969 3,56 35 1994 3,73 11 1970 3,69 36 1995 3,73 12 1971 3,73 37 1996 3,88 13 1972 3,75 38 1997 3,76 14 1973 3,88 39 1998 3,79 15 1974 3,73 40 1999 3,78 16 1975 3,55 41 2000 3,79 17 1976 3,62 42 2001 3,79 18 1977 3,70 43 2002 3,68 19 1978 3,68 44 2003 3,73 20 1979 3,86 45 2004 3,71 21 1980 3,52 46 2005 3,69 22 1981 3,41 47 2006 3,61 23 1982 3,40 48 2007 3,45 24 1983 3,38 49 2008 3,40 25 1984 3,37 50 2009 3,20
Tabela 8-3: Tabela de Resultados do Teste de Sinal para o Reino Unido
A Tabela 8.3 mostra que para n = 25 foram observados 21 eventos em que Xi < Xi+c (T=21).
Rejeita-se H0 se ao nível de significância de 5% tem-se T ≤ t. SE n E n ≤ 20, o valor de t pode ser obtido consultando-se numa tabela de distribuição binomial o valor de y correspondente a n com o qual p = 1/2. Para n > 20, y pode ser obtido usando a equação que aproxima a distribuição binomial por uma distribuição normal:
Par Sinal (3.03 , 3.55) + (3.01 , 3.60) + (3.08 , 3.62) + (3.20 , 3.64) + (3.21 , 3.63) + (3.33 , 3.60) + (3.31 , 3.71) + (3.34 , 3.69) + (3.41 , 3.71) + (3.56 , 3.73) + (3.69 , 3.73) + (3.73 , 3.88) + (3.75 , 3.76) + (3.88 , 3.79) - (3.73 , 3.78) + (3.55 , 3.79) + (3.62 , 3.79) + (3.70 , 3.68) - (3.68 , 3.73) + (3.86 , 3.71) - (3.52 , 3.69) + (3.41 , 3.61) + (3.40 , 3.45) + (3.38 , 3.40) + (3.37 , 3.20) -
T = Número Total de Sinais '+' 21
yr = n*p + wr*[n*p*(1-p)]1/2, em que wr é o quartil r de uma variável aleatória normal padrão,
obtida de uma tabela de distribuição normal.
Usando a expressão acima para n=25, p=1/2 e wr = w0,05 = -1,649 obtém-se:
tcalculado≈ 8.4 => t = 8
Portanto, deve-se rejeitar H0 para o Reino Unido se T ≤ 8. Como T = 21 para o Reino Unido, nós aceitamos H0. Ou seja, a evidência disponível está em contradição com a hipótese de que o consumo de energia per capita no período 1960-2009 tem uma tendência decrescente no país. Aplicando o mesmo critério descrito para o Reino Unido para os outros países, obtemos a Tabela 8-4:
Tabela 8-4: Síntese dos Resultados do Teste de Sinal para os Países
Os valores de t críticos para rejeitar a hipótese H0 de que não há tendência decrescente são t = 8 para Austrália, Canadá, Estados Unidos, França, Itália, Japão, Reino Unido e Turquia; t = 5 para África do Sul, Argentina, Arábia Saudita, Brasil, China, Coréia do Sul, Índia, Indonésia e
País Número de '+' Regra de Decisão
África do Sul 12 Aceitar H0 Alemanha 2 Aceitar H0 Arábia Saudita 19 Aceitar H0 Argentina 19 Aceitar H0 Austrália 25 Aceitar H0
Brasil 19 Aceitar H0
Canadá 25 Aceitar H0
China 19 Aceitar H0
Coréia do Sul 19 Aceitar H0 Estados Unidos 17 Aceitar H0
França 25 Aceitar H0 Índia 19 Aceitar H0 Indonésia 19 Aceitar H0 Itália 25 Aceitar H0 Japão 25 Aceitar H0 México 17 Aceitar H0
Reino Unido 21 Aceitar H0
Rússia 5 Aceitar H0
México; t = 1 para Alemanha e Rússia. A Tabela 8.4 mostra que nenhum país tem um número de '+' (T) igual ou inferior a t crítico. Portanto, H0 deve ser aceita para todos os países estudados.
Tendo usado o teste de tendência Cox e Stuart para falsear a equação que investiga as hipóteses neoclássicas referentes à dinâmica de substituição de recursos, pode-se usar o mesmo teste para averiguar também outras possibilidades. A ausência de uma tendência decrescente não por si só não prova que há uma tendência crescente no consumo per capita de recursos, pois mesmo excluindo a possibilidade de movimentos cíclicos há a possibilidade que existe uma tendência de estabilização do consumo. Utilizando teste de tendência Cox e Stuart para investigar a possibilidade de uma tendência crescente a conclusão é de que, com exceção de Alemanha, Rússia e África do Sul, todos os países têm uma tendência crescente por consumo de energia per capita no período observado.
Os valores críticos para aceitar a hipótese de que o consumo per capita dos países está aumentando são t ≥ 17 para Austrália, Canadá, França, Estados Unidos, Itália, Japão, Reino Unido e Turquia; t ≥ 13 para a Argentina, África do Sul, Arábia Saudita, Brasil, China, Coréia do Sul, Índia, Indonésia e México; t ≥ 7 para a Alemanha e Rússia.
A presença de uma tendência crescente é particularmente preocupante para os prognósticos de sustentabilidade. Evidentemente, um sistema econômico cuja reprodução depende de aumentos recorrentes nas quantidades utilizadas de recursos não-renováveis disponíveis em quantidade finita é sem sobra de dúvidas insustentável. Conhecimento do Cálculo diferencial e integral ensina que a soma de uma série indefinidamente longa cujos valores sempre crescem é infinita. Também ensina que uma série indefinidamente longa somente é superiormente limitada se apenas se os valores da série decrescem em direção a zero ao longo do tempo102. Em suma, as evidências de que dispomos são a de que a reprodução ampliada do
102 Para a demonstração matemática destas assertivas pode-se consultar, por exemplo, a exposição de Piskunov sobre séries, particularmente a seção 2 do capítulo XVI.
sistema econômico, apesar dos enormes ganhos de eficiência observados desde a Revolução Industrial, tem se apoiado numa demanda crescente por energia obtida de estoques de combustíveis fósseis. É difícil ver como um sistema que se apóia na demanda crescente de recursos finitos possa continuar a reproduzir-se perpetuamente.