Anni mirabiles

MAIS QUE QUALQUER COISA, a matemática dominou a atenção de Newton nos meses que

se seguiram a sua descoberta do novo mundo da ciência, embora não tenha obliterado por completo outros interesses. Em algum momento desse período, ele também encontrou tempo para compor as “Quaestiones”, onde digeriu a filosofia natural vigente com a mesma eficiência que a matemática. Os outros matemáticos e filósofos naturais da Europa nem sequer estavam cientes da existência de um jovem chamado Isaac Newton. Para os que o conheciam, seus colegas de estudo no Trinity, ele era um enigma. Os primeiros botões de sua genialidade desabrocharam em particular, silenciosamente observados apenas por seus próprios olhos, nos anos de 1664 a 1666, seus anni mirabiles.

Além da matemática e da filosofia natural, a universidade também fazia algumas exigências a seu tempo e sua atenção. Ele estava programado para prestar exames do bacharelado em humanidades em 1665, e o regulamento exigia que dedicasse o período da Quaresma à prática de ficar in quadragésima.{10} _{Retratada em nossa imaginação, a cena tem um}

toque surrealista: controvérsias medievais justapostas às dores do parto do cálculo infinitesimal. Uma investigação sobre curvatura recebeu a data de 20 de fevereiro de 1665, em meio aos exercícios quadragesimais, e, nas várias narrativas de seu desenvolvimento matemático, Newton atribuiu a expansão do binômio ao inverno entre 1664-1665. Quando Stukeley foi aluno de Cambridge, mais de 30 anos depois, ele ouviu dizer que, quando prestou exames para o bacharelado, Newton “ficou em segunda época, ou perdeu seus louros, como dizem eles, o que é considerado vergonhoso”. Esse relato levanta diversos problemas. O conselho deliberativo já havia aprovado a concessão do grau de bacharel antes da realização dos exercícios, e Newton havia assinado seu diploma junto com os outros candidatos. Se a história tem algum fundamento, ela tem que se aplicar a exames anteriores do colégio. Não obstante, como observou Stukeley, não chega a parecer estranha, já que Newton não se preocupava muito com o currículo padrão. Mais uma vez, a complacência da universidade lhe foi benéfica. Newton obteve seu bacharelado basicamente porque a universidade já não acreditava em seu próprio currículo com convicção suficiente para impô-lo.

No verão de 1665, uma calamidade abateu-se sobre muitas partes da Inglaterra, inclusive Cambridge. “Aprouve a Deus Todo-Poderoso, em sua justa severidade”, como disse Emmanuel College, “castigar esta cidade de Cambridge com a praga da pestilência.” Embora Cambridge não tivesse como saber disso e pouco tenha feito, nos anos seguintes, para aplacar a severidade divina, a provação de dois anos foi a última vez em que Deus optou por castigá- la dessa maneira. Em 1° de setembro, o governo municipal cancelou a Feira de Sturbridge e proibiu todas as reuniões públicas. Em 10 de outubro, o conselho deliberativo da universidade suspendeu os sermões na catedral de St. Mary e os exercícios nas escolas

públicas. Na verdade, os colégios tinham feito as malas e se dispersado muito antes disso. O Trinity registrara, em 7 dc agosto, a decisão de que “todos os professores e alunos que forem agora para o interior em virtude da pestilência deverão receber as verbas usuais para seu sustento pelo prazo do mês subseqüente”. Os registros do ecônomo deixam claro que o colégio, embora antecipando- se à universidade, ficou atrás de muitos de seus residentes, que já haviam fugido e, por conseguinte, não receberam a verba relativa ao último mês do trimestre de verão. Durante oito meses, a universidade ficou quase deserta. Em meados de março, não tendo havido nenhum registro de morte em seis semanas, a universidade convidou seu corpo docente e discente a voltar. Em junho, ficou claro que o castigo divino ainda não se havia encerrado. Houve um segundo êxodo e a universidade só pôde retomar seu pleno funcionamento na primavera de 1667.

Muitos dos alunos tentaram continuar seu estudo organizado, deslocando-se com seus tutores para algum vilarejo vizinho. Como Newton fosse inteiramente independente em seus estudos e houvesse obtido a confirmação dessa independência através da recente concessão do bacharelado, não viu qualquer motivo para acompanhar Benjamin Pulleyn. Em vez disso, voltou para Woolsthorpe. Deve ter partido antes de 7 de agosto de 1665, pois não recebeu a verba extraordinária concedida nessa data. Suas anotações mostram que voltou em 20 de março de 1666. Recebeu a subvenção extraordinária de praxe em 1666 e, por conseguinte, é provável que tenha ido para casa em junho. Suas notas mostram, mais uma vez, que ele retornou em 1667, no fim de abril.

Tem-se dado muita importância aos anos da peste na vida de Newton. Ele os mencionou no relato sobre sua matemática. O episódio da maçã, ocorrido no campo, implica a estada em Woolsthorpe. Noutra afirmação bastante citada, escrita a propósito da controvérsia em torno do cálculo, cerca de 50 anos depois, Newton voltou a mencionar os tempos da peste.

No início do ano de 1665, descobri o método de aproximação a uma série desse tipo e a regra para reduzir qualquer pocência de qualquer binômio a tal série. No mesmo ano, em maio, descobri o método das tangentes de Grcgory e Slusius e, em novembro, obtive o método direto das fluxões, e no ano seguinte, em janeiro, a teoria das cores, e em maio seguinte desvendei o método inverso das fluxões. e, no mesmo ano, comecei a pensar na gravidade como se estendendo até a órbita da Lua e (depois de descobrir como calcular a força com que [um] globo girando dentro de uma esfera pressiona a superfície da esfera), a partir da regra de Kepler de que os períodos dos planecas estão numa proporção sesquiáltera com suas distâncias do centro de suas órbitas, deduzi que as forças que mantêm os planetas em suas órbitas devem [variar], reciprocamente, como o quadrado de sua distância do centro em torno do qual eles giram: e a partir disso, comparei a força necessária para manter a Lua em sua órbita com a força da gravidade na superfície da Terra, e descobri que elas se correspondem bem de perto. Tudo isso foi nos dois anos da peste, 1665-1666. Pois, nessa época, eu estava no auge

de minha fase de invenção e mc interessava mais pela matemática e pela filosofia do que em qualquer ocasião posterior.

Dessa declaração, combinada com as outras afirmações sobre sua matemática e com a história da maçã, proveio o mito de um annus mirabilis associado a Woolsthorpe. Visto por determinado ângulo, o lazer de suas férias forçadas das exigências acadêmicas deu a Newton tempo para refletir. Segundo outro ponto de vista, o retorno ao seio materno proporcionou um estímulo psicológico crucial. Qualquer dessas duas teorias é impossível de comprovar ou refutar. Podemos ser moderadamente céticos quanto à segunda, ao relembrarmos a alegria nada plena do ano que ele passara em casa, cm 1660. Talvez também seja pertinente observar que seu último ato, antes de retornar a Cambridge, foi arrancar mais £10 extras da mão fechada dc sua mãe. Seja como for, a atenção exclusiva para com os anos da peste em Woolsthorpe não leva em conta a continuidade de seu desenvolvimento. Em termos intelectuais, Newton havia-se distanciado de Cambridge mais de um ano antes de ser fisicamente dela afastado pela peste. Dera passos importantes em direção ao cálculo na primavera de 1665, antes da chegada da peste, e escreveu dois artigos importantes em maio de 1666, durante o período em que esteve de volta. Do mesmo modo, sua evolução como físico fluiu ininterruptamente a partir das “Quaestiones quaedam philosophicae”. Se concentrarmos nossa atenção no histórico de seus estudos, veremos que a peste e Woolsthorpe perdem importância, comparadas à continuidade de seu crescimento. O ano de 1666 não foi mais mi-

rabilisào que 1665 e 1664. O milagre ficou por conta do incrível plano de estudos encetado

em particular e seguido a sós por um jovem que, através disso, assimilou as realizações de um século inteiro e se colocou na vanguarda da matemática e da ciência européias.

Olhando do início de 1666 para trás, é difícil acreditar que Newton pudesse ter tocado em qualquer coisa além da matemática nos 18 meses anteriores. Em sua fase de celebridade, perguntaram-lhe como havia descoberto a lei da gravitação universal. “Pensando nela continuamente”, foi a resposta. É impossível fornecer melhor caracterização desse homem, não apenas por ela delinear uma vida cuja aventura central residiu no mundo do pensamento, e não no da ação, mas também por ela descrever seu estilo de trabalho. Vista à distância, a vida intelectual de Newton parece inimaginavelmente rica. Ele abraçou nada menos do que toda a filosofia natural, que explorou por diversos pontos de vista, desde a física matemática até a alquimia. Dentro da filosofia natural, deu novo rumo à óptica, à mecânica e à dinâmica celeste, além de inventar o instrumento matemático que permitiu à ciência moderna explorar ainda mais os caminhos que ele foi o primeiro a trilhar. Também procurou perscrutar a mente de Deus e Seu plano eterno para o mundo e a humanidade, tal como exposto nas profecias bíblicas. Ao examinarmos detidamente a grandiosa aventura de Newton, ela se revela como uma mistura de fragmentos distintos, em vez de uma combinação homogênea. Sua carreira foi episódica. Ao pensar em algo, ele pensava continuamente, o que eqüivale a dizer exclusiva ou quase exclusivamente. O que prendeu sua atenção em 1664, excluindo quase que tudo o mais, foi a matemática.

John Conduitt, marido da sobrinha de Newton e seu pretenso biógrafo, sufocou na maioria das vezes qualquer vislumbre que possa ter tido num palavrório grandiloqüente. Contudo, uma de suas imagens, aplicada ao início da carreira de Newton, merece ser repetida: “Ele começou pelos estudos mais complexos (como um cavalo fogoso que primeiro tivesse que ser amansado nos campos arados e nas veredas mais duras e mais íngremes, caso contrário seria impossível contê-lo dentro de qualquer limite.)” Newton viajaria por muitos estranhos mares de pensamento, em aventuras especulativas de que alguns exploradores do século XVII jamais retornaram. A disciplina que a matemática impôs a sua imaginação fértil marcou a diferença entre os arroubos desvairados da fantasia e a descoberta fecunda. Foi sumamente importante que, quase em primeiro lugar, a matemática tenha dominado sua atenção.

As anotações que sobreviveram de seus estudos iniciais de matemática confirmam as diversas histórias de que ele mergulhou diretamente na Geometria de Descartes e na análise moderna. A ocasião, é bem provável, foi 1664, na primavera ou no verão. Seu instrumento básico foi a crucial segunda edição latina da Geometria de Descartes, organizada por Schooten, com sua profusão de comentários adicionais, apoiada pelas leituras da álgebra, em especial das obras de Viète. Cedo, Newton também entrou em contato com a matemática dos infinitesimais, como apresentada por John Wallis. E realmente impossível determinar, a partir das anotações, qual dos dois veio primeiro. Ê também impossível comprovar que alguma coisa importante tenha dependido de sua ordem cronológica. O que interessa é a voracidade com que Newton devorava qualquer matemática que encontrava. Posteriormente, William Whiston observou que Newton, na matemática, “às vezes enxergava quase que por intuição, mesmo sem demonstração (…)”. Whiston tinha em mente uma proposição dos Principia, mas um exame do au- todidatismo dc Newton na matemática obriga a um juízo similar. Seis meses depois de sua iniciação no assunto, algumas de suas notas de leitura foram-se transformando imperceptivelmente em investigações originais. No intervalo de um ano, ele havia digerido as conquistas da análise do século XVII e começado a trilhar seu próprio caminho independente em direção a uma análise superior.

Dos mestres que leu, Newton extraiu dois dos problemas centrais abordados pela nova análise, como era chamada: o desenho de tangentes das curvas (que aprendemos a chamar de diferenciação) e a determinação das áreas abaixo das curvas (a que eles se referiam como quadraturas e que conhecemos como integração). Na Geometria dc Descartes, ele descobriu um método de desenhar uma tangente a uma curva num ponto dado, determinando a normal da curva, que é perpendicular à tangente, nesse ponto. Newton logo veio a dominar esse método, anotando, num estilo que lhe era típico, padrões gerais em equações análogas, e seu primeiro sucesso residiu em estender o método de Descartes à determinação dos centros de curvatura — ou crookedness [curvatura], em sua terminologia — e então aos pontos de maior e menor curvatura. No tocante às quadraturas, ele dependeu sobretudo do método dos infinitesimais, tal como o encontrou nas obras de John Wallis. Newton não deixou de cometer erros, mas também não tardou a dcscobri-los e corrigi-los, à medida que foi ampliando seu entendimento da nova análise.

sua aprendizagem levou-o a preparar uma lista de “Problemas”. Inicialmente, arrolou 12 deles, um dos quais veio depois a cancelar. Acrescentou novos problemas em várias ocasiões, como mostram as tintas diferentes, até listar 22, em cinco grupos distintos. O primeiro deles incluía a maioria dos problemas de geometria analítica a que ele se havia dedicado até então — determinar os eixos, diâmetros, centros, assíntotas e vértices de linhas, comparar sua curvatura com a do círculo, descobrir suas curvaturas maior e menor, encontrar as tangentes das linhas encurvadas (isto é, das curvas) e assim por diante. O terceiro grupo voltou-se principalmente para os problemas das quadraturas a que Wallis o havia apresentado — encontrar linhas cujas áreas, comprimentos e centros de gravidade pudessem ser determinados, comparar as áreas, comprimentos e gravidades de linhas quando possível, fazer o mesmo com as áreas, volumes e gravidades dos sólidos, etc. Vários dos problemas eram mecânicos, e um deles tratava uma curva como a trajetória traçada pela extremidade da linha

y, perpendicular a x, quando a linha se deslocava ao longo de x. Sob ambos os aspectos, os

problemas antecipavam características singulares de sua matemática e de sua mecânica. De modo geral, os “problemas” enunciaram grande parte do programa que ocuparia Newton durante 1665.

Seu primeiro passo importante à frente de seus mentores, que em várias ocasiões ele datou do inverno de 1664-5, foi estender o uso feito por Wallis de séries infinitas para avaliar áreas no que conhecemos como teorema binomial. Para tanto, ele também se baseou num outro conceito novo, a fração decimal, que podia ser usada para calcular tão rigorosamente quanto se quisesse uma quantidade como 71, aumentando o número de casas decimais. Era preciso tratar as quantidades calculadas por meio da expansão do binômio em série infinita, explicou ele depois, “como se se estivesse resolvendo a equação em números decimais, quer pela divisão ou extração das raízes, quer pela resolução analítica das potências dc Vieta; essa operação pode ser continuada a gosto, quanto mais, melhor. e de cada termo surgido dessa operação pode-se deduzir uma parte do valor dejj/”. Na verdade, radiante com sua nova descoberta, ele calculou diversos logaritmos das áreas sob uma hipérbole equilátera até 55 casas decimais. Acrescentando o teorema binomial — pelo qual ele podia expressar uma quantidade intrincada que quisesse fazer a quadratura, como a área equivalente a um logaritmo, através de uma série infinita que pudesse integrar termo a termo — aos métodos aceitos para fazer a quadratura de potências simples e polinômios, Newton concluiu a elaboração de um método pelo qual era possível encontrar a área abaixo de praticamente qualquer curva algébrica então conhecida pelos matemáticos.

Figura 1. Teorema fundamental do cálculo.

Suas operações sempre exibiam padrões. A quadratura de y = x” era (1/(k + l)]x”*‘. Assim, não seria possível usar esse padrão para “mostrar a natureza de outra linha curva que se possa fazer a quadratura”? Na primavera de 1665, Newton começou a explorar seriamente as possibilidades a que esse caminho conduzia, colocando os padrões que observara na determinação das tangentes em contato com os padrões similares, mas invertidos, das quadraturas. A essa altura, ele com certeza se tornara um estranho para sua cama. Em mais de uma manhã, Wickins deve ter deparado com uma figura tensa, debruçada sobre seus símbolos incompreensíveis, inconsciente de que uma noite tinha-se passado e, aliás, pouco preocupada com isso. Newton foi recompensado pela descoberta do teorema fundamental do cálculo. Súbito, os problemas das tangentes e das quadraturas mostraram ter entre si uma relação inversa (ver Figura 1).

Se o cálculo ainda não viera à luz, na certa fora concebido. Newton recebera seu diploma de bacharel, se é que já o havia recebido, menos de um mês antes. Na matemática, fora muito bem além da condição de estudante do que normalmente seria possível num único mês. Aquela altura, já havia absorvido o que os livros podiam ensinar-lhe. Dali por diante, seria um investigador independente, explorando campos nunca dantes avistados pelo olhar humano.

Um aspecto essencial da descoberta foi uma nova abordagem das quadratu- ras e tangentes. Até então, seguindo Wallis, ele havia considerado as áreas como somas estáticas de infinitesimais. Nesse momento, passou a tratá-las cineticamen- te, como áreas varridas por uma linha móvel. Newton ficara insatisfeito com a base infinitesimal em que seu método das tangentes se apoiava. No outono de 1665, começou a estender sua abordagem cinemática da área também à geração das curvas, e a tratá-las como o locus de um ponto que se deslocava em condições definidas. Da idéia do movimento ele derivou o termo fluxional, que se tornou seu termo descritivo permanente para designar o método. As “linhas infinitamente pequenas” descritas pelos corpos a cada momento eram as velocidades com que eles as descreviam. A razão entre as velocidades de y e x em qualquer ponto de uma curva definia a tangente nesse ponto. A idéia de velocidade escondeu uma terceira variável, invisível: o tempo. Nesse ponto,

o conceito de tempo absoluto entrou de maneira inextricável na matemática de Newton e nela encontrou sua fundamentação lógica permanente no seu pensamento. O conceito de um movimento continuamente variável, que parece intuitivamente superar a descontinui- dade dos indivisíveis, nunca deixou de atrair a imaginação de Newton. No entanto, ele acabaria por buscar uma base diferente c mais rigorosa para seu cálculo.

Não há dúvida de que, a essa altura, Newton estava negligenciando suas refeições. Trabalhando com uma pressa febril, sentiu-se pronto, em 13 de novembro, para sistematizar o novo método, num artigo intitulado “Para determinar as velocidades dos corpos pelas linhas que eles descrevem”. Em seguida, concluído o artigo, a luz se extinguiu, tão repentina e completamente como se Newton houvesse apagado uma vela. Passaram-se seis meses em que, se podemos confiar nas anotações que sobreviveram, ele não moveu um dedo no tocante à matemática. Em maio, alguma coisa voltou a despertar seu interesse e, em dois textos separados, redigidos em 14 e 16 de maio, ele dedicou três dias à elaboração adicional da idéia de movimento. Novamente a luz se apagou e, mais uma vez, algo o agitou em outubro, ocasião em que ele organizou seus pensamentos num ensaio mais definitivo. Pela terceira vez, a chama se extinguiu. Foi como se a resolução bem-sucedida dos problemas que ele se havia formulado tivesse esgotado seu interesse na matemática. Não faltavam outras investigações fascinantes a dominar sua atenção. Até onde sabemos, ele mal olhou para a matemática nos dois anos seguintes.

Todos os três artigos de 1666 exploram o método baseado no movimento. Os dois que vieram em segundo lugar têm títulos similares, que receberam a formulação final de “Para resolver problemas pelo movimento, as seguintes proposições são suficientes”. O último destes, conhecido como o tratado de outubro de 1666, incorpora a exposição definitiva do método das fluxões de Newton, ou o que conhecemos como cálculo infinitesimal.

O tratado de outubro de 1666 foi uma exibição de virtuosismo que teria provocado nos matemáticos da Europa uma admiração, inveja e assombro de tirar o fôlego. Ocorre que apenas um outro matemático europeu, Isaac Barrow, sabia da existência de Newton, e é