ANOVA – Dois Fatores - Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

ANOVA – Dois Fatores

Na ANOVA com dois fatores, vamos admitir que cada elemento da amostra tenha sido classificado segundo dois critérios, constituindo duas classificações cruzadas.

Admitiremos que exista um total de "nk" observações,

constituindo "k" amostras de "n" elementos segundo cada um dos tratamentos (coluna).

Adicionalmente, consideramos que cada exista um

emparelhamento por cada linha, o qual denominaremos de blocos.

ANOVA – Dois Fatores

As nk observações são dispostas em uma tabela com n linhas e k colunas.

ANOVA – Dois Fatores

Hipóteses:

(todos os tratamentos possuem médias iguais) (todos os blocos possuem médias iguais)

Pelo menos um dos tratamentos apresenta média diferente dos demais

Pelo menos um dos blocos apresenta média diferente dos demais

H₀₁:m_{. 1}=m_{. 2}=.. . =m_{. k}

H₀₂: m_{1 .}=m_{2 .}=. .. =m_n.

H₁₁:

ANOVA – Dois Fatores

Note-se que agora existem duas hipóteses nulas (H₀₁e H₀₂). H₀₁, como antes, refere-se aos tratamentos e H₀₂ aos blocos.

Como antes, a SOMA DE QUADRADOS TOTAL,

SQT, é dada por:

SQT=Q− ^T

ANOVA – Dois Fatores

A segunda parcela da variação é dada pela SOMA DOS QUADRADOS ENTRE OS TRATAMENTOS, SQET:

Uma outra parcela da variação é dada pela SOMA DOS QUADRADOS ENTRE OS BLOCOS, SQEB:

SQET= ∑ j=1 n T _{. j}² n ⁻ T ² nk SQEB= ∑ i=1 k B_{i .}² k ⁻ T ² nk

ANOVA – Dois Fatores

Como na ANOVA - Um fator, a variação restante, é dada pela SOMA DE QUADRADOS DE RESÍDUOS, SQR, ou seja:

ANOVA – Dois Fatores

Em uma Análise de Variância com dois fatores, o modelo relativo aos componentes da variância total é dado por: onde: S_T² =S²_ET +S_EB² +S_R² S_T²= variância total S _ET² = variância do tratamento S _EB² =variância do bloco

ANOVA – Dois Fatores

Se a hipótese nula 1 for falsa, o valor esperado do QMET será maior que o do QMR. Assim:

Se Rejeita-se H₀₁

Se a hipótese nula 2 for falsa, o valor esperado do QMEB será maior que o do QMR. Assim:

Se Rejeita-se H₀₂

F_t>F__{k−1; k−1 n−1 ;α }⇒

ANOVA – Dois Fatores

Exemplo:

Os dados que se seguem representam o tempo em segundos gastos por cinco enfermeiros para realizar certo procedimento em quatro postos de saúde diferentes. Ao nível de 5% de significância, verifique de existe diferença assimilável entre postos e entre enfermeiros.

ANOVA – Dois Fatores

Solução:

Inicialmente, o problema não menciona a questão da normalidade e da independência das amostras, nem para os Postos de Saúde e nem para os Enfermeiros.

Como isso é um exercício, vamos assumir a normalidade e da independência para os Postos de Saúde e para os Enfermeiros.

Se fôsse um caso real, deveríamos testar a normalidade e a independência de ambos. Porém, já sabemos testar a homocedasticidade das variâncias e devemos fazê-lo para todos eles.

ANOVA – Dois Fatores

Teste de homocedasticidade para os Postos de Saúde: Hipóteses:

H₀: todos os Postos de Saúde possuem a mesma variância no tempo de realização do procedimento.

H₁: pelo menos um dos Postos de Saúde tem variância no tempo de realização do procedimento diferente dos demais. g_c= 0,48504551

g = 0,7457

ANOVA – Dois Fatores

Conclusão: Ao nível de 5% de significância pode-se considerar que todos os Postos de Saúde possuem a mesma variância no tempo de realização do procedimento.

ANOVA – Dois Fatores

Teste de homocedasticidade para os Enfermeiros: Hipóteses:

H₀: todos Enfermeiros possuem a mesma variância no tempo de realização do procedimento.

H₁: pelo menos um dos Enferemeiros tem variância no tempo de realização do procedimento diferente dos demais. g_c= 0,42778342

g = 0,6287

ANOVA – Dois Fatores

Conclusão: Ao nível de 5% de significância pode-se considerar que todos os Enfermeiros possuem a mesma variância no tempo de realização do procedimento.

Como foi comprovada a homocedasticidade dos Postos de Saúde e dos Enfermeiros, quanto ao tempo de realização do procedimento, então podemos realizar a ANOVA – dois fatores.

ANOVA – Dois Fatores

Hipóteses:

H₀₁: todos os Postos de Saúde possuem tempos médios iguais

na realização do procedimento.

H₀₂: todos os Enfermeiros possuem tempos médios iguais na

realização do procedimento.

H₁₁: pelo menos um dos Postos de Saúde possui tempo médio

diferente na realização do procedimento em relação aos demais.

H₁₂: pelo menos um dos Enfermeiros possui tempo médio

diferente na realização do procedimento em relação aos demais.

ANOVA – Dois Fatores

Tabela ANOVA

Decisão: rejeita-se H₀₁, pois 26,577 > F_(3,12,0,05) = 3,49 aceita-se H₀₂, pois 1,096 < F_(4,12,0,05) = 3,26

ANOVA – Dois Fatores

Conclusão:

Conclui-se que ao nível de 5% de significância que os Enfermeiros possuem tempos médios iguais na realização do procedimento, mas que pelo menos um dos Postos de Saúde possui tempo médio diferente na realização do procedimento em relação aos demais.

Comparações Múltiplas

Os testes post-hoc para a ANOVA – dois fatores são modificações dos testes para a ANOVA – um fator. Eles têm a mesma serventia, porém são capazes de comparações múltiplas entre tratamentos e também entre blocos.

Comparações Múltiplas

Teste de Sheffé

Scheffé demonstrou que devem ser consideradas distintas entre si, e ao nível de significância adotado, as médias µ_i e µ_j, dos tratamentos, tais que:

, onde

D_t=



S²_R ^{2 k −1 } n ^F^tt

Comparações Múltiplas

Teste de Sheffé

Devem ser consideradas diferentes, as médias µ_i e µ_j, dos blocos, ao nível de significância, tais que:

, onde ^∣^xi.−x_{. j .}∣>Δ_b

D_b=



S_R² ^{2 n−1} k ^Ftb

Comparações Múltiplas

Teste de Tukey HSD

O teste de Tukey HSD considera a diferença entre as médias µ_i e µ_j, dos tratamentos, quando onde:

q

é a estatística de Tukey com parâmetros (α, k, dfr), onde dfr é o número de graus de liberdade do

resíduo da ANOVA.

Δ_t=



S_R² ¹

n ^q^^{α,k,dfr }

Comparações Múltiplas

Teste de Tukey HSD

Considera a diferença entre as médias µ_i e µ_j, dos blocos, quando onde:

q

é a estatística de Tukey com parâmetros (α, n, dfr), onde dfr é o número de graus de liberdade do

resíduo da ANOVA.

Δ_b=



S²_R ¹

k ^q^^{α,n,dfr }

Comparações Múltiplas

Exemplo:

Usando o Teste de Scheffé, quais foram as médias responsáveis pela rejeição da hipótese nula no exemplo anterior.

Comparações Múltiplas

Solução pelo Teste de Scheffé:

= 18,775, k=4, n=5, F_(3,12,0,05) = 3,49 ∆ = 8,86772 = 12,40 > ∆ significativo = 0,40 < ∆ não significativo = 20,60 > ∆ significativo = 12,00 > ∆ significativo = 8,20 < ∆ não significativo = 20,20 > ∆ significativo S_R²

∣x

−x

∣

∣x

−x

∣

∣x_A−x_D∣ ∣x_B−x_C∣ ∣x_B−x_D∣ ∣x_C−x_D∣

Comparações Múltiplas

Solução pelo Teste de Scheffé:

Conclusão: Ao nível de 5% de significância conclui-se que somente os Postos de Saúde A e C; B e D são semelhantes.

Referências

• Hector G. Arango, Bioestatística Teórica e Computacional (2005). Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Koogan, 2a ed.

• Hardeo Sahai, Mohammed I. Ageel (2000) Analysis of Variance: Fixed, Random and Mixed Models. Birkhäuser Boston; 1st ed.

• Goldshmidt, Day e Richardson (2000) em "Effects of Prenatal Marijuana Exposure on Child Behavior Problems at Age 10" publicado na Neurotoxicol. and Tetratol., 22, pg. 325-336.

• Brian S. Yandell (1997) Practical Data Analysis for Designed Experiments. Chapman & Hall/CRC; 1st ed.

• John Verzani (2005) Using R for Introductory Statistics. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC.

• Psychology World (2009) Tukey's Post Hoc Test. Disponível em <http://web.mst.edu/~psyworld/tukeys4mean.htm>, maio de 2009.

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