8.1. Conceitos e definições utilizados:
1. Opção de Compra (Call) “At the Money”: ou também chamada de opção “no dinheiro”; neste caso o preço de exercício da opção é aproximadamente igual ao preço do ativo subjacente, de forma que exercê-la traria pouco ou nenhum ganho.
2. Opção de Compra (Call) “In the Money”: ou também chamada de opção “dentro do dinheiro”; o preço de exercício da opção é menor que o preço do ativo subjacente, de forma que esta seria exercida, trazendo um ganho ao seu detentor.
3. Opção de Compra (Call) “Out of the Money”: ou também chamada de
opção “fora do dinheiro”; o preço de exercício da opção é maior que o preço do ativo subjacente, de forma que não seria exercida. Uma opção de compra que expira “fora do dinheiro”, no jargão do mercado, “vira pó”.
4. Moneyness: é uma medida que classifica a opção quanto a sua
probabilidade de ter ou não valor monetário no vencimento. Para uma opção “in the money”, o moneyness seria maior, por exemplo.
8.2. Volatilidade EWMA
Uma das formas de se estimar a volatilidade de um ativo financeiro é através do modelo denominado EWMA (do inglês “exponentially weighted moving average”), ou modelo de médias móveis exponencialmente ponderadas. Este método foi utilizado neste trabalho para se determinar a volatilidade corrente da cotação real por dólar (dólar spot BM&F).
A previsão de volatilidade segundo o método EWMA é a seguinte:
= ( − ) +
Na qual é um fator de decaimento e é o retorno do ativo. Para este trabalho, foi utilizado = , , que é o valor recomendado no caderno do RiskMetrics1, entidade pioneira na utilização do modelo EWMA como métrica de risco. O retorno do ativo foi medido de forma logarítmica, ou seja, =
çã çã .
Observou-se uma janela de 252 retornos passados para se obter a primeira volatilidade, e a semente desta série foi = , de forma que:
=
= ( − , ) + , ...
= ( − , ) + ,
1
Desta forma, no gráfico 01 a primeira volatilidade, relativa à 03/01/2012, já envolvia o cálculo de 251 retornos.
8.3. Interpolação de taxa de juros:
Para as datas de vencimento de opções nas quais, eventualmente, não havia cotações de mercado das taxas de juros envolvidas (pré-fixada e cupom cambial) foi feita uma interpolação das mesmas, ou seja, utilizar a taxa para o próximo prazo disponível e a taxa do último prazo disponível para encontrar a taxa intermediária. O método envolveu dois tipos de interpolação, as quais são descritas abaixo:
1. Interpolação Exponencial – utilizada para a taxa pré-fixada
= ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ( + ) × ( + ) ( + ) ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ −
Considerando rt+1 e rt-1 como pontos já conhecidos da curva de juros pré-
fixada, dut+1 e dut-1 como o número de dias úteis da data base até estes pontos
e dut o número de dias úteis até o ponto procurado.
2. Interpolação Linear – utilizada para a taxa cupom cambial “limpo”.
= + −
Considerando qt+1 e qt-1 como pontos já conhecidos da curva de cupom
cambial, dct+1 e dct-1 como o número de dias corridos da data base até estes
pontos e dct o número de dias corridos até o ponto procurado.
8.4. Função Característica
Conforme exposto em Rouah e Vainberg (2007), os modelos de apreçamento de opções necessitam de fuma função densidade de probabilidade para o logaritmo do preço de seu ativo objeto, aqui chamada ( ). A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória é definida pela sua função característica, aqui denominada ( ):
( ) = ( )
Sendo que X = log(preço).
Desta forma, a função densidade de probabilidade pode ser obtida pela inversão da função característica:
( ) = 1
2 ( )
Também com base na inversão da função característica pode-se obter a função de distribuição acumulada ( ) = [ < ] para o logaritmo do preço do ativo objeto. Desta forma, a probabilidade neutra ao risco de que uma opção de compra expire “in the Money” é ( ) = [log ( ) < ], sendo = log( ) com K igual ao preço de exercício da opção. ( ) é então escrita por:
( ) = [log ( ) < ] =1 2+
1
Re ( )
8.5. Integração pelo Método Trapezoidal
A avaliação da integral envolvida no modelo de Heston foi feita de forma numérica segundo o Método Trapezoidal. Por este método, a integral é aproximada por uma soma sucessiva de trapézios, conforme figura abaixo:
Figura 01 – Método de Integração Trapezoidal - baseado em Rouah e Vainberg (2007) Com ∆ sendo um incremento arbitrário e numericamente pequeno. Desta maneira, a área de cada trapézio é dada por:
∆
2 × [ ( ) + ( + ∆ )]
∆
2 × [ ( ) + 2 ( ) + ⋯ + 2 ( ) + ( )]
Embora de simples entendimento e implementação, o método trapezoidal é uma aproximação e os valores resultantes não serão exatamente o valor da integral avaliada, sendo que a qualidade da aproximação aumenta conforme aumentam o número de trapézios e diminui-se o valor de ∆ . Na aplicação do modelo de Heston neste trabalho, a integral foi avaliada utilizando-se de 1000 trapézios e com ∆ =0,1.
8.6. Fluxo da minimização da função erro
Os parâmetros do modelo de Heston neste trabalho foram estimados através da minimização de uma função erro entre os preços dados pelo modelo e os preços de mercado das opções. A função erro é definida por:
, , , ∑ ç ( , , , ) − ç :
− ≤ ≤ ≥
ç ≥
O ferramental tecnológico utilizado para se obter a minimização foi o aplicativo SOLVER do Microsoft Excel. No entanto, há de se considerar que, por envolver a minimização de uma função não linear, não há garantia de que o mínimo encontrado seja realmente o mínimo global desta função. Na tentativa de minimizar este problema, adotou-se o seguinte fluxo na otimização: encontraram-se parâmetros iniciais que igualassem o preço da opção “at-the- money” ao preço de mercado. Estes parâmetros foram a base de partida para a
minimização do erro e para a conseqüente estimação dos parâmetros. Ainda assim não há garantia de se tratar de um mínimo global e também não se pode afirmar que o conjunto de parâmetros iniciais seja o único conjunto de parâmetros que produz o resultado obtido, o que é uma limitação do método de otimização.