3. MODELOS CONSTITUTIVOS PARA OS MATERIAIS
3.6. Aplicação ao ‘material’ concreto armado
A aplicação de relações elastoplásticas à representação do comportamento mecânico do material híbrido concreto armado só pode ser efetuada no espaço dos momentos fletores e das curvaturas. O comportamento conjunto de ambos os materiais constituintes (aço e concreto) deve obedecer a um modelo constitutivo único elaborado com base nas características mecânicas dos dois materiais, e na geometria da seção transversal. Esses modelos são, em geral, mais simples, pois contemplam uma única relação constitutiva.
São vários os modelos destinados à representação do concreto armado na flexão, como o proposto por GHALI;FAVRE (1986), DEBERNARDI (1983,1989), CEB-FIP MC90, CORRÊA (1991), e o modelo empírico de BRANSON (1966).
Para a análise de deslocamentos de vigas de concreto armado, e a consideração da colaboração do concreto entre fissuras através da adoção de um momento de inércia efetivo (Ie) constante em todo o vão (ou elemento), Branson propõe a seguinte formulação, baseada em resultados experimentais:
( )
I M
M I M
M I para M M
e r
m
I r
m
II r
=
+ −
≥
1 . (3.64)
onde: Ie - momento de inércia efetivo;
II - momento de inércia da seção no estádio I;
III - momento de inércia da seção ideal no estádio II, em relação ao seu CG;
Mr - momento de fissuração da seção;
M - momento fletor atuante no tramo;
m - expoente: m=3 para a análise de todo o vão;
m=4 para a análise isolada de uma seção transversal.
A expressão 3.64 é uma interpolação entre os momentos de inércia dos estádios I e II (Figura 3.23). Apesar de ter sido inicialmente aplicada aos elementos lineares fletidos, essa expressão teve, a posteriori, o emprego estendido às lajes.
No início da década de 1980, Debernardi apresenta um modelo rigoroso para análise de seções de concreto armado submetidas à flexo-compressão. Esse modelo, às vezes considerado como o mais rigoroso dentre os formulados no espaço momento-curvatura, considera os efeitos conjuntos da fissuração, fluência, retração, enrijecimento à tração, além de ser aplicável a seções transversais de formato qualquer. Ao contrário dos métodos apresentados por Branson e por Ghali e Favre, esse modelo não emprega a interpolação entre os valores das curvaturas obtidas para os estádios I e II. Debernardi utiliza a interpolação no cálculo da deformação média da armadura tracionada. O concreto também apresenta uma lei constitutiva linear, e escrita em função do tempo.
ε σ β β σ ε σ
sm s σ
s
sr s
s r sr
E E s
= − −
2
1 2 1
2
. . . (3.65)
( )
( )
( ) ( )( )
εc t t σc φ t t φ tτ σ ε
t t
c cs
t d t t t t
, . , , . , ( , )
0 0 0
0
0 0
= + ∫ + (3.66)
onde: Es - módulo de deformação longitudinal do aço;
εsm - deformação média da armadura tracionada;
εs1r - deformação da armadura imediatamente antes da fissuração, devido à ação do momento de fissuração;
εcs - deformação específica do concreto por retração;
σs2 - tensão na armadura na seção da fissura após a fissuração (estádio II);
σsr - tensão na armadura devido ao momento de fissuração;
f(t,t0) - coeficiente de envelhecimento (GHALI;FAVRE (1986));
β1 - coeficiente que depende das condições de aderência:
β1 = 1,0 para barras de alta aderência
(
ηb ≥15,)
;β1 = 0,5 para barras lisas
(
ηb =10,)
.β2 - coeficiente que depende das condições de carregamento:
β2 = 0,8 para primeiro carregamento, ou cargas pouco repetitivas;
β2 = 0,5 para carregamentos permanentes, ou com grande número de ciclos;
hb - coeficiente de conformação superficial das barras da armadura.
A partir dos modelos constitutivos dos materiais, Debernardi estabelece as equações de equilíbrio (em regime elástico-linear) para a seção transversal não fissurada e fissurada, como está amplamente discutido nos trabalhos de MACHADO(1989) e SANCHES(1998). O aspecto do diagrama momento-curvatura para Debernardi é semelhante ao apresentado por Ghali e Favre (Figura 3.23).
GHALI;FAVRE (1986) propõem uma formulação mais simples, baseada na configuração média entre os estádios I e II, assim como na proposta apresentada por Branson. Considerando um elemento de viga submetido à flexão simples, a primeira fissura deverá surgir assim que o momento fletor atuante atinja o momento de fissuração (Mr):
( ) ( )
M f I
h x CEB FIP MC
r t I
I
= −. −
90 (3.67)
onde: xI - profundidade da linha neutra no estádio I.
Para um momento fletor M>Mr, a deformação na armadura tracionada, devido ao efeito do enrijecimento à tração, assume um valor médio (εsm). Esse valor médio pode ser descrito, ponderadamente, pelas deformações supondo o elemento de viga entre os estádios I (εs1) e II (εs2):
( )
εsm = −1 ζ ε. s1+ζεs2 (3.68)
onde: ζ β β σ
σ β β
= −
= −
1 1 2 1
2 2
1 2
2
. . sr . .
s
Mr
M - ponderador;
β1 e β2 - coeficientes com as mesmas definições do modelo de Debernardi.
Assumindo as hipóteses de seções planas antes e após as deformações, e proporcionalidade entre tensões e deformações (lei de Hooke), da mesma forma, os autores propõem que a curvatura média seja função das curvaturas do estádio I
1 r I
e II 1 r II
puros:
( )
1 1 1 1
r m r I r II
= −
+
ζ. ζ. (3.69)
A formulação proposta por Ghali e Favre, assim como a de Debernardi, pode ainda incorporar os efeitos do tempo. Uma ilustração do diagrama de
momento fletor por curvatura para a formulação de Ghali e Favre está apresentada na Figura 3.23.
Figura 3.23 - Diagramas momento-curvatura segundo Branson e Ghali & Favre
O CEB-FIP MC90 apresenta um diagrama momento-curvatura um pouco mais simplificado, considerando três estágios lineares de comportamento para as seções de concreto armado. O primeiro estágio configura o comportamento em regime elástico-linear, até que se atinja o momento de fissuração minorado
(
βb.Mr)
no final do estádio I. O segundo estágio exprime o comportamento da seção transversal até o seu escoamento, no final do estádio II (My). Finalmente, o terceiro e último estágio configura, no seu final, a capacidade última da seção transversal (Mu), com a diferença de que a sua inclinação (kIII) assume o dobro do valor calculado, conforme ilustrado na Figura 3.24.Figura 3.24 - Diagrama momento-curvatura segundo o CEB-FIP MC90
O momento de fissuração é calculado, através da expressão 3.67, considerando-se a seção homogeneizada. O coeficiente βb é tomado pela desigualdade βb ≥β β1. 2, com β1 e β2 definidos anteriormente.
O momento de escoamento da seção transversal é de difícil definição, tanto que o CEB-FIP evita fazê-la. No entanto, CORRÊA (1991) propõe que o escoamento da seção transversal ocorra concomitantemente ao escoamento da
armadura tracionada, desprezando-se a contribuição do concreto tracionado, e admitindo proporcionalidade entre tensões e deformações. Posteriormente, OLIVEIRA (1997) aplica a definição de Corrêa, e propõe uma distinção no cálculo de My que pode ocorrer pelo escoamento da armadura tracionada, ou pelo esmagamento da fibra de concreto mais comprimida.
O valor do momento último é bem definido, e de modo análogo tanto pelo CEB-FIP MC90 como pela NBR-6118 (item 4.1.1). A sua determinação obedece a uma das três hipóteses: a) fibra de concreto mais comprimida sujeita à deformação de 0,35%, com deformação da armadura de tração sob valores inferiores a 1,00%
e superiores à deformação de escoamento; b) armadura tracionada com deformação de 1,00%, com deformação da fibra de concreto mais comprimida entre os valores de 0,20% e 0,35%; c) armadura de tração com deformação igual a 1,0% sem que, no entanto, a fibra de concreto mais comprimida atinja o valor de 0,20%. Nos dois primeiros casos considera-se o diagrama retangular de tensões em substituição ao parábola-retângulo, como permite a NBR-6118 no item 4.1.1.1, e no terceiro caso, adota-se diagrama linear de tensões no concreto comprimido.
De modo semelhante ao CEB-FIP MC90, Corrêa propõe um diagrama trilinear na análise não-linear de lajes de concreto armado. O modelo apresentado por Corrêa apresenta duas diferenças básicas com relação ao do CEB-FIP: o momento de fissuração não sofre qualquer tipo de minoração, e o terceiro trecho do diagrama não é majorado pelo fator multiplicativo 2 (Figura 3.12).
Figura 3.25 - Diagrama momento-curvatura segundo CORRÊA (1991)
O modelo proposto por Corrêa, e mais tarde também implementado por Oliveira, apresenta resultados bastante representativos do comportamento mecânico dos elementos de viga e de laje até o escoamento das armaduras.
Atingido esse valor, o modelo passa a impor rigidez inferior à observada experimentalmente.