Vamos agora considerar uma aplicação dos métodos desenvolvidos nas seções ante- riores para o modelo de regressão C-BS bivariado. Utilizaremos o conjunto de dados reais IRIS, conforme o ajuste realizado no Capítulo 4.
5.4.1
Distâncias 𝐿𝐷
𝑖e 𝐺𝐷
𝑖Inicialmente calculamos a 𝐿𝐷𝑖 para 𝜃 = (𝛼⊤, 𝛽⊤, 𝜂), a fim de identificar observações
influentes no modelo ajustado. O resultado pode ser verificado na Figura 5.1.
0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 Index LD 69
Figura 5.1: Afastamento pela verossimilhança: 𝐿𝐷𝑖(𝜃)
Considerando esse método de diagnóstico a observação que parece exercer mais influên- cia na estimação de 𝜃 é a #69.
Para investigar a influência em cada parâmetro separadamente optamos por calcular a GD para cada um deles. De forma a identificar se a influência ocorre em 𝜃 como um todo, ou apenas em alguma componente: 𝛼, 𝛽 ou 𝜂. Os resultados podem ser verificados na Figura 5.2. A mesma escala foi aplicada nos quatro gráficos, de tal
forma que a comparação é justa e possibilita afirmar em qual parâmetro a influência é maior. (a) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Index GD 69 (b) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Index GD( α ) 69 (c) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Index GD( β ) 69 (d) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Index GD( η ) 13 21 87
Figura 5.2: Index-Plot para: (a) 𝐺𝐷𝑖(𝜃) , (b) 𝐺𝐷𝑖(𝛼) , (c) 𝐺𝐷𝑖(𝛽) , (d) 𝐺𝐷𝑖(𝜂)
Note que o resultado verificado na Figura 5.1 se repetiu quando consideramos o mé- todo da Distância de Cook para 𝜃, isto é, a observação que se mostra mais influente no processo de estimação é a observação #69. Verificando a contribuição para cada parâmetro, temos que em termos de 𝛼 e 𝛽 ela também aparece em destaque. Como os dois gráficos estão na mesma escala é intuitivo observar que a influência dessa ob- servação é maior em 𝛽 do que em 𝛼. Quando observamos o parâmetro de associação
a #13 a de maior influência. Porém, no contexto geral, a influência dessas observações não parece ser significativa.
Podemos ser ainda mais específicos e observar a influência em 𝛼1, 𝛼2, 𝛽1 e 𝛽2,
conforme Figuras 5.4.1 e 5.3. Novamente, adotamos a mesma escala para os quatro gráficos. (a) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Index GD( α1 ) 57 92 34,35 (b) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Index GD( α2 ) 69 (c) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Index GD( β1 ) 34 57 82 92 (d) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Index GD( β2 ) 69
Figura 5.3: Distância de Cook para as componentes: (a) 𝛼1 e (b) 𝛼2, (c) 𝛽1 e (d) 𝛽2
Interessante notar que a observação #69 não demonstrou influência significativa quando olhamos para 𝛼1 ou 𝛽1 separadamente. Entretanto, continua figurando como de maior
destaque quando olhamos para a segunda componente, isto é, 𝛼2 e 𝛽2. Aparentemente
a influência dessa observação esta mais relacionada a largura da sépala (𝑌2) do que ao
Para 𝛼1 isoladamente as observações de destaque foram: #34, #35, #57 e #92.
Para 𝛽1 foram as observações: #34, #57, #82 e #92.
Em suma, temos a observação #69 que desponta como de maior atenção, a qual que se destaca na estimação de 𝜃 como um todo e também aparece como relevante a respeito dos parâmetros da segunda componente, largura da sépala, 𝛼2 e 𝛽2; com
destaque em 𝛽2. Ao mesmo tempo, temos alguns pontos influentes na estimação de 𝛼1,
𝛽1 e 𝜂, porém, só aparecem quando olhamos os parâmetros de forma isolada.
5.4.2
Avaliação de Outlier
Cabe aqui abordar três possíveis cenários. Cenário 1: 𝛾1 = 0, 𝛾2 ̸= 0
O modelo neste caso é dado por
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑌𝑖 = x⊤𝑖 𝛽+ 𝜖𝑖, 𝑖= 1, . . . , 𝑛, 𝑖 ̸= 𝑘, 𝑌1𝑖 = x⊤1𝑖𝛽1+ 𝜖1𝑖, 𝑌2𝑖 = x⊤2𝑖𝛽2+ 𝛾2+ 𝜖2𝑖, 𝑖= 𝑘. Cenário 2: 𝛾1 ̸= 0, 𝛾2 = 0
Neste caso, o modelo é da seguinte forma
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑌𝑖 = x⊤𝑖 𝛽+ 𝜖𝑖, 𝑖= 1, . . . , 𝑛, 𝑖 ̸= 𝑘, 𝑌1𝑖 = x⊤1𝑖𝛽1+ 𝛾1+ 𝜖1𝑖, 𝑌2𝑖 = x⊤2𝑖𝛽2+ 𝜖2𝑖, 𝑖= 𝑘. Cenário 3: 𝛾1 ̸= 0, 𝛾2 ̸= 0
Neste cenário o modelo considerado é o mais geral possível
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑌𝑖 = x⊤𝑖 𝛽+ 𝜖𝑖, 𝑖= 1, . . . , 𝑛, 𝑖 ̸= 𝑘, 𝑌1𝑖 = x⊤1𝑖𝛽1+ 𝛾1+ 𝜖1𝑖, 𝑌2𝑖 = x⊤2𝑖𝛽2+ 𝛾2+ 𝜖2𝑖, 𝑖= 𝑘.
Na Figura (5.4) constam as distâncias para os cenários 1 e 2.
Como era esperado, a observação #69 situando-se como extremamente relevante na segunda componente, largura da sépala. Visto que os gráficos estão na mesma escala, temos que ela é a de maior relevância.
(a) 0 20 40 60 80 100 0 2 4 6 8 Index L Dp k( γ2 ) 69 (b) 0 20 40 60 80 100 0 2 4 6 8 Index L Dp k ( γ1 ) 35 51
Figura 5.4: Distância 𝐿𝐷𝑝𝑘: (a) Cenário 1 (b) Cenário 2
Na Figura 5.5 podemos verificar a distância 𝐿𝐷𝑝𝑘 calculada para o cenário 3.
0 20 40 60 80 100 0 2 4 6 8 Index L Dp k (γ1 , γ2 ) 35 69
Figura 5.5: Cenário 4: Distância 𝐿𝐷𝑝𝑘: Cenário 3
Confirmando resultados obtidos em análises prévias, a observação que mais se des- taca é a #69 cuja relevância maior se encontra na segunda componente.
Uma vez que essa distância é simplesmente uma adaptação do teste MSOM, não podemos inferir nada nesse momento. Os resultados aqui verificados devem ser enca- rados apenas como indícios de algo a ser analisado de um ponto de vista inferencial.
Todavia, o fato deles coincidirem com o que foi visto utilizando o Método da Exclusão de Casos traz respaldo para essa metodologia que foi sugerida, abrindo oportunidade para estudos futuros a transformarem em um teste de hipóteses.
5.4.3
Ponderação de Casos
Vamos agora desenvolver o método de influência local para o modelo C-BS bivari- ado, considerando o esquema de perturbação de ponderação de casos. Primeiramente averiguamos a disposição de h𝑚𝑎𝑥 para 𝜃. Além disso, utilizando as partições adequa-
das em 𝜃 de tal forma que 𝜃1 assume cada vez um dos três parâmetros, replicamos a
análise para cada parâmetro separadamente. A Figura 5.6 retrata esse cenário.
(a) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Index hmax( θ ) 69 (b) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Index hmax( α ) 69 (c) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Index hmax( β ) 69 (d) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Index hmax( η ) 13 21 34 87
Influência local total
Optamos também por utilizar a curvatura na direção da 𝑖-ésima observação, abor- dagem proposta por Lesaffre e Verbeke (1998). Novamente considerando 𝜃 como um todo, e também cada vez um dos três parâmetros separadamente, Figura 5.7.
(a) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Index Ci 69 (b) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Index Ci( α ) 69 (c) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Index Ci( β ) 69 (d) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Index Ci( η ) 13 21 34 87
Figura 5.7: Gráfico de: (a) 𝐶𝑖(𝜃) , (b) 𝐶𝑖(𝛼) , (c) 𝐶𝑖(𝛽) e (d) 𝐶𝑖(𝜂)
Selecionando as partições adequadas em 𝜃 e em ¨𝐿(𝜃̂︀) é possível também verificar a
influência específica em 𝛼1, 𝛼2, 𝛽1 e 𝛽2. Essas medidas foram calculadas e podem ser
0 20 40 60 80 100 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Index Ci( α1 ) 51 57 92 34,35 0 20 40 60 80 100 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Index Ci( α2 ) 69
Figura 5.8: Gráfico de 𝐶𝑖 para as componentes (a) 𝛼1 e (b) 𝛼2
(a) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Index Ci( β1 ) 34 57 (b) 0 20 40 60 80 100 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Index Ci( β2 ) 69
Figura 5.9: Gráfico de 𝐶𝑖 para as componentes (a) 𝛽1 e (b) 𝛽2
Com base nessas medidas verificamos resultado muito similar ao que foi encontrado na aplicação do MEC, isto é, a observação #69 despontando como destaque, sendo a mais influente acerca da estimação de 𝜃, 𝛼 e 𝛽. Análogo ao que foi visto anteriormente, a influência dessa observação esta concentrada na segunda componente, largura da sépala, e apresenta maior magnitude em relação à 𝛽 do que 𝛼.
Olhando 𝜂 isoladamente, as observações #13, #21, #21 e #57 se destacam como influentes. Vale notar que três deles também apareceram no MEC. Mais uma vez, a influência é baixa quando estudamos o contexto geral dos parâmetros.
Construímos também gráficos de dispersão entre os diversos parâmetros associados ao modelo, de tal forma a melhorar a visualização, além de permitir encontrar pontos que são mutualmente influentes. Para as linhas de corte, assumimos a proposta de Zhu e Lee (2001), utilizando a média e desvio padrão: 𝐶 + 2 sd(𝐶).
Na Figura 5.10 mostramos a dispersão entre 𝐶𝑖(𝛼) e 𝐶𝑖(𝛽), o qual deixa claro que
a única observação que afeta os dois parâmetros conjuntamente é a #69.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.0 0.5 1.0 1.5 Ci(α) Ci( β ) 19 69 34 57 82
Figura 5.10: Gráfico de dispersão: 𝐶𝑖(𝛼) x 𝐶𝑖(𝛽)
Na Figura 5.11(a) construímos um gráfico de dispersão entre 𝐶𝑖(𝛼1) e 𝐶𝑖(𝛼2) e na
Figura 5.11(b) entre 𝐶𝑖(𝛽1) e 𝐶𝑖(𝛽2), A utilização de um ponte de corte evidenciou
mais pontos que não haviam sido percebidos anteriormente. Observação #1 para 𝛼1;
#19 para 𝛼2; #92 e #82 para 𝛽1.
Em 5.12(a) temos 𝐶𝑖(𝛼) contra 𝐶𝑖(𝜂), em que os casos #69 e #19 aparecem como
relevantes quanto a estimação de 𝛼. Enquanto que acerca de 𝜂 a única novidade foi a observação #99. Nenhum ponto em comum foi observado nesse cenário.
Já em 5.12(b) verificamos a dispersão entre 𝐶𝑖(𝛽) e 𝐶𝑖(𝜂), cuja grande novidade foi
o ponto #34 que apareceu como influente para os dois parâmetros, algo que não estava evidente até esse momento. Porém, não é algo que merece destaque, pois já vimos que essa observação não afeta o modelo de forma expressiva.
(a) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Ci(α1) Ci( α2 ) 34 92 35 1 51 57 19 69 (b) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.0 0.5 1.0 1.5 Ci(β1) Ci( β2 ) 34 57 82 92 69
Figura 5.11: Gráficos de dispersão: (a) 𝐶𝑖(𝛼1) x 𝐶𝑖(𝛼2) e (b) 𝐶𝑖(𝛽1) x 𝐶𝑖(𝛽2)
(a) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Ci(α) Ci( η ) 13 21 34 87 99 69 19 (b) 0.0 0.5 1.0 1.5 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Ci(β) Ci( η ) 13 21 34 87 99 57 69 82
5.4.4
Conclusões
Uma vez realizada a análise de diagnóstico, a observação #69 foi a que se mostrou mais influente. Os resultados encontrados indicaram que ela apresenta alta influência na estimação dos parâmetros do modelo. Se destacando quando olhamos para 𝜃 como um todo e também a respeito de 𝛼 e 𝛽. Outros pontos interessantes que a análise trouxe foram: a associação dessa observação com a segunda componente do modelo, no caso largura da sépala; e que ela exerce maior influência em 𝛽 do que em 𝛼.
Uma primeira possibilidade a se considerar é que essa observação seja um ponto aberrante em uma das componentes da variável resposta, comprimento da sépala ou largura da sépala, possivelmente na segunda componente. Hipótese que logo foi des- cartada quando olhamos os Boxplots na Figura 5.13, a linha tracejada representa a localização do valor que y assume na observação #69.
5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 Y1 2.0 2.5 3.0 3.5 Y2 11 60 68,82
Figura 5.13: Boxplots para 𝑦1:Comprimento da Sépala e 𝑦2:Largura da Sépala.
Vale notar que para 𝑦2, aparentemente, existem quatro pontos atípicos. Porém,
nenhum deles apareceu como influente na análise de diagnóstico.
Outra opção descartada é que a observação #69 seja um ponto atípico a respeito da variável explicativa, Comprimento da Pétala (𝑥1), o que pode ser notado na Figura 5.14.
Todavia, é importante notar que, mesmo não constando como atípica, essa observação representa o ponto de máximo em 𝑥1, isto é, max(𝑥1) = 6.9, exatamente o ponto #69.
3 4 5 6 7 x1
Figura 5.14: Boxplot para 𝑥1: Comprimento da Pétala
Diante dessas medidas descritivas não temos indícios para acreditar que a observação #69 é um ponto atípico, seja na variável resposta ou na variável explicativa contínua. Ou seja, aparentemente a observação #69 não é aberrante a respeito das variáveis comprimento da sépala, largura da sépala ou comprimento da pétala. Faz sentido então suspeitar que ela é influente mediante a combinação dessas variáveis a partir do modelo ajustado. Considerando então o ajuste realizado através do modelo de regressão log C-BS bivariado, plotamos também os resultados de 𝜉21 e 𝜉22, Figura 5.15.
−2 −1 0 1 2 ξ21 −3 −2 −1 0 1 2 ξ22 69
Nota-se então que a observação #69 é atípica quando consideramos 𝜉22.
Esse resultado pode ser verificado também através dos gráficos de dispersão de 𝜉2 12 e 𝜉2 22, na Figura 5.16. (a) 0 20 40 60 80 100 0 2 4 6 8 10 Index ξ21 2 (b) 0 20 40 60 80 100 0 2 4 6 8 10 Index ξ22 2 69
Figura 5.16: Gráfico de dispersão para (a) 𝜉2
21 e (b) 𝜉222
Uma vez que os dois gráficos de dispersão foram construídos utilizando a mesma escala, é possível notar que a observação #69 é a que mais se destaca.
Podemos também analisar 𝜉2(y) conjuntamente através da medida 𝑑, construída
com base na distância de Mahalanobis:
𝑑= 𝜉2(y)⊤ϒ−1𝜉2(y) (5.4.1) com ϒ sendo a matriz de covariância para 𝜉2(y), definida no Capítulo 4.
Na Figura 5.17 verificamos que a observação #69 se destaca como atípica para 𝜉2(y).
Diante desses resultados, podemos concluir que a observação #69 não é atípica individualmente na variável resposta ou na variável explicativa, mas desponta como influente quando verificamos as observações conjuntamente. Isto é, se torna uma ob- servação de destaque a partir do modelo de regressão ajustado.
Finalmente, discutiremos a influência das observações quando o parâmetro de inte- resse é 𝜂. Analisando 𝜂 isoladamente alguns pontos se mostraram relevantes quanto a influência na estimação desse parâmetro. Nenhum deles preocupa, visto que nenhuma análise indicou que a influência de qualquer um desses pontos é relevante no ajuste geral do modelo. Todavia, é interessante tentar entender o que afetou o parâmetro de associação do modelo, no caso, a estrutura de dependência entre comprimento da sépala e largura da sépala na preseça de covariáveis, comprimento da pétala e espécie, e considerando o ajuste através do modelo de regressão C-BS bivariado.
0 20 40 60 80 100 0 2 4 6 8 Index di 69
Figura 5.17: Gráfico de dispersão para 𝑑𝑖
As observações que se destacaram foram: #13, #21 e #87. Nenhuma delas se mostrou atípica, seja nas variável resposta, explicativa, ou mesmo acerca de 𝜉2(Y).
Todavia, as três possuem uma característica em comum, valores "altos" com sinais opostos, isto é, se 𝜉21 apresenta um alto valor positivo, então 𝜉22 tem um valor bem
baixo negativo. Podemos ver na Figura 5.18 que elas se situam nos Quadrantes 1 e 3. Dessa forma, sua presença acarreta em um coeficiente de correlação mais baixo, enquanto que sua retirada gera um aumento significativo. Por essa razão é que apare- ceram como influentes acerca de 𝜂.
−2 −1 0 1 2 −3 −2 −1 0 1 2 ξ21 ξ22 13 21 87 51 35 Q1 Q2 Q3 Q4
Seria razoável questionar a respeito das observações #35 e #51, porém, diferente das observações citadas anteriormente, quando olhamos o seu valor notamos um valor bem baixo negativo de 𝜉21, mas o valor de 𝜉22 não é expressivamente alto; 𝜉2(y35) =
Capítulo 6
Considerações Finais
Neste trabalho desenvolvemos uma extensão do modelo de regressão linear BS uni- variado, proposto por Rieck e Nedelman (1991), para a versão bivariada considerando a estrutura da cópula FGM, o qual denotamos por modelo C-BS bivariado. A cópula FGM tem sido utilizada com sucesso para introduzir uma estrutura de dependência para dados bivariados, como pode ser visto, por exemplo, nos trabalho de Durling (1974), Lai (1978), Chinchilli e Breen (1985), Teichmann (1986), Long e Krzyszto- fowicz (1992) e Barriga et al. (2010).
Apresentamos as distribuições C-N bivariada e C-SN bivariada, e apontamos algu- mas propriedades importantes que nos permitem definir a distribuição C-BS bivariada e o modelo de regressão C-BS bivariado. Inspirados no trabalho de Rieck e Nedel- man (1991), Kundu et al. (2010) e Vilca et al. (2016), desenvolvemos primeiramente a distribuição BS bivariada baseada na cópula FGM, e logo em seguida derivamos a distribuição do logaritmo da distribuição BS bivariada, que representa um membro particular da distribuição sinh-normal bivariada construída a partir da cópula FGM.
Para ambos os casos propusemos um tipo simples de estimador de momentos modi- ficado que, por conseguinte, foram utilizados efetivamente como valores iniciais para o cálculo iterativo, através do método de Newton–Raphson, das estimativas de máxima verossimilhança. Esses estimadores de máxima verossimilhança foram desenvolvidos seguindo a mesma ideia de Kundu et al. (2010). As propriedades assintóticas desses estimadores são consideradas para discussão de testes para algumas hipóteses de inte- resse. O desempenho do método proposto foi avaliado através de estudo simulação e aplicação em um conjunto de dados reais.
Além disso, desenvolvemos um método de diagnóstico para o modelo de regressão C-BS bivariado, baseado na metodologia de Cook (1977).
Em termos de pesquisas futuras, podemos citar:
• considerar outros conjuntos de dados reais, para complementar os resultados obtidos;
• considerar diferentes cópulas, além da FGM;
• extensão do modelo para inclusão de censuras, como no caso univariado discutido em Leiva et al. (2007);
• propor um teste de outlier, conforme visto na Seção 5.2; • estudar a distribuição de 𝑑 = Z⊤ϒ−1Z, visto em (3.2.6);
• desenvolver diferentes esquemas de perturbação na aplicação do método de in- fluência local de Cook (1986).
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