Serão mostradas a seguir aplicações numéricas, dedicadas aos absorvedores dinâmicos de vibração não lineares. A primeira delas tem a ver com o caso apresentado na Fig.4.1, onde se tem um sistema sem amortecimento. Neste caso chegou-se ao projeto ótimo utilizando apenas algoritmos genéticos clássicos e o objetivo proposto foi o de maximizar a banda de supressão, ou seja, trata-se de um problema com apenas um objetivo.
Posteriormente, analisa-se o caso do sistema apresentado na Fig. 4.3. Aqui, o objetivo é analisar a sensibilidade de todos os parâmetros do sistema para, em seguida, partir para o objetivo principal desta aplicação, que é o de resolver um problema de otimização robusta multiobjetivo.
5.5.1 O Caso do ADV Não Linear Não Amortecido da seção 4.1
O processo de otimização considerou como variáveis de projeto o coeficiente de não linearidade representado por a, o coeficiente de rigidez da mola não linear dado por k2 e a
utilizando os algoritmos genéticos clássicos, servindo-se de uma função que visa maximizar a “banda de supressão” da curva de resposta em freqüência da massa principal (HUNT,
1982). Define-se como banda de supressão a região do espectro para a qual o
deslocamento estático adimensional é igual ou inferior à unidade (RICE, 1985), como mostra a Fig. 5.6
Figura 5.6: Ilustração da Banda de Supressão
O projeto contou com uma população de 100 indivíduos e com 30 gerações. Na Tab. 5.1, abaixo, mostram-se os valores das variáveis de projeto iniciais e ótimas encontradas:
Tabela 5.1 – Valores Iniciais e ótimos das variáveis de projeto
Variáveis de Projeto A k2 m2
Valores iniciais 20 250 0,25
Valores ótimos 22,15 275,05 0,26
Mostram-se na Fig.5.7 as curvas da amplitude da massa principal. Nesta figura há uma comparação entre as bandas de supressão do sistema inicial e do sistema já otimizado. É possível perceber que para a configuração inicial tem-se uma banda de supressão dada por B = 6,45 rad/seg. já em sua configuração ótima, tem-se B*=8,06 rad/seg. Nota-se que a banda de supressão foi maximizada com relação à configuração inicial, levando a um aumento de aproximadamente 25%.
Figura 5.7 – Banda de Supressão: Configuração inicial (B = 6,45 rad/s) e Configuração ótima (B* = 8,06 rad/s) - Amplitude da massa principal
Pode-se então concluir que se por um lado a não linearidade por si só já faz aumentar a banda de supressão ao se comparar com o caso linear, por outro, a otimização dos parâmetros do absorvedor dinâmico de vibração não linear faz com que tal banda de supressão seja maximizada. Assim sendo, as características não lineares do absorvedor foram otimizadas tendo em vista a maximização da banda de supressão.
5.5.2 Sensibilidade paramétrica
Para ilustrar o cálculo da sensibilidade das FRFs de sistemas mecânicos incorporando ADVs não-lineares utiliza-se o sistema de dois graus-de-liberdade mostrado na Fig. 4.3. Os valores nominais das características físicas e geométricas utilizadas para gerar o sistema de dois graus-de-liberdade são apresentados na Tab. 5.2.
Tabela 5.2 – Valores nominais das variáveis de projeto
Parâmetros
ε
1ε
2β
ζ1 ζ2µ
ρ
Valores nominais 0,001 0,01 0,1 0,01 0,01 0,05 1,0
Neste exemplo, os parâmetros normalizados ζ1, ζ2,
ε
1,ε
2,β
,µ
eρ
são considerados como variáveis de projeto no cálculo das sensibilidades normalizadas das respostas dinâmicas com relação a um dado parâmetro p, SHN( )
p . As partes reais eimaginárias das sensibilidades normalizadas calculadas por diferenças finitas (de acordo com a equação (5.7)) são mostradas nas Figuras 5.8 a 5.14, nas quais uma variação de
20% em torno dos valores nominais de cada variável de projeto foi adotada. Além disso, nas mesmas figuras são apresentadas as funções de resposta em freqüência multiplicadas por um fator de escala (fe) conveniente.
Deve ser notado que as funções de sensibilidade, SHN
( )
p , foram normalizadas deacordo com a relação (5.10).
Através dos valores e dos sinais das amplitudes das funções de sensibilidade, pode- se avaliar o grau de influência de cada variável de projeto sobre as amplitudes das funções de resposta em freqüência, e da largura da banda de supressão, respectivamente, na faixa de freqüência de interesse. Além disso, a análise da sensibilidade permite decidir, dentre os parâmetros de projeto, aqueles que serão retidos no processo de otimização por serem os mais “sensíveis” à vista dos objetivos estabelecidos.
Inicialmente é mostrado nas Figs (5.8) e (5.9) as curvas de sensibilidade da amplitude de resposta r, por diferenças finitas para a variação dos coeficientes de
amortecimento da massa principal e secundária ζ1 e ζ2, respectivamente:
Figura 5.8 – Sensibilidade da resposta em freqüência com relação ao fator de amortecimento da massa principal ζ1
Figura 5.9 – Sensibilidade da resposta em freqüência com relação a ζ2
Analisando os valores das sensibilidades dos parâmetros ζ1 e ζ2 mostrados nas Figuras 5.8 e 5.9 respectivamente, é possível observar que ambos os parâmetros não possuem influência significativa quanto à avaliação da largura de banda de supressão e também com respeito à amplitude da resposta. Sendo assim, não são significativos do ponto de vista do projeto de otimização em curso.
São mostradas nas figuras 5.10 e 5.11 as curvas de resposta em freqüência com as sensibilidades dos parâmetros
ε
1 eε
2, respectivamente.Figura 5.10 – Sensibilidade da resposta em freqüência com relação ao coeficiente de não linearidade
ε
1
Figura 5.11 – Sensibilidade da resposta em freqüência relação ao coeficiente de não linearidade
ε
2Nota-se que a sensibilidade do parâmetro
ε
1 (coeficiente de não-linearidade da mola que conecta a massa principal à base) dado na Fig. 5.10, com relação à largura da banda de supressão e à amplitude do sinal é também bastante pequena. Como conseqüência, este parâmetro não é considerado como variável de projeto no processo de otimização.Freqüência Ω Freqüência Ω
Entretanto, o parâmetro
ε
2 (coeficiente de não-linearidade da mola que conecta a massa principal à massa secundária), mostrado na Fig. 5.11, possui uma influência bastante grande com respeito à amplitude de resposta da massa principal e também com respeito à largura da banda de supressão. Por este motivo, este é um dos parâmetros que serão considerados no projeto de otimização.A seguir, na Fig. 5.12, tem-se a curva de resposta em freqüência da massa principal com a sensibilidade do parâmetro
β
:
Figura 5.12 – Sensibilidade da resposta em freqüência com relação a
β
.Analisando a curva mostrada na Fig. 5.12 acima, nota-se que a sensibilidade do parâmetro
β
(parâmetro de força) também tem grande relevância no que diz respeito à amplitude da resposta da massa principal e, ao mesmo tempo, à largura da banda de supressão. Assim sendo, este parâmetro é também retido para o processo de otimização.Finalmente, nas Figuras 5.13 e 5.14, são mostradas as curvas de resposta em freqüência com as sensibilidades dos parâmetros
µ
(razão de massas) eρ
(razão entre freqüências).Figura 5.13 – Sensibilidade da resposta em freqüência com relação a
µ
Figura 5.14 – Sensibilidade da resposta em freqüência com relação a
ρ
.Nas figuras 5.13 e 5.14 é possível observar que os parâmetros
µ
eρ
devem também ser considerados como parâmetros de projeto pelo fato de que exercem grande influência, tanto na banda de supressão quanto na amplitude da resposta da massa principal do sistema.Assim, sintetizando, ao se considerar a análise feita a partir dos resultados mostrados nas figuras de 5.8 a 5.14, os parâmetros
ε
2,β
,µ
eρ
serão os quatroFreqüência Ω
parâmetros a serem incluídos como variáveis de projeto no processo de otimização paramétrica, uma vez que são os mais relevantes dentro contexto deste trabalho.
5.5.3 Projeto ótimo-robusto do ADV não-linear
Após a determinação da influência de cada variável de projeto na resposta dinâmica do sistema não-linear, o interesse agora é avaliar a estratégia de otimização multiobjetivo robusta para o projeto ótimo do ADV não-linear descrito anteriormente na Fig.(4.3).
O problema de otimização determinístico é composto por duas funções objetivo, a saber: a primeira função custo representa a amplitude da FRF do sistema amortecido não- linear correspondente à ressonância do modo 1 (M1), onde o interesse está em sua minimização; a segunda função custo representa a largura da banda de supressão, onde o interesse está em sua maximização. A Fig. 5.15 abaixo mostra a definição das duas funções objetivo consideradas no problema de otimização multiobjetivo que pode ser escrito conforme a seguinte relação:
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