Aplica¸c˜ao Retorno para um sistema n˜ao linear

Definiremos a aplica¸cão Retorno para um sistema não linear, para que, na próxima se¸cão, possamos enunciar o principal resultado do nosso trabalho.

O método usado é similar ao da se¸cão anterior: considerando o intervalo M, o conjunto de ´ındices J e os subconjuntos de R2_{: Ω, Ω}j _{e L}j _{(j ∈ J), como na Se¸cão 3.1}

(ver Figura 3.1), definiremos uma aplica¸cão de Poincaré para cada um dos subsistemas, inclusive nas linhas de descontinuidade do sistema não linear e, então, construiremos uma aplica¸cão Retorno através da composi¸cão das aplica¸cões de Poincaré.

A partir de agora vamos trabalhar com um sistema planar n˜ao linear suave por partes da forma

Cap´ıtulo 3. Bifurca¸cão de Hopf generalizada para um sistema planar suave por partes com (x, y) ∈ Ω e µ ∈ M e onde a fun¸cão F = (F1, F2)T é definida como na Se¸cão 3.1.

E tamb´em assumiremos que as hip´oteses H1 - H4 estejam satisfeitas.

Andronov et al. em ([1], Se¸cão 8), fazem um estudo detalhado do comportamento do fluxo de um sistema não linear próximo da origem e segundo [37], essas propriedades podem ser aplicadas em cada subsistema suave de (3.14), para pontos próximos da origem, e permitir que a aplica¸cão de Poincaré seja definida em Lj_{, para cada j ∈ J.}

A aplica¸cão de Poincaré para os subsistemas de (3.14) será definida em fun¸cão da coordenada-y. Também definiremos a aplica¸cão Per´ıodo correspondente. Com essas aplica¸cões expressas, enunciaremos algumas de suas caracter´ısticas para então definir a aplica¸cão Retorno para (3.14).

Denotaremos por Ψj_{(x, y, µ, t), j ∈ J, a solu¸c˜ao fluxo de cada subsistema em Ω}j_.

Vamos, primeiramente, analisar o comportamento da solu¸cão do subsistema de (3.14) em ΩI _{para então definirmos a aplica¸cão de Poincaré para esse subsistema.}

Lembrando que Ω ´e um disco centrado na origem e com raio r > 0, de acordo com ([1], Se¸c˜ao 8, Lema 3), existe uma constante positiva δI_{, com 0 < δ}I _{< r, e uma constante}

tamb´em positiva τI _{tal que, se}

0 < y < δI_{, µ ∈ M e 0 ≤ t ≤ τ}I_,

ent˜ao o fluxo ΨI_{(0, y, µ, t) pertence `a Ω.}

Correspondente `a constante δI _{fica definida uma fun¸c˜ao tempo ˜}_TI _{: (0, δ}I_{) × M →}

R+.

Também por ([1], Se¸cão 8, Lema 3), o fluxo ΨI_{(0, y, µ, t) cruzará a linha L}IV_{, e isso}

acontece quando t = ˜TI_{(y, µ); al´em disso, enquanto 0 < t < ˜}_TI_{(y, µ) esse fluxo permanece}

no interior de ΩI_.

Cap´ıtulo 3. Bifurca¸cão de Hopf generalizada para um sistema planar suave por partes em ΩI_{, podemos definir, nessa região, a aplica¸cão de Poincaré ˜}_PI_{(y, µ) : (0, δ}I_{)×M → R}+_.

PI _{ser´a a coordenada-x do ponto de interse¸c˜ao de Ψ}I_{(0, y, µ, t) com a linha L}IV_{, ou seja,}

PI_{(y, µ) = e}T

1ΨI(0, y, µ, ˜TI(y, µ)),

onde e1 = (1, 0)T.

Da mesma forma que analisamos o comportamento do fluxo do subsistema de (3.14) que est´a definido em ΩI_{, podemos fazer o mesmo para os outros subsistemas e tamb´em}

definir a aplica¸c˜ao de Poincar´e e Per´ıodo para cada um deles. Logo, ˜ PII _{: (−δ}II_{, 0) × M → R}+_, ˜ PIII _{: (−δ}III_{, 0) × M → R}− _e ˜ PIV _{: (0, δ}IV_{) × M → R}−_,

onde δII,III,IV _{> 0 existem ([1], Se¸c˜ao 8, Lema 3).}

E, respectivamente, ˜ TII _{: (−δ}II_{, 0) × M → R}+_, ˜ TIII _{: (−δ}III_{, 0) × M → R}− _e ˜ TIV _{: (0, δ}IV_{) × M → R}−_.

Seja, agora, 0 < δ < min{δI_{, δ}II_{, δ}III_{, δ}IV_{} e considere |y| < δ. Ent˜ao, podemos}

definir a aplica¸c˜ao de Poincar´e como a seguir.

Defini¸cão 3.8. A aplica¸cão de Poincaré ˜Pj_{, j ∈ J, para y 6= 0 é dada por}

Pj_{(y, µ) = e}T

1Ψj(0, κjy, µ, ˜Tj(y, µ)), (3.15)

Cap´ıtulo 3. Bifurca¸cão de Hopf generalizada para um sistema planar suave por partes Assim como na se¸cão anterior, vamos estender as fun¸cões ˜Pj _{e ˜}_Tj_{, j ∈ J, para}

y ≡ 0. Ent˜ao, fa¸ca ˜ Pj_{(0, µ) ≡ 0 , ˜}Tj(0, µ) = Tj_{(µ) ≡} π 2 βj_(µ). (3.16)

Essas extensões vão garantir que as aplica¸cões Retorno e Per´ıodo do sistema (3.14), definidas mais adiante, sejam cont´ınuas em uma vizinhan¸ca da origem.

Observa¸cão 3.9. Se em (3.3) o termo não linear é identicamente nulo, temos o caso da se¸cão anterior e, então, ˜Pj_{(y, µ) = P}j_{(y, µ), bem como, ˜}_Tj_{(y, µ) = T}j_{(y, µ), para j ∈ J.}

Lembrando que ˜Pj_{(y, µ) e ˜}_Tj_{(y, µ) est˜ao definidas para valores positivos de y se}

j = I, IV e para valores negativos de y se j = II, III e que para y = 0 s˜ao dadas por (3.16), apresentamos o seguinte lema para, mais tarde, caracterizarmos a aplica¸c˜ao Re- torno.

Lema 3.10. Suponha que as hip´oteses H1 - H3 estejam satisfeitas. Ent˜ao,

1. As fun¸c˜oes ˜PI,IV_{(y, µ) e ˜}_TI,IV_{(y, µ) s˜ao cont´ınuas para 0 ≤ y < δ e µ ∈ M. E as}

fun¸c˜oes ˜PII,III_{(y, µ) e ˜}_TII,III_{(y, µ) s˜ao cont´ınuas para −δ < y ≤ 0 e µ ∈ M.}

2. `_{A medida em que y → 0}+_{, os limites laterais `a direita das derivadas ˜}_PI,IV i e ˜T

I,IV i

para i = y, µ, yµ, µy existem, e mais, ˜PI,IV

yµ = ˜PµyI,IV para 0 ≤ y < δ.

3. `_{A medida em que y → 0}−_{, os limites laterais `a esquerda das derivadas ˜}_PII,III

i e

T_iII,III para i = y, µ, yµ, µy existem, e mais, ˜PII,III

yµ = ˜PµyII,III para −δ < y ≤ 0.

Demonstra¸c˜ao: Esse lema segue diretamente do fato do fluxo Ψj_{(x, y, µ, t), j ∈ J, de-}

pender suavemente dos dados iniciais (x, y, µ) [22, 37, 40].

Cap´ıtulo 3. Bifurca¸cão de Hopf generalizada para um sistema planar suave por partes Observa¸cão 3.11. Os limites laterais à direita citados no item 2. do lema acima denotaremos por:

lim

y→0+

P_iI,IV(y, µ) := ˜P_iI,IV(0+, µ) e lim

y→0+

T_iI,IV(y, µ) := ˜T_iI,IV(0+, µ);

e os limites laterais `a esquerda citados no item 3. do mesmo lema denotaremos por:

lim

y→0−

P_iII,III(y, µ) := ˜P_iII,III(0−

, µ) e lim

y→0−

T_iII,III(y, µ) := ˜T_iII,III(0−

, µ).

Todas as considera¸cões sobre as aplica¸cões de Poincaré e Per´ıodo que precisávamos para esta se¸cão, já foram feitas. A partir daqui, podemos definir então a aplica¸cão Retorno, a qual nos auxiliará a chegar no principal resultado deste cap´ıtulo, como mencionado no in´ıcio da se¸cão.

Definimos a aplica¸c˜ao Retorno do sistema (3.14), ˜_{P : (−δ, δ) × M → R, para um} valor apropriado de δ, como

˜ P (y, µ) :=            ˜ PII_{( ˜}_PIII_{( ˜}_PIV_{( ˜}_PI_{(y, µ), µ), µ), µ), y > 0,} 0, y = 0, ˜ PIV_{( ˜}_PI_{( ˜}_PII_{( ˜}_PIII_{(y, µ), µ), µ), µ), y < 0.} (3.17)

E a sua correspondente aplica¸c˜ao Per´ıodo ˜Tj _{: (−δ, δ) × M → R por}

˜ T (y, µ) :=                                      ˜ TI_{(y, µ)} + ˜TIV_{( ˜}_TI_{(y, µ), µ)} + ˜TIII_{( ˜}_TIV_{( ˜}_TI_{(y, µ), µ), µ)} + ˜TII_{( ˜}_TIII_{( ˜}_TIV_{( ˜}_TI_{(y, µ), µ), µ), µ), y > 0,} T (y, µ), y = 0, ˜ TIII_{(y, µ)} + ˜TII_{( ˜}_TIII_{(y, µ), µ)} + ˜TI_{( ˜}_TII_{( ˜}_TIII_{(y, µ), µ), µ)} + ˜TIV_{( ˜}_TI_{( ˜}_TII_{( ˜}_TIII_{(y, µ), µ), µ), µ), y < 0.} (3.18)

Cap´ıtulo 3. Bifurca¸cão de Hopf generalizada para um sistema planar suave por partes Através do Lema 3.10, que caracteriza as aplica¸cões de Poincaré e suas derivadas parcias, podemos enunciar o próximo lema.

Lema 3.12. Suponha que as hip´oteses H1 - H3 estejam satisfeitas. Ent˜ao,

1. A aplica¸c˜ao Per´ıodo ˜_{T (y, µ) ´e cont´ınua para −δ < y < δ e µ ∈ M.}

2. A aplica¸c˜ao Retorno ˜P junto com suas derivadas ˜Pi, i = y, µ, yµ, µy ´e cont´ınua e

satisfaz ˜Pyµ = ˜Pµy para −δ < y < δ e µ ∈ M.

3. Para y = 0 temos, ∂ ˜P

∂µ(0, µ) ≡ 0 e ∂ ˜P

∂y(0, µ) = exp(B(µ)). (3.19) Demonstra¸cão: Uma demonstra¸cão similar pode ser encontrada em ([40], Se¸cão 4).

Observa¸c˜ao 3.13. Se calcularmos os limites laterais ˜Ti(0+, µ) e ˜Ti(0−, µ) para i = y, µ,

esses limites são diferentes de ˜T (0, µ) = T (µ). Logo, a aplica¸cão Per´ıodo ˜T , no caso de um sistema planar não linear, não é diferenciável em y = 0.

No documento Bifurcação de Hopf generalizada para um sistema planar suave por partes (páginas 49-54)