Aplica¸c˜ ao 4 Efeito de flutua¸c˜ oes nos valores dos momentos

Para essa aplica¸c˜ao, utilizamos uma simula¸c˜ao gerada por um prim´ario de ferro e energia de 1014 _{eV. Esse perfil difere dos demais por atingir seu desenvolvimento final antes}

do ch˜ao, gerando uma curva truncada. O objetivo aqui ´e estudar o efeito de produzir pequenas varia¸c˜oes nos parˆametros de entrada (momentos) na distribui¸c˜ao de m´axima entropia gerada. Para tanto, utilizamos o ajuste II, com apenas dois momentos, ou seja, a partir do perfil simulado original, calculamos os valores m´edios de x e log(x). A partir desse conjunto de momentos, produzimos algumas pequenas varia¸c˜oes em seus valores.

Na primeira coluna da tabela 3.6, mostramos os arranjos testados, sendo que as distri- bui¸c˜oes geradas pelos arranjos A, B, C e D s˜ao mostradas no gr´afico da figura 3.29. Em A, utilizamos o conjunto original de momentos; em B, mantivemos o primeiro momento inalterado e variamos em +1% o valor do segundo momento. No arranjo C, procedemos de forma inversa, variando em +1% o valor do primeiro momento, mantendo inalterado o segundo momento. No ´ultimo arranjo(D), variamos ambos os momentos −1% em rela¸c˜ao aos valores originais.

A tabela ainda apresenta os valores dos multiplicadores de lagrange em todos os casos, bem como, em sua ´ultima coluna, valores para a distˆancia de Kullback-Leibler. Pode-se notar a partir da an´alise desses valores, diferen¸cas significativas nos valores dos multiplica- dores de lagrange entre os arranjos. Essas diferen¸cas ficam mais evidentes ao observarmos a compara¸c˜ao entre os perfis obtidos, como exposto no gr´afico da figura 3.29. No gr´afico, pode-se constatar como as pequenas varia¸c˜oes nos parˆametros de entrada do algoritmo produziram solu¸c˜oes muito diferentes entre si.

Tabela 3.6: Varia¸c˜ao dos parˆametros da distribui¸c˜ao de m´axima entropia em fun¸c˜ao de desvios nos valores dos momentos.

∆µ1 ∆µ2 λ0 λ1 λ2 KL (A)0 0 −10.8660 −5.86626 12.1685 0.13563 0 −1% −13.8645 −7.5513 15.6151 2.17849 (B)0 +1% −8.6075 −4.6198 9.5701 1.53783 −1% 0 −12.6320 −6.8894 14.1561 0.88288 (C) +1% 0 −9.4203 −5.0381 10.5401 0.699365 (D) −1% −1% −16.3448 −9.0053 18.4133 6.40295

0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 A B C D O r i g i n a l P r o f u n d i d a d e ( U n . A r b . )

Figura 3.29: Efeito de pequenas varia¸c˜oes nos valores dos momentos nas distribui¸c˜oes de m´axima entropia geradas.

Cap´ıtulo 4

Conclus˜oes

Inicialmente, foi apresentado um panorama geral da f´ısica e astrof´ısica de part´ıculas, especificamente, fazendo um hist´orico sobre o descobrimento dos raios c´osmicos e desta- cando quest˜oes ainda em aberto, como por exemplo, a origem dos raios c´osmicos e sua composi¸c˜ao qu´ımica. Foi mostrada que uma importante ferramenta para obten¸c˜ao de informa¸c˜oes sobre os raios c´osmicos ´e a observa¸c˜ao do desenvolvimento longitudinal das part´ıculas dos chuveiros atmosf´ericos extensos. Vari´aveis desse desenvolvimento ou per- fil, como por exemplo, a profundidade do m´aximo xmax, podem servir de parˆametros na

determina¸c˜ao da composi¸c˜ao qu´ımica de um chuveiro.

T´ecnicas de an´alise de dados e inferˆencia estat´ıstica tem papel preponderante nesses estudos. O intuito dessa tese foi o de apresentar dois m´etodos de inferˆencia estat´ıstica que podem auxiliar na an´alise dos dados em experimentos de altas energias. O primeiro m´etodo ´e chamado de M´etodo ou Princ´ıpio da M´axima Entropia e foi desenvolvido para atualizar uma distribui¸c˜ao de probabilidades quando nova informa¸c˜ao ´e dada na forma de v´ınculos, em geral, valores esperados de alguma grandeza aleat´oria de interesse. O Teorema de Bayes tamb´em ´e uma ferramenta de inferˆencia, diferenciando-se do M´etodo de M´axima Entropia pela natureza da informa¸c˜ao processada. Aqui, as distribui¸c˜oes de probabilidade s˜ao atualizadas quando informa¸c˜ao na forma de dados ´e processada.

Aplicamos o m´etodo bayesiano no caso em que se deseja determinar as fra¸c˜oes com que m´ultiplos tipos de eventos (fontes) contribuem em uma amostra de dados, com base em simula¸c˜oes de Monte Carlo de determinada vari´avel aleat´oria. Um importante exemplo onde o m´etodo pode ser usado ´e na determina¸c˜ao da composi¸c˜ao qu´ımica dos prim´arios em chuveiros atmosf´ericos. A partir de uma amostra de dados contendo valores de xmax

retirados evento a evento, o objetivo foi o de estimar o n´umero esperado de eventos originados por pr´otons e n´ucleos de ferro. O desenvolvimento do algoritmo e o resultado das aplica¸c˜oes para algumas situa¸c˜oes propostas foram apresentadas no Cap´ıtulo 2, Se¸c˜ao 2.8.

O m´etodo foi capaz de inferir uma estimativa para a fra¸c˜ao de pr´otons e n´ucleos de ferro nas amostras preparadas, com boa exatid˜ao e precis˜ao. Analisamos diversos casos, desde amostras em que se variou as propor¸c˜oes na mistura at´e a escolha de outras vari´aveis aleat´orias al´em do xmax e, em todos os casos, o m´etodo mostrou-se eficaz. Um pr´oximo

passo nesse estudo ´e o de aplicar o m´etodo em simula¸c˜oes mais realistas, que incluam a possibilidade de outros prim´arios na composi¸c˜ao da amostra e utilizar eventos reais.

Uma perspectiva de aplica¸c˜ao do m´etodo bayesiano de an´alise de m´ultiplas fontes seria o de identifica¸c˜ao e separa¸c˜ao das componentes eletrogman´etica e muˆonica de chuveiros atmosf´ericos extensos. O gr´afico da figura 4.1 s˜ao referentes ao sinal dos FADC (flash analogic to digital converter), gerado a partir de um chuveiro cuja part´ıcula prim´aria ´e o n´ucleo de ferro de energia 1019_{eV , incidindo a 30}o _{de ˆangulo zenital, no topo da atmosfera.}

Na parte de cima da figura, ´e apresentado a distribui¸c˜ao de sinais em bins temporais das componentes eletromagn´eticas e muˆonica enquanto a distribui¸c˜ao de baixo refere-se ao sinal total. Os sinais s˜ao gerados a uma distˆancia de 1000 m do eixo do chuveiro. Maiores detalhes sobre os fenˆomenos envolvidos podem ser encontrados na referˆencia [88]. A ideia de aplica¸c˜ao do m´etodo ´e permitir uma separa¸c˜ao entre as componentes eletromagn´etica e muˆonica, partindo de eventos de chuveiros pr´evios, nos moldes do que j´a foi exposto em nossos resultados.

Figura 4.1: Distribui¸c˜oes de sinais em bins temporais das componentes eletromagn´etica e muˆonica e dos sinais totais conforme registrados nos FADCs. Maiores detalhes, ver [88]

No Cap´ıtulo 3, apresentamos o m´etodo de M´axima Entropia e algumas de suas aplica¸c˜oes. Do ponto de vista num´erico, para obter uma distribui¸c˜ao de m´axima entropia ´e necess´ario resolver um conjunto de equa¸c˜oes integrais n˜ao-lineares. O algoritmo que escrevemos para esse fim foi baseado no m´etodo de Newton-Raphson e mostrou-se est´avel em situa¸c˜oes

que envolviam entre 8 e 10 momentos, ou seja, resolvia simultaneamente em torno de 10 equa¸c˜oes n˜ao-lineares. Mostramos que, para os casos de interesse aqui apresentados, a limita¸c˜ao no n´umero de momentos que podem ser avaliados n˜ao configurou um problema. Na Se¸c˜ao 3.5, apresentamos aplica¸c˜oes preliminares, utilizando algumas fun¸c˜oes de teste das quais calculamos um conjunto de momentos do tipo < xi _{> e uma combina¸c˜ao}

de log(x) e < xi >,e a partir deles, geramos uma distribui¸c˜ao de m´axima entropia que reconstru´ısse a fun¸c˜ao original. Testamos o m´etodo em algumas situa¸c˜oes e obtivemos bons resultados, sendo poss´ıvel, com um n´umero reduzido de momentos, reconstruir a fun¸c˜ao original. A qualidade do ajuste, em todos os casos, foi quantificada pela medida de distˆancia de Kulback-Leibler.

Na Se¸c˜ao 3.6, utilizamos o algoritmo escrito na caracteriza¸c˜ao de perfis longitudi- nais de part´ıculas de chuveiros atmosf´ericos extensos. Em geral, n˜ao existe tratamento anal´ıtico que forne¸ca express˜oes que descrevam as distribui¸c˜oes longitudinais. Isso se deve, principalmente, a grande multiplicidade de fenˆomenos f´ısicos ocorrendo simultaneamente. Comumente, se utilizam fittings que possuem parˆametros ajust´aveis, muitas vezes sem significado f´ısico. Nesse sentido, acreditamos ter demonstrado com as aplica¸c˜oes apre- sentadas que o m´etodo de M´axima Entropia configura-se como uma alternativa para a caracteriza¸c˜ao de distribui¸c˜oes de probabilidades em geral e, em particular, dos perfis longitudinais.

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