2.6 Aplica¸c˜oes de Modelos Digitais de Terreno
2.6.4 Aplica¸c˜oes Militares
Segundo El-Sheimy, Valeo e Habib (2005) a ´area militar ´e uma grande produtora e consumidora de MDTs. Muitos os aspectos de a¸c˜oes militares dependem de informa¸c˜oes topogr´aficas precisas e confi´aveis sendo que compreens˜ao do terreno ´e de vital importˆancia para a¸c˜oes como a determina¸c˜ao de posi¸c˜ao ´otima para radares, lan¸cadores de m´ısseis ou equipamentos de comunica¸c˜ao (BARBOSA, 1999).
Simuladores de Vˆoo: o treinamento de pilotos ´e uma tarefa cara, dif´ıcil e em alguns casos extremamente perigosa. Dados acurados de MDTs podem ser utilizados em simulares de vˆoo tanto para prop´ositos de treinamento como em sistemas embarcados nas pr´oprias aeronaves servindo, por exemplo, como guia de aproxima¸c˜ao de pistas sem suporte em a¸c˜oes militares (LI; ZHU; GOLD, 2005; SULEBAK, 2000).
2.6 Aplica¸c˜oes de Modelos Digitais de Terreno 34
Campos Virtuais de Batalha: fornecem uma simula¸c˜ao dinˆamica em ambiente est´e- reo, que pode ser usada para recapitular batalhas, avaliar resultados, ou em treina- mento e ganho de experiˆencia. Esses simulares podem utilizar MDTs na extra¸c˜ao de informa¸c˜oes topogr´aficas como intervisibilidade, forma¸c˜oes defensivas do relevo e acessibilidade do campo de batalha (LI; ZHU; GOLD, 2005)
35
3
Malhas Triangulares
Irregulares (TIN)
Triangula¸c˜oes possuem uma grande importˆancia na resolu¸c˜ao de problemas da ´area de Geometria Computacional, por exemplo, algumas t´ecnicas de busca assumem divis˜oes planares na forma de triangula¸c˜oes; algoritmos de intersec¸c˜ao de poliedros geralmente exigem que a superf´ıcie poliedral seja pr´e-triangularizada. Ainda, triangula¸c˜oes planares podem ser utilizadas em aplica¸c˜oes que envolvam interpola¸c˜ao de superf´ıcie tanto para prop´osito de visualiza¸c˜ao gr´afica, como para c´alculos na an´alise num´erica (PREPARATA;
SHAMOS, 1998).
Formalmente uma triangula¸c˜ao T (S) de um conjunto finito de pontos S num plano qualquer (S ⊂ R2), pode ser definida como um conjunto de triˆangulos cujos v´ertices s˜ao
pontos de S e cujas arestas s˜ao formadas por pares de pontos em S, sendo que cada ponto pertencente a S deve ocorrer em pelo menos um triˆangulo, e a intersec¸c˜ao das arestas ´e permitida apenas nos v´ertices da triangula¸c˜ao (SCHNEIDER; EBERLY, 2003).
Ainda segundo Hjelle e Daehlen (2006), al´em da sua importˆancia na Geometria Com- putacional, triangula¸c˜oes possuem aplica¸c˜oes em diversas outras ´areas como:
• SIG: modelagem digital de terrenos e rela¸c˜oes entre objetos geogr´aficos;
• Ind´ustria de explora¸c˜ao de G´as e Petr´oleo: usada para representar superf´ı- cies de separa¸c˜ao entre diferentes estruturas geol´ogicas e tamb´em s˜ao usadas para representar propriedades dessas estruturas;
• Sistemas CAD (Computer Aided Design): triangula¸c˜oes s˜ao muito utilizadas
pela ind´ustria de manufatura, principalmente a industria automotiva;
• Engenharia: utilizada por campos da engenharia focados na simula¸c˜ao de fenˆome- nos f´ısico que fazem uso de uso de MEF (M´etodos de Elementos Finitos);
3 Malhas Triangulares Irregulares (TIN) 36
• Sistemas de Visualiza¸c˜ao e Computa¸c˜ao Gr´afica: utilizada na interpola¸c˜ao e visualiza¸c˜ao de superf´ıcies;
Em particular no contexto desse trabalho ´e dado foco no uso de triangula¸c˜oes na produ¸c˜ao de MDT, entretanto, como ´e ilustrado pela Figura 6, uma triangula¸c˜ao n˜ao ´e ´
unica, existindo diferentes triangula¸c˜oes para um mesmo conjunto de pontos amostrados sobre a superf´ıcie de um terreno.
(a) (b) (c) (d)
Figura 6: Poss´ıveis triangula¸c˜oes para um mesmo conjunto de pontos.
Surge ent˜ao a quest˜ao de gerar uma triangula¸c˜ao, a partir de um conjunto de pontos amostrados sobre um terreno, de maneira que ela mais se aproxime da superf´ıcie do terreno. Desta maneira, torna-se necess´ario a ado¸c˜ao de algum crit´erio para a cria¸c˜ao da rede de triˆangulos.
Berg et al. (2008) fornece um exemplo interessante de como diferentes triangula¸c˜oes podem influenciar no resultado final da modelagem digital de uma superf´ıcie topogr´afica. A Figura 7 mostra duas triangula¸c˜oes formadas a partir do mesmo conjunto de pontos. Analisando o espa¸camento e a altura associadas a cada ponto pode-se supor que esses pontos representam uma cadeia de montanhas. A triangula¸c˜ao mostrada na Figura 7a reflete bem essa suposi¸c˜ao, entretanto, observando a triangula¸c˜ao mostrada na Figura 7b vˆe-se algo como se fosse um vale cortando essa cadeia montanha, indo contra a suposi¸c˜ao inicial. Percebe-se que toda essa mudan¸ca na superf´ıcie modelada foi causada por uma ´
unica troca de aresta na triangula¸c˜ao da Figura 7b.
O problema com a triangula¸c˜ao mostrada na Figura 7b, ´e devido ao fato da altura no ponto p ser determinada por dois pontos distantes do mesmo, isso por que p est´a sobre uma aresta compartilhada por dois triˆangulos muito alongados e finos, ou seja: o formato desses dois triˆangulos ´e a causa do problema. Desta forma, a triangula¸c˜ao que contˆem ˆangulos muitos pequenos, n˜ao ´e a triangula¸c˜ao ideal. Neste caso a triangula¸c˜ao ideal ´e aquela que contˆem triˆangulos o mais equil´atero poss´ıvel, ou seja, a triangula¸c˜ao
3 Malhas Triangulares Irregulares (TIN) 37 (a) p p 0 0 10 6 4 890 23 28 36 20 19 1240 1000 980 990 1008 (b) altura = 23 0 0 10 6 4 890 23 28 36 20 19 1240 1000 980 990 1008 altura = 985
Figura 7: Influˆencia da triangula¸c˜ao na superf´ıcie gerada: (a) altura do ponto p sobre arestas conectando v´ertices pr´oximos reflete realidade da superf´ıcie; (b) altura do ponto psobre arestas conectando v´ertices distantes n˜ao reflete realidade da superf´ıcie.
Fonte: adaptado de Berg et al. (2008)
mostrada na Figura 7a. Sendo assim dependendo da aplica¸c˜ao pode-se otimizar uma triangula¸c˜ao, como por exemplo no caso acima, para evitar triˆangulos muito alongados ou quase degenerados (triˆangulos cujos v´ertices s˜ao quase colineares).
Muitos crit´erios podem ser utilizados na defini¸c˜ao de uma triangula¸c˜ao ideal sendo que particularmente uma triangula¸c˜ao ´otima para prop´ositos de representa¸c˜ao digital de superf´ıcies deve possuir as seguintes caracter´ısticas:
• Para um dado conjunto de pontos, a triangula¸c˜ao resultante deve ser ´unica (se o mesmo algoritmo for usado), n˜ao importando a ordem com que os pontos s˜ao usados na constru¸c˜ao da rede de triˆangulos (HJELLE; DAEHLEN, 2006);
• Deve ser gerada uma rede com triˆangulos ´otimos, ou seja, os triˆangulos gerados devem ser o mais pr´oximo poss´ıvel do triˆangulo equil´atero (BERG et al., 2008), isto porque triˆangulos n˜ao equil´ateros, acarretam problemas de interpola¸c˜ao em regi˜oes que mudam rapidamente de inclina¸c˜ao (BARBOSA, 1999). Ainda, triˆangulos muito
alongados (quase degenerados) podem causar erros de arredondamento em imple- menta¸c˜oes de fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao (PREPARATA; SHAMOS, 1998);
• Cada triˆangulo deve ser formado usando pontos pr´oximos entre si, de tal forma que a soma das trˆes arestas que formam o triˆangulo dˆe um valor baixo (LI; ZHU; GOLD, 2005);
3.1 Triangula¸c˜ao de Delaunay 38
3.1
Triangula¸c˜ao de Delaunay
Uma solu¸c˜ao para o problema das v´arias triangula¸c˜oes para um mesmo conjunto de pontos, assim como a gera¸c˜ao de uma triangula¸c˜ao com triˆangulos ´otimos, ´e a utiliza¸c˜ao da t´ecnica de Triangula¸c˜ao de Delaunay. Segundo Berg et al. (2008), a Triangula¸c˜ao de Delaunay ´e ideal para a representa¸c˜ao da superf´ıcie de um terreno a partir de pontos amostrados sobre o mesmo. De fato, dentre todas as poss´ıveis formas de se gerar uma rede de triˆangulos a partir de pontos irregularmente espa¸cados, o m´etodo de Delaunay ´e o mais utilizado (LI; ZHU; GOLD, 2005).
Esse tipo particular de triangula¸c˜ao tem sido extensivamente estudada, possuindo muitas caracter´ısticas interessantes e uma base matem´atica te´orica s´olida. Al´em disso, essa triangula¸c˜ao ´e f´acil de se computar ao contr´ario de outras triangula¸c˜oes que apesar de terem uma base te´orica s´olida s˜ao de dif´ıcil computa¸c˜ao (HJELLE; DAEHLEN, 2006).
A Triangula¸c˜ao de Delaunay ´e ideal para prop´osito de representa¸c˜ao de superf´ıcies topogr´aficas por possuir as seguintes caracter´ısticas:
• os triˆangulos gerados s˜ao os mais equil´ateros poss´ıveis (BARBOSA, 1999; PITERI et al., 2007);
• os lados dos triˆangulos gerados s˜ao os menores poss´ıveis (lados grandes ou des- proporcionais implicam em triˆangulos pouco equil´ateros), ou seja, as arestas da triangula¸c˜ao s˜ao constru´ıdas usando pontos o mais pr´oximos entre s´ı (BARBOSA, 1999);
• a triangula¸c˜ao ´e ´unica, caso n˜ao exitam mais que trˆes pontos co-circulares (PITERI et al., 2007);
Segundo Hjelle e Daehlen (2006) existem trˆes defini¸c˜oes diferentes para uma Triangu- la¸c˜ao de Delaunay:
Defini¸c˜ao 1 Uma triangula¸c˜ao ´e tida como Triangula¸c˜ao de Delaunay se considerada ´otima no Crit´erio MaxMin e se for definida sobre o fecho convexo do conjunto de pontos.
Defini¸c˜ao 2 A Triangula¸c˜ao de Delaunay ´e o dual do Diagrama de Voronoi.
Defini¸c˜ao 3 Uma Triangula¸c˜ao de Delaunay T D(S) de um conjunto de pontos S sobre um plano, ´e uma triangula¸c˜ao em que o interior do circunc´ırculo formado por qualquer
3.1 Triangula¸c˜ao de Delaunay 39
triˆangulo de T D(S) n˜ao contˆem nenhum ponto de S (Crit´erio da Circunferˆencia Circuns- crita Vazia).
Sendo que, segundo Piteri et al. (2007), no plano, as Defini¸c˜oes 1 e 3 s˜ao equivalentes. Nas Se¸c˜oes a seguir, ´e dada uma breve descri¸c˜ao dos crit´erios utilizados por cada uma dessas defini¸c˜oes.