Aplicac¸˜oes lineares invert´ıveis - Universidade Nova de Lisboa Faculdade de Ciências e Tecnol

Definiç ão 2.87. Uma aplicação linear invert´ıvel de Rn _{é uma aplicação linear}

bijectiva F : Rn _{→ R}n_{, ent˜ao um isomorfismo F} _{: R}n _{→ R}n_.

Proposição 2.88. Sejam F : Rn _{→ R}n_{uma aplicação linear e A a matriz associ-}

ada do tipo n× n. Então as seguintes asserções são equivalentes:

1. F ´e linear invert´ıvel. 2. A ´e regular.

3. Existe uma matriz B do tipo n× n tal que B ◦ A = E.

4. Existe uma matriz B do tipo n× n tal que A ◦ B = E.

5. r(A) = n.

6. Todas as colunas de A s˜ao linearmente independentes. 7. Todas as linhas de A s˜ao linearmente independentes. 8. As colunas de A gerem Rn_.

9. As linhas de A gerem Rn_.

10. F ´e injectiva. 11. F ´e sobrejectiva.

Demonstração. Precisamos de demonstrar só um número suficiente de equi- valências tais que as outras seguem pela transitividade de⇔.

1. ⇔ 2.: ver corol´ario 2.81. 10. ⇔ 11.: ver corol´ario 2.64.

1. ⇔ 10.: segue agoria immediatamente. 2. ⇒ 3.: ´obvio.

3. ⇒ 10.: Seja F (~x) = ~0. Por 3. segue ~x = E ◦ ~x = (B ◦ A) ◦ ~x = B ◦ (A ◦ ~x) = B ◦ ~0 = ~0.

Já sabemos10. ⇔ 2. e obtemos então 2. ⇔ 3. e 3. ⇔ 10. 2. ⇒ 4.: óbvio.

4. ⇒ 11.: Seja ~y ∈ Rn_{. Com B de}_{4. definimos ~x = B ◦ ~y; segue ~y = E ◦ ~y =} (A ◦ B) ◦ ~y = A ◦ (B ◦ ~y) = A ◦ ~x, ent˜ao ~y = F (~x).

Como em cima segue, com11. ⇔ 2., 2. ⇔ 4 e 4. ⇔ 11. 8. ⇔ 11.: As colunas de A gerem im(F ).

As restantes equivalˆencias seguem com caracter´ıstica de linhas(A) = caracter´ıstica de colunas(A) =

r(A) e proposição 2.59, que diz que um sistema de n vectores de Rn_{, que são li-}

nearmente independentes ou que gerem o Rn_{, j´a ´e uma base.} _⊣

Definiç ão 2.89. O conjunto GL(n, R) := {A : A é uma matriz regular (real) do tipo n × n}

chama-se grupo linear geral de caracter´ıstica n sobre R. Os elementos de GL(n, R)

chamam-se matrizes regulares ou invert´ıveis.13

Proposição 2.90. GL(n, R) é um grupo em relação a multiplicação de matizes.

para n≥ 2, este grupo ´e n˜ao-comutativo.

Demonstração. A matriz unitária é regular, então GL(n, R) 6= ∅. No corolário

2.82 verificámos que o produto de matrizes regulares é também regular. Então

GL(n, R) é fechado pela multiplicação de matrizes.

1. A associatividade da multiplicação de matrizes foi demonstrada na proposição 2.47.

2. A matriz unit´aria ´e regular e para qualquer A ∈ GL(n, R) verifica-se A ◦ E = A.

3. A existˆencia da inversa (direita) para qualquer matrix em GL(n, R) ´e ga-

rantida pela definic¸˜ao 2.80 de matrizes regulares.

Para mostrar a não-comutatividade da multiplicação de matrizes usamos o exemplo 2.46: Encontrámos matrizes A, B do tipo2 × 2 tais que A ◦ B 6= B ◦ A. Para n ≥ 2 definimos ˜ A = A2,2 _O2,n−2 On−2,2 _En−2,n−2

´e ˜B analogamente. Ent˜ao verifica-se

˜ A◦ ˜B = A ◦ B O O E , B˜◦ Ã= B ◦ A O O E e logo Ã◦ ˜B 6= ˜B◦ Ã. ⊣

Nota-se que, em geral, a soma de duas matrizes invert´ıveis não é invert´ıvel. Vamos ainda considerar uma classe de aplicações lineares invert´ıveis particulares ou seja matizes particulares que é um subgrupo de GL(n, R). A noção de

subgrupo é definida análogo ao subespaço vectorial (ver definição 1.27).

Definic¸ ˜ao 2.91 (Subgrupo). Seja (G, ◦) um grupo. Um subconjunto H ⊂ G

chama-se subgrupo, se se verificar: 1. H 6= ∅,

2. Para todos os x, y∈ H, tamb´em x ◦ y ∈ H.

3. Para todo o x∈ H, tamb´em x−1 _{∈ H.}

Um subgrupo H de G com as mesmas operações com G é um grupo.

Homotetias

Definiç ão 2.92. Uma aplicação linear F : Rn _{→ R}n _{chama-se homotetia, se}

existe um n´umero real a 6= 0 tal que para todo o ~x ∈ R: F (~x) = a · ~x. Porque

F(~ei) = a~ei, a matriz associada ´e A =      a 0 . . . 0 0 a . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . a      = a · E.

Proposição 2.93. O conjunto de todas as matrizes do tipo n× n associadas às

homotetias

H := {A|A = a · En,n_{, a}_{∈ R \ {0}}}

Demonstração. Usamos as regras de cálculo para a multiplicação de escalares e

a multiplicac¸˜ao de matrizes.

Seja A= a·E ∈ H. Porque (_a1·E)◦(a·E) = (a·E)◦(1

a·E) = (a· 1

a)·(E◦E) = E, A é regular. Então H ⊂ GL(n, R) e para qualquer elemento, também o inverso

pertence a H. Obviamente, H 6= ∅. Finalmente, para A = a · E, B = b · E ∈ H

verifica-se: A◦B = (a·E)◦(b·E) = (a·b)·(E ◦E) = (ab)·E, ent˜ao A◦B ∈ H.

Logo, o conjunto H é fechado pela operação de grupo◦. ⊣

Definiç ão 2.94. Um homomorfismo de grupos bijéctivo chama-se isomorfismo de grupos.

Nota 2.95. O conjunto de números reais não igual zero, R∗ := R \ {0}, é um

grupo comutativo com a multiplicac¸˜ao usual. Por h : R∗ _{→ H, a 7→ a · E}

´e obviamente definido um isomorfismo de grupos R∗ → H. Por isso, H ´e um

3 Construções de espaços vectoriais

3.1 Somas directas

Na proposição 1.31 mostrámos que a intersecção V1 ∩ V2 de dois subespaços

vectoriais de um espaço vectorial V é também um subespaço vectorial de V . Em geral, este propriedade não se verificar para a união V1 ∪ V2. A união só une os

elementos dos subespaços, mas não adicionar (novas) combinações lineares que podem ser definidas a partir dos vectores em V1 e V2. Então, em vez da união

devemos considerar a soma de dois subespaços vectorias, que é a união mais das combinações lineares adicionais.

Definiç ão 3.1. Sejam V1 e V2 subespaços vectoriais do espaço vectorial V . Então

a soma V1+ V2 ´e o conjunto{x1+ x2|x1 ∈ V1, x2 ∈ V2}.

Proposição 3.2. Sejam V1 e V2 subespaços vectoriais do espaço vectorial V .

Então V1+ V2 é também um subespaço vectorial de V .

Demonstrac¸˜ao. Exerc´ıcio. ⊣

Nota 3.3. V1+ V2 é o menor subespaço vectorial de V que contém V1∪ V2.

Estamos interessados em particular em somas para o caso em que V1 ∩ V2 = {0}. Para isso, introduzimos duas variações da noção soma directa:

Definiç ão 3.4. Sejam V1e V2 subespaços vectoriais do espaço vectorial V , e V1∩ V2 = {0}. Então a soma V1+ V2 chama-se soma directa (interna) de V1 e V2 e é

designada por V1⊕V2.

Definiç ão 3.5. Sejam V e W espaços vectoriais. Então a soma directa (externa)

´e definida por

V ⊕W := {(x1, x2)|x1 ∈ V, x2 ∈ W }

com a adição e multiplicação por escalares definidas por

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1+ y1, x2+ y2) e c· (x1, x2) = (c · x1, c· x2). Nota 3.6. A soma directa interna é so definida para espaços vectoriais que são

subespaços de um “superespaço” comum, e só no caso em que a intersecção destes subespaço é o zero. Os elementos desta soma são definida a partir da operação de adição do superespaço.

A soma directa externa é definida para quaisquer espaços vectoriais. Os ele- mentos são pares e os componentes destes pares não interferem. A adição e a multiplicação por escalares é definida componente por componente.

A definição pode ser estendida, na forma natural, para a soma de mais de dois espaços vectoriais, onde os pares são substitu´ıdos por úplos.

Nota 3.7. Rn= R⊕. . .⊕R

| {z }

n vezes

e Rn+m _{= R}n_⊕_Rm_.

Proposição 3.8. Sejam{x1, . . . , xn} uma base de V e {y1, . . . , ym} uma base de W . Então {(x1,0), . . . , (xn,0), (0, y1), . . . , (0, ym)} é uma base de V ⊕W . Em

particular,dim(V ⊕W) = n + m.

Demonstrac¸˜ao. Exerc´ıcio ⊣

Nota 3.9. Podemos ilustrar a relac¸˜ao entre a soma directa externa e a soma di-

recta interna da seguinte forma: Se associamos a V o espaço vectorial V′ = {(x, 0W)|x ∈ V } e a W o espaço vectrial W′ := {(0V, y)|y ∈ W }, então V′

é isomorfo a V , W′ é isomorfo a W e V′ e W′ são (trivialmente) subespaços de

V ⊕W (a soma directa externa de V e W ). Agora, a soma directa interna V′⊕W′

´e obviamente igual a V ⊕W , porque tˆem bases iguais.

Definiç ão 3.10. Sejam V , W e U espaços vectoriais e F : V → U e G : W → U

aplicações lineares. Então a aplicação H : V ⊕W → U, H(x, y) = F (x) + G(y)

chama-se aplicac¸˜ao linear induzida ou soma directa de F e G. Escrevemos H =: F ⊕ G.

Nota 3.11. H ´e linear.

Demonstrac¸˜ao. Exerc´ıcio ⊣

Uma questão de interesse é se podemos, dado um espaço vectorial W e um subespaço V1 de W , encontrar um “complemento”, i.e., um subespaço V2 tal que W = V1⊕V2. (Já fizemos isso na demonstração da fórmula de dimensão, quando

o núcleo de uma aplicação foi dado e construimos um complemento para que a aplicação linear é injectiva.)

Proposição 3.12. Sejam V1 e V2 subespaços de W tais que V1∩ V2 = {0}. Con-

sideramos as aplicações de injecção canóncias Fi : Vi → W , Fi(x) = x. Então F := F1⊕ F2 : V1⊕V2 → W, F (x1, x2) = x1+ x2 é injectiva.

Demonstração. Porque F é linear, é suficiente mostrar: nuc(F ) = {0V1⊕V2} =

{(0, 0)}. Seja ent˜ao (x1, x2) ∈ nuc(F ) ⊂ V1⊕V2. Temos que 0 = F (x1 + x₂) = F1(x1) + F2(x2) = x1 + x2. Logo x1 = −x2 ∈ V1 ∩ V2 = {0}, i.e.,

Nota 3.13. Sejam V1 e V2 subespac¸o vectoriais de W tais que V1 ∩ V2 = {0}.

Seja a aplicação canónica F da soma directa externa V1⊕V2 em W , dado por F(x1, x2) = x1 + x2, sobrejectiva. Então W é a soma directa interna V1⊕V2. Proposição 3.14. Seja W = V1⊕V2 a soma directa interna de V1 e V2. Para

qualquer x ∈ W existem vectores univocamente determinadas x1 ∈ V1 e x2 ∈ V2

tais que x= x1+ x2.

Demonstração. Seja x ∈ W . Porque a aplicação canóncia F é bijectiva, existe

um e s´o um par(x1, x2) ∈ V1⊕V2(a soma directa externa) tal que x= F (x1, x2) =

F₁(x1) + F2(x2) = x1+ x2. ⊣

Exemplo 3.15. Sejam V1 = {~a ∈ R3|a2 = a3 = 0} uma recta e V2 = {~a|a1+ 2a2+ 3a3 = 0} um plano em R3. Obviamente V1∩ V2 = {~0}. Para qualquer ~x ∈ R3_{definimos ~a}₁ _{:= (x}₁_+2x₂_+3x₃_,_{0, 0) ∈ V}₁_{e ~a}₂ _{:= (−2x}₂_,_−3x₃_{, x}₂_{, x}₃_{) ∈ V}₂

tais que ~x= ~a1+ ~a2 = F (~a1, ~a2). Ent˜ao R3 = V1⊕V2.

Na seguinte proposição 3.17 consideramos só espaços vectorais da dimensão finita, mas o resultado verifica-se também para espaços da dimensão infinita.

Recordamos a proposição sobre a complementação de uma base que mostramos na demonstração da fórmula de dimensão.

Proposição 3.16. Seja W um espaço vectorial de dimensão finita,dim W = n e

sejam vectores linearmente independentes x1, . . . , xs ∈ W dados, s ≤ n. Ent˜ao

existem vectores xs+1, . . . , xn ∈ W tais que {x1, . . . , xn} é uma base de W . Proposição 3.17 (existência de um complemento). Sejam W um espaço vectorial

da dimensão finita e V1 ⊂ W um subespaço de W . Então existe um subespaço V₂ ⊂ W tal que W = V1⊕V2.

Demonstração. Porque V1 ⊂ W , V1 é da dimensão finita e existe uma base {x1, . . . , xs} de V1. Com proposição 3.16 complementamos esta para uma base {x1, . . . , xn} de W .

Seja V2 = hxs+1, . . . , xni. Mostramos a primeiro que V1 ∩ V2 = {0}. Seja x∈ V1∩ V2. Porque x∈ V1e x∈ V2 existems a1, . . . , as ∈ R e as+1, . . . , an∈ R

tais que x = a1x1+ · · · + asxs = as+1xs+1+ · · · + anxn. Ent˜ao0 = a1x1+ · · · + asxs− as+1xs+1 − · · · − anxn. Por causa da independˆencia linear de x1, . . . , xn

segue a1 = · · · = an = 0. Obviamente, temos 0 ∈ V1∩ V2.

Seja F como na proposição 3.12 a soma directa das aplicações canóncias F1⊕ F2de V1⊕V2 em W . Demonstramos que imF = W . Seja x ∈ W , então existem a₁, . . . , an ∈ R tais que x = a1x1+ · · · + anxn. Sejam y1:= x1+ · · · + asxs ∈ V1

e y2as+1xs+1 + · · · + anxn ∈ V2. Logo x = y1 + y2 = F (y1, y2); ent˜ao F ´e

sobrejectiva. ⊣

O exemplo seguinte mostra que o complemento V2 de V1 (com as excepc¸˜oes

de V1 = W e V1 = {0}) ´e, em geral, n˜ao univocamente determinado.

Exemplo 3.18. Consideramos mais uma vez o example 3.15. Sejam W = R3

e V1 = {~a ∈ R3|a2 = a3 = 0}. Ent˜ao V2 = {~a ∈ R3|a1 + 2a2 + 3a3 = 0} e

tamb´em ˆV₂ = {~a ∈ R3_|a

1 = 0} são complementos de V1no sentido da proposição

anterior: W = V1⊕V2 = V1⊕Vˆ2.

No documento Universidade Nova de Lisboa Faculdade de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática. Álgebra Linear I. Reinhard Kahle. Primeiro semestre 2008/09 (páginas 72-79)