4.3 O Princ´ıpio do M ´aximo no Infinito para Hipersuperf´ıcies ponde-
4.4.3 Aplicac¸ ˜oes do Princ´ıpio do M ´aximo de Omori-Yau
Observac¸˜ao 4.2. Observe que o Teorema4.4 e o Corol´ario4.2 s˜ao resultados locais, e neste sentido n˜ao ´e necessario que a subvariedade M2 esteja contida no lado de M1 para o qual a normal unit´aria η aponta, no caso em que ∂ M1= /0, bastando apenas que M2permanec¸a no lado para o qual η aponta pr´oximo a p0.
4.4.3
Aplicac¸ ˜oes do Princ´ıpio do M ´aximo de Omori-Yau
Nesta sec¸˜ao, iremos usar algumas vers˜oes do Princ´ıpio do M´aximo de Omori-Yau para o f-Laplaciano, ver por exemplo (26) e (27), e generalizar o Princ´ıpio do M´aximo do Hopf para duas hipersuperf´ıcies M1e M2disjuntas do Rn+1f .
Definic¸˜ao 4.3. Vamos dizer que a variedade Riemanniana ponderada (M, h, i, dvolf)
satisfaz o Princ´ıpio do M´aximo de Omori-Yau para o f -Laplaciano se, para qualquer func¸˜ao u∈ C2(M) com sup
Mu= u∗< ∞, existe uma sequˆencia de pontos xj∈ M, dependendo de M e de u, tal que lim j→∞u(xj) = u ∗, |∇Mu|(x j) < 1 j, ∆ M f u(xj) < 1 j.
Em artigos como (26), (27), (29), (30), (31), (32), (33) e (34) temos algumas vers˜oes (ou contribuic¸˜oes) de resultados que garantem a validade deste princ´ıpio para variedades Rieman- nianas ponderada. Em resumo temos o seguinte teorema
Teorema 4.5 (Borb´ely, Bessa, Mari, Mastrolia, Pigola, Rigoli, Rimoldi, Setti). Considere a variedade Riemanniana ponderada completa (M, h, i, dvolf) e assuma que existe uma func¸˜ao n˜ao negativa γ ∈ C2(M) satisfazendo:
C1) γ(x) → ∞ quando x → ∞;
C3)∃C > 0 tal que ∆M
f γ ≤ CG(γ ) fora de um compacto, onde G: [0, +∞) → [0, +∞) ´e uma func¸˜ao suave satisfazendo
G(0) > 0, G0(t) ≥ 0 em [0, +∞), G(t)−1< L1([0, +∞)).
Ent˜ao dado uma func¸˜ao u ∈ C2(M) com u∗= supMu< ∞, existe uma sequˆencia xj∈ M com lim j→∞u(xj) = u ∗, |∇Mu|(x j) < 1 j, ∆ M f u(xj) < 1 j,
isto ´e, (M, h, i, dvolf) satisfaz o Princ´ıpio do M´aximo de Omori-Yau para o f -Laplaciano. Como nosso primeiro resultado desta sec¸˜ao, temos o Teorema 4.6 para hipersuperf´ıcies ponderada do Rn+1f . Como de costume M1⊂ Rn+1f ´e uma hipersuperf´ıcie orientada, λ1≤ · · · ≤ λns˜ao suas curvaturas principais em relac¸˜ao a normal unit´aria η e denotaremos por A o operador de forma de M1.
Teorema 4.6. Sejam M1e M2duas hipersuperf´ıcies disjuntas, sem bordo e propriamente mer- gulhadas em Rn+1f . Assuma que a f -curvatura m´edia de M1satisfac¸a
sup M2 |HMf 2| < infM 1 HMf 1 (4.12)
e quesupM1kAk < ∞. Suponha que (M2, h, i, dvolf) ´e uma variedade ponderada completa e que existe uma func¸˜ao n˜ao negativa em M2 satisfazendo as condic¸˜oes C1), C2) e C3) do Teorema 4.5. Se M2est´a no lado de M1para o qual η aponta, ent˜ao
dist(M1, M2) > 0.
Prova. Seja d(x) = dist(x, M1). Pelo Princ´ıpio do M´aximo de Omori-Yau para o f -Laplaciano, ver (26) e (27), existe uma sequˆencia xj∈ M2tal que limj→∞d(xj) = infM2dist(x, M1) e tem-se
que |∇M2d|(x j) < 1 j e ∆ M2 f d(xj) > − 1 j, ∀ j ∈ N. (4.13)
Suponha que M2 esteja no lado de M1para o qual η aponta e que tenhamos dist(M1, M2) = 0. Ent˜ao para j ∈ N suficientemente grande, o Lema4.1junto com (4.8), lembrando que Dd = η, nos d´a que
∆Mf2d(xj) − n|HMf2| + nHMf1− IIdj((∇M2d)T, (∇M2d)T) 1 − |∇M2d|2 (xj) ≤ 0, (4.14) onde dj= d(xj). Como ∆Mf2d(xj) > − 1 j e |IIdj((∇M2d)T, (∇M2d)T)| 1 − |∇M2d|2 (xj) ≤ kIIdjk |∇M2d|2 1 − |∇M2d|2(xj) < kIIdjk 1 j2− 1. Temos de (4.14) que nHMf 1− n|H f M2| < kIIdjk 1 j2− 1+ 1 j (4.15)
Fazendo agora j → ∞ em (4.15), teremos, pelo Lema3.4, |HMf 2| ≥ H f M1 contradizendo (4.12). Lembremos, da Observac¸˜ao3.4, que se as curvaturas m´edia e escalar de M1forem limitadas temos que supM1kAk < ∞. Ent˜ao o Teorema4.6nos d´a o seguinte corol´ario:
Corol´ario 4.3. Sejam M1e M2como no Teorema4.6. Seja f uma func¸˜ao tal que seu gradiente em Rn+1, D f , ´e constante. Assuma que as curvaturas m´edia e escalar de M1sejam limitadas e que sup M2 |HMf 2| < infM 1 HMf 1. (4.16)
Suponha que(M2, h, i, dvolf) ´e uma variedade ponderada completa cujo tensor de Ricci satisfaz Ricf ≥ −(n − 1)h, i.
Ent˜ao M2n˜ao pode estar no lado de M1para o qual a normal unit´aria aponta.
Prova. Suponha que M2 esteja no lado de M1 para o qual η aponta. Se dist(M1, M2) = 0, basta prosseguir como na demonstrac¸˜ao do Teorema 4.6, observando que sendo as curvaturas m´edia e escalar de M1 limitadas, a Observac¸˜ao 3.4nos d´a que a norma do operador de forma A de M1 ´e limitada, isto ´e, temos que supM1kAk < ∞, e portanto, o Lema 3.4 nos d´a que
limj→∞kIIdjk < ∞. E sendo a Bakry-Emery curvatura de Ricci de M2, Ricf, limitada por baixo
temos que, ver (26), (M2, h, i, dvolf) satisfaz o princ´ıpio do m´aximo de Omori-Yau para o f - Laplaciano. Chegaremos ent˜ao a mesma contradic¸˜ao com4.16, nos dizendo que se M2est´a no lado de M1para o qual η aponta ent˜ao a distˆancia entre M1e M2n˜ao pode ser zero.
Se dist(M1, M2) > 0 prossigamos com o mesmo racioc´ınio do segundo par´agrafo da de- monstrac¸˜ao do Teorema 3.8, observando que existem sequˆencias yn∈ M1 e xn ∈ M2 tal que a sequˆencia yn− xn tem uma subsequˆencia que converge para um vetor v ∈ Rn+1 com |v| = dist(M1, M2). Seja ent˜ao M2= M2+ v. Dessa forma temos que dist(M1, M2) = 0. Se M1∩M2= /0, ent˜ao M2tem um contao ideal no infinito com M1, o que n˜ao pode acontecer pelo que foi visto no par´agrafo anterior, uma vez que sendo D f constante, ent˜ao supM
2|H
f
M2| = supM2|H f
M2|. Caso
M1∩ M2, /0 ent˜ao p0∈ M1∩ M2seria um ponto de m´ınimo da func¸˜ao d, e assim ∇M2d(p0) = 0 e do Lema4.2teremos ∆M2
f (p0) < 0 contradizendo o fato de p0ser ponto de m´ınimo.
Devido a validade do Princ´ıpio do M´aximo de Omori-Yau para o f -Laplaciano quando (M2, h, i, ∇M2f) ´e um soliton de Ricci gradiente contra´ıdo (ver Corol´ario 4.2 em (26)), temos
Corol´ario 4.4. Sejam M1 e M2 como no Teorema 4.6. Assuma que as curvaturas m´edia e escalar de M1sejam limitadas. Suponha que
sup M2 |HMf 2| < infM 1 HMf 1.
Se (M2, h, i, ∇M2f) ´e um soliton de Ricci gradiente contra´ıdo e M2 est´a no lado de M1para o qual η aponta, ent˜ao
dist(M1, M2) > 0.
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