Apreciação da qualidade do ajuste

Para estimar a probabilidade de ocorrência de valores de intensidade de precipitação estima-se a função teórica de densidade de probabilidade. A materialização desta função assenta na estimação dos parâmetros característicos a função a partir dos valores amostrais (Naghettini e Pinto, 2007).

Como referido frequentemente na literatura, a distribuição de extremos tipo I ou simplesmente distribuição de Gumbel, é a função que melhor se ajusta ao comportamento dos valores máximos de precipitação (Brandão, 1995; Brandão et al., 2001; Beijo et al., 2005; Hartmann et al., 2011), contudo para corroborar esta hipótese foram efetuados testes que permitem verificar a aplicabilidade da referida função aos dados.

A estimação dos parâmetros µ (parâmetro de localização) e σ (parâmetro de escala), característicos da distribuição de Gumbel, foi realizada com o método da máxima verossemelhança. O método de estimação permitiu determinar os melhores valores de µ e σ, bem como o limite inferior e superior dos mesmos para um intervalo de confiança de 95%. Por sua vez, a qualidade do ajuste da função de distribuição de probabilidades de extremos tipo I, às séries de valores de intensidade de precipitação máxima para cada uma das durações foi comprovada pelo teste de kolmogorov-Smirnov (K-Steste) e por gráficos de probabilidade e/ou Quantil-Quantil.

O teste kolmogorov-Smirnov é um teste de ajustamento não paramétrico (teste de hipóteses que não requer pressupostos sobre a forma da distribuição subjacente aos dados), que permite averiguar se os dados de uma dada amostra são compatíveis com um modelo distributivo teórico (Naghettini e Portela, 2011).

O teste é fundamentado na máxima diferença entre a distribuição cumulativa empírica e hipotética (distribuição cumulativa teórica em teste) (Massey, 1951), mediante as seguintes hipóteses:

H0: a função de probabilidade hipotética ajusta-se bem aos dados da amostra.

H1: a função de probabilidade hipotética não se ajusta bem aos dados da amostra.

Desta forma, o resultado do teste pode ser zero ou um, conforme a hipótese nula seja respetivamente aceite ou rejeitada, para determinado nível de significância.

CAPÍTULO 4 – ANÁLISE E DISCUSSÃO DE RESULTADOS

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A título de exemplo, são apresentados no Quadro 4.1 os valores dos parâmetros mencionados anteriormente para os dados observados na estação de Pinhel.

Quadro 4.1 – Valores do parâmetro de localização (µ), dos seus limites inferior (µinf) e superior (µsup), do parâmetro de escala (σ), e dos seus limites inferior (σinf) e superior (σsup) da distribuição de Gumbel e

resultado do teste Kolmogorov-Smirnov (K-S teste). Pinhel - cenário observado (2002-2011)

Duração µinf µ µsup σinf σ σsup K-S teste

5 min -41.1727 -32.9688 -24.7649 7.640147 12.58979 20.74605 0 10 min -31.1915 -24.9764 -18.7613 5.78799 9.537722 15.71671 0 15 min -25.8774 -20.7211 -15.5649 4.801888 7.912776 13.03904 0 30 min -17.4441 -13.9683 -10.4924 3.236987 5.334059 8.789713 0 1 h -11.5524 -9.2505 -6.94861 2.1437 3.532489 5.821002 0 2 h -8.06546 -6.69894 -5.33242 1.240513 2.104951 3.571764 0 6 h -3.93707 -3.47668 -3.01628 0.430946 0.707574 1.161773 0 12 h -2.51308 -2.14241 -1.77173 0.342812 0.567737 0.940239 0 24 h -1.55729 -1.34518 -1.13307 0.194581 0.325339 0.543965 0 48 h -0.93291 -0.82313 -0.71335 0.099415 0.169387 0.288608 0

Os parâmetros da distribuição de Gumbel foram estimados para os valores de intensidade de precipitação referentes aos dez valores de duração, calculados para os dados observados nas 8 estações meteorológicas, para as séries das 8 células da malha do modelo COSMO-CLM para o período 1970 – 2000 do cenário C20 e para os três períodos (2011- 2040; 2041-2070; 2071-2100) dos cenários futuros A1B e B1, perfazendo o total de 640 casos.

Pela observação do Quadro 4.1 verifica-se que a hipótese H0 não foi rejeitada em

nenhum dos casos, uma vez que o resultado do teste Kolmogorov-Smirnov foi sempre nulo, o que significa que os dados analisados seguem a função de distribuição de probabilidade testada, ou seja a distribuição de Gumbel, para um nível de significância de 5%. O mesmo resultado foi obtido para todos os 640 casos estudados.

Os gráficos Quantil-Quantil são dos métodos gráficos mais utilizados na verificação do ajustamento de uma dada distribuição aos dados de determinada amostra. O gráfico Quantil-Quantil é um gráfico de dispersão que compara os quantis dos dados amostrais com os quantis de uma distribuição hipotética, mostrando a linearidade entre os dados empíricos e os ajustados, de forma que, quanto mais próximos os pontos da linha de referência maior é a certeza de que os dados em análise seguem a distribuição testada (Hartemann et al., 2011).

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Os gráficos Quantil-Quantil foram produzidos para todas as 640 séries de intensidade de precipitação máxima para os dez valores de duração ajustados à distribuição de Gumbel. A título de exemplo, apresentam-se nas Figuras 4.2, 4.3 e 4.4 os gráficos Quantil-Quantil para a estação de Pinhel, nos quais se pode observar a comparação gráfica entre os quantis teóricos da distribuição de Gumbel com os quantis dos dados observados de intensidade de precipitação máxima em 5, 30 e 360 minutos.

Figura 4.2 – Gráfico Quantil-Quantil para intensidades máximas de precipitação observadas em 5 min na estação de Pinhel.

CAPÍTULO 4 – ANÁLISE E DISCUSSÃO DE RESULTADOS

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Figura 4.3 – Tal como a Figura 2, mas para intensidades máximas de precipitação observadas em 30 min.

Figura 4.4 – Tal como a Figura 2, mas para intensidades máximas de precipitação observadas em 360 min.

Pela observação dos três gráficos constata-se a grande semelhança entre os quantis teóricos e empíricos, uma vez que a maioria dos pontos se desenvolve ao longo da reta, pelo que o ajuste da distribuição Gumbel à série estudada é perfeitamente recomendável.

Assim, mediante a aplicação exaustiva do teste Kolmogorov-Smirnov e análise detalhada dos gráficos Quantil-Quantil para todos os casos, conclui-se que as séries de

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valores de intensidade de precipitação máxima para cada uma das durações seguem a distribuição de Gumbel, pelo que os valores de intensidade de precipitação máxima para cada uma das durações associadas a diferentes períodos de retorno, mesmo que superiores ao período da amostra, podem ser obtidos pelo emprego da referida distribuição.