3 CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE MODELAGEM
3.3 Aproximações Analógico-Discretas
O objetivo desta seção é apresentar algumas considerações acerca das relações disponíveis na literatura para o mapeamento e conversão entre pontos nos espaços contínuo e discreto.
De acordo com a Figura 3.2, o gráfico à esquerda representa um sinal contínuo ou analógico f(t) e o gráfico à direita representa a sua correspondente função equivalente discreta fT(t), na qual as amostras estão espaçadas através do período de amostragem Ts.
Figura 3.2 Discretização de um sinal analógico.
Assim, a função discreta fT(t) pode ser representada pelo somatório de suas amostras
regularmente espaçadas, conforme é representado através de (3.1).
0 s T s s k f ( t ) ∞ f ( k T ) ( tδ k T ) = =
∑
− (3.1)De acordo com (3.1), uma função discreta pode ser descrita genericamente por meio de
um somatório de impulsos regularmente espaçados através do período de amostragem Ts e
cuja intensidade ou magnitude é ponderada através da função f(t).
A aplicação da transformada de Laplace na função descrita acima resulta em sua representação no domínio freqüência, conforme é expresso por (3.2).
{ } { }
0 0 s s k T T s s s k k L f ( t ) ∞ f ( k T ) L δ( t k T ) ∞ f ( k T )e− = = =∑
− =∑
(3.2)71
Aos resultados obtidos a partir do equacionamento ilustrado acima, aplica-se por conveniência de simplificação a relação expressa por Erro! Fonte de referência não
encontrada..
S
s T
z = e (3.3)
Os resultados da substituição algébrica indicada acima conduzem à definição da Transformada Z cuja notação é expressa por (3.4).
{ }
0 s k T s k Z f ( t ) F ( z ) ∞ f ( k T ) z− = = =∑
(3.4)A transformada Z impõe-se como recurso pela relativa simplicidade e versatilidade como poderosa ferramenta para análise e descrição de sistemas discretos, bem como para a representação aproximada das características dinâmicas de sistemas contínuos através de um modelo equivalente discreto. Todavia, o grau de precisão dos resultados da análise obtidos a partir desta ferramenta está associado a determinadas características inerentes à sua utilização:
1. Período de Amostragem – O processo de amostragem inerentemente vincula-se à
aplicação de um dado período de amostragem Ts (espaço regular entre duas amostras
consecutivas) ou freqüência de amostragem (número de amostras consideradas por unidade de
tempo Fs), de tal forma que estes parâmetros estão relacionados de acordo com Erro! Fonte
de referência não encontrada..
s s 1 T F = (3.5)
2. Processo de Amostragem – O processo de amostragem é modelado a partir do
conceito de amostrador. Quando considerado em suas características ideais, o amostrador produz, em teoria, uma seqüência de impulsos (ou amostras de duração infinitesimal)
espaçados pelo período de amostragem Ts, o que corresponde a um conjunto de amostras com
freqüência de amostragem Fs. Entretanto, sistemas ou sinais amostrados reais apresentam
amostras com duração não-nula de forma que o conceito de impulso se mostra inadequado para a descrição rigorosa dos mesmos. Sinais amostrados representam seqüências de pulsos de pequena duração cujo valor está associado às características inerciais do processo de amostragem (amostrador).
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A partir das considerações algébricas demonstradas acima, observa-se adicionalmente que
a igualdade z = esT estabelece uma expressão exata para o mapeamento biunívoco de pontos
envolvendo o espaço contínuo e o espaço discreto, permitindo assim o estabelecimento da equivalência entre uma expressão contínua e sua representação equivalente discreta e vice-versa.
A Figura 3.3 ilustra esse mapeamento onde cada ponto do semiplano esquerdo do plano s (região de estabilidade do espaço contínuo) corresponde a um ponto nos limites do circulo de raio unitário do plano z (região de estabilidade do espaço discreto).
Figura 3.3 Mapeamento exponencial.
Todavia, este mapeamento envolve uma representação matemática mais complexa e, como conseqüência, não é usado em situações práticas em função de limitações nas técnicas digitais para a realização das operações necessárias. Portanto, implementações práticas são levadas a efeito a partir do uso de expressões aproximadoras.
A literatura disponível sobre o assunto propõe diversos critérios para a determinação de expressões aproximadoras, conforme é exemplificado pelas ferramentas abaixo:
• Aproximação de Euler (Forward e Backward) • Aproximação de Tustin (Bilinear ou Trapezoidal) • Nova-Regra 1
• Nova-Regra 2
As duas primeiras integram o conjunto de expressões aproximadoras clássicas e que, por esse motivo, foram empregadas em um primeiro momento para o desenvolvimento da
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proposta de modelagem deste trabalho. Todavia, de acordo com [30], a aproximação Forward se mostra não realizável na prática por representar um sistema não-causal. Adicionalmente, tem como característica a possibilidade de mapear um sistema contínuo estável em um sistema discreto instável e, portanto, não será considerada neste trabalho.
De acordo com [32], a Nova-Regra 1 representa uma proposta alternativa de aproximação para contornar as limitações de métodos clássicos quanto a sistemas de controle com ganhos
elevados ou mesmo altos valores de períodos de amostragem Ts (que podem conduzir a
resultados imprecisos). A expressão correspondente a esta aproximação apresenta um maior grau de generalidade (comparativamente às expressões clássicas) de maneira que as aproximações Backward e de Tustin representam um caso particular deste caso mais geral, conforme indicado por Erro! Fonte de referência não encontrada., onde ζ é definido como um fator variável entre 0 e 1.
2 1 s z s T z ζ − = + (3.6)
Por fim, ainda de acordo [32] e dentro do contexto do conjunto de mapeamentos apresentado, a Nova-Regra 2 é a proposta de mapeamento com o maior grau de generalidade, do qual os mapeamentos anteriores constituem casos particulares. A equação Erro! Fonte de
referência não encontrada. apresenta a expressão para esta aproximação, onde ζ1 e ζ2 representam, por analogia com o caso anterior, fatores variáveis entre 0 e 1.
1 2 2 s z s T z ζ ζ − = + (3.7)
Em função do elevado grau de generalidade e da complexidade resultante, as duas aproximações indicadas (através de Erro! Fonte de referência não encontrada. e Erro!
Fonte de referência não encontrada.) não foram aplicadas no contexto deste trabalho. Nas
seções a seguir, as aproximações a serem consideradas (em função da simplicidade de aplicação) serão descritas e desenvolvidas com maior grau de detalhamento.
3.3.2 Aproximação Backward
A Figura 3.4 ilustra as considerações a serem feitas acerca da aproximação Backward. De acordo com a ilustração, a área definida pela função f(t) para um dado intervalo considerado
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pode ser expressa a partir da soma de sucessivos retângulos de forma que o valor da função empregado corresponda ao valor interior deste intervalo.
Figura 3.4 Determinação da área por aproximação retangular do tipo Backward.
Desta forma, segundo a ilustração indicada acima, a área indicada pode ser expressa em função dos elementos indicados no gráfico através de Erro! Fonte de referência não
encontrada..
1
s s s s s
y ( K T )= y ( K T − )+T f ( K T −T ) (3.8) A aplicação da transformada Z sobre Erro! Fonte de referência não encontrada. resulta em uma expressão para a aproximação Backward, conforme é expresso por Erro! Fonte de
referência não encontrada..
1 s z s T z − = (3.9)
A exemplo da aproximação Forward (não considerada neste trabalho) esta aproximação também apresenta a simplicidade como vantagem e adicionalmente, conforme ilustra a Figura 3.5, faz o mapeamento de um sistema contínuo estável (semiplano esquerdo do plano-s) em um sistema discreto correspondentemente estável (espaço interno ao circulo de raio unitário do plano-z).
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Figura 3.5 Mapeamento do plano s para o plano z pela Aproximação Backward.
3.3.3 Aproximação de Tustin
O conceito envolvido para a definição da aproximação de Tustin está ilustrado através da Figura 3.6 onde, conforme pode ser observado, a área definida pela função f(t) para um dado intervalo de referência é dada através do somatório de uma seqüência de trapézios.
Figura 3.6 Determinação da área por aproximação trapezoidal.
Desta forma, a área indicada pela ilustração acima pode ser expressa por meio dos elementos geométricos através de Erro! Fonte de referência não encontrada..
76 ( ) 1 1 2 s s s s s s s T y ( K T )= y ( K T − )+ f ( K T −T )+ f ( K T −T − ) (3.10) A equação acima representa a aproximação de Tustin no domínio de tempo discreto. Por analogia com o desenvolvimento da aproximação anterior, aplicando-se a Transformada Z à equação acima, chega-se a expressão para esta aproximação no domínio z. Desta forma, a aproximação de Tustin é dada por Erro! Fonte de referência não encontrada..
2 1 1 s z s T z − = + (3.11)
Comparativamente aos métodos clássicos já mencionados (Forward e Backward), a aproximação de Tustin é o mais exato dos métodos de aproximação uma vez que envolve uma relação mais complexa que reproduz com maior fidelidade o mapeamento de pontos da região estável do plano s (semiplano esquerdo) para uma região correspondentemente estável no plano z (interior do circulo de raio unitário), conforme ilustrado através da Figura 3.7 a seguir.
Figura 3.7 Mapeamento do plano s para o plano z pela aproximação de Tustin.