Sabe-se que o MOT ´e sujeito a problemas num´ericos, tais como surgimento de excesso de “escala de cinza” (materiais intermedi´arios), dependˆencia da malha de elementos finitos (diferentes resposta conforme o dom´ınio ´e discretizado em um n´umero maior de elementos) e instabilidade de tabuleiros (regi˜oes com alternˆancia entre um material e outro na forma de um tabuleiro de xadrez). Na literatura h´a v´arios trabalhos com diversas alternativas para minimizar os efeitos destas instabilidades (DIAZ; SIGMUND, 1995;BENDSØE; SIGMUND, 1999;FUJII; KIKUCHI, 2000). Uma delas ´e a aplica¸c˜ao de t´ecnicas filtragem, como o filtro espacial descrito na se¸c˜ao 6.4, que visa a elimina¸c˜ao das instabilidades de tabuleiro e dependˆencia da malha (FUJII; KIKUCHI, 2000). As t´ecnicas de filtragem fornecem restri¸c˜oes adicionais ao problema de otimiza¸c˜ao topol´ogica para controle da distribui¸c˜ao de material no dom´ınio e s˜ao bastante dependentes de parˆametros, que geralmente s˜ao adotados heuristicamente. A forma¸c˜ao excessiva de “escala de cinza” ´e outro problema indesej´avel e, como j´a visto no cap´ıtulo 3, pode ser minimizada aumentando-se o valor do expoente (p) do modelo de material SIMP
(BENDSØE; SIGMUND, 1999).
Recentemente, Matsui e Terada (2004) propuseram uma t´ecnica alternativa, conhecida por CAMD (“Continuous Approximation of Material Distribution”), ou Aproxima¸c˜ao Cont´ınua de Distribui¸c˜ao de Material, que visa a redu¸c˜ao de instabilidades num´ericas, como a de “tabuleiros” (DIAZ; SIGMUND, 1995). Esta t´ecnica consiste em distribuir o material no interior do dom´ınio de uma maneira cont´ınua e, conseq¨uentemente, permitir uma varia¸c˜ao cont´ınua da propriedade f´ısica do material (a condutividade ou resistividade, por exemplo) no interior da microestrutura adotada no MOT. O algoritmo do TOMOGOT original adota uma metodologia na qual a distribui¸c˜ao do material no dom´ınio ´e determinada pela pseudo-densidade (vari´avel de projeto) que cada elemento assume no problema de otimiza¸c˜ao topol´ogica. No entanto, na proposta do CAMD a pseudo-densidade varia continuamente ao longo do elemento, transformando a distribui¸c˜ao de material descont´ınua numa aproxima¸c˜ao mais cont´ınua poss´ıvel. Desta maneira, com o intuito de explorar uma outra regulariza¸c˜ao para o problema de otimiza¸c˜ao topol´ogica proposto para obten¸c˜ao de imagem na TIE, o CAMD ´e implementado no TOMOGOT.
Na formula¸c˜ao do problema de otimiza¸c˜ao topol´ogica proposta no cap´ıtulo 5, a propriedade efetiva do material ´e interpolada para cada ponto do dom´ınio usando
6.6 Aproxima¸c˜ao Cont´ınua de Distribui¸c˜ao de Material (“CAMD”) 63
o modelo de material SIMP da equa¸c˜ao (3.5), que no dom´ınio discreto ´e escrita da seguinte forma:
Ck= ρpkCA+ (1 − ρpk) CB (6.12)
onde Ck ´e a propriedade de condutividade de cada elemento no dom´ınio, CA e
CB s˜ao as propriedades de condutividade dos materiais b´asicos que comp˜oem o
dom´ınio e ρk ´e a pseudo-densidade definida para cada elemento.
No CAMD a vari´avel de projeto (ρ) ´e substitu´ıda por uma fun¸c˜ao do tipo: ρ =
n
X
i=1
Niρi (6.13)
onde ρi s˜ao as vari´aveis de projeto definida em cada n´o do elemento k, sendo n o
n´umero de n´os desse elemento. Observa-se que o n´umero de vari´aveis de projeto passa a ser igual ao n´umero total de n´os da discretiza¸c˜ao do dom´ınio. Ni s˜ao os
polinˆomios de interpola¸c˜ao do material em cada n´o do elemento k.
Neste caso, os polinˆomios Ni podem apresentar forma e grau qualquer, por´em
deve-se ter o cuidado em escolher polinˆomios de forma que 0 ≤ ρ ≤ 1. Neste trabalho, utilizamos os mesmos polinˆomios de interpola¸c˜ao usados nas fun¸c˜oes de forma do elemento finito utilizado para discretizar o dom´ınio (equa¸c˜oes (4.10) a (4.13)).
Sendo assim, com o CAMD a propriedade de condutividade em cada elemento (Ck) no dom´ınio discreto passa a ser interpolado da seguinte maneira:
Ck = n X i=1 Niρi !p k CA+ " 1 − n X i=1 Niρi !p k # CB (6.14)
A implementa¸c˜ao do CAMD exigiu algumas modifica¸c˜oes na rotina de MEF do TOMOGOT, principalmente na que realiza o c´alculo da matriz de condutividade do elemento. O termo relativo as propriedades de material do elemento, σ(e) da equa¸c˜ao (4.24), n˜ao ´e mais constante como no caso anterior
(sem a aplica¸c˜ao do CAMD), portanto sendo necess´ario integr´a-lo.
Assim, depois de feita as modifica¸c˜oes necess´arias, a nova vers˜ao do TOMOGOT ´e testado em exemplos apresentados adiante no cap´ıtulo 7.
7
Resultados
7.1
Introdu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo, s˜ao apresentados exemplos que ilustram os resultados obtidos utilizando o software (denominado de TOMOGOT), implementado em linguagem C, que aplica o M´etodo de Otimiza¸c˜ao Topol´ogica (MOT) para obten¸c˜ao de imagem de Tomografia por Impedˆancia El´etrica (TIE).
A imagem ´e reconstru´ıda a partir de um dom´ınio de projeto (se¸c˜ao do corpo submetido a tomografia) bidimensional (2D), de geometria regular e bem conhecida, utilizando-se dados de voltagem num´erico e experimental. Ou seja, os valores de potenciais el´etricos (medidos e calculados) utilizados na fun¸c˜ao objetivo do problema de otimiza¸c˜ao topol´ogica aplicado a TIE, mostrado no cap´ıtulo 5, s˜ao obtidos atrav´es de um modelo de MEF do dom´ınio de projeto (fantoma num´erico) ou de uma cuba preenchida com ´agua e objeto imerso (fantoma experimental). O dom´ınio de projeto ´e discretizado em elementos finitos triangulares e quadril´ateros de 3 e 4 n´os, respectivamente, com 1 grau de liberdade por n´o – a condutividade el´etrica do meio. S˜ao utilizados 32 (ou 30) eletrodos posicionados ao redor do dom´ınio de projeto e s˜ao aplicados 32 (ou 30) casos de carga de corrente (ne), seguindo o padr˜ao adjacente e diametral de excita¸c˜ao el´etrica (veja se¸c˜ao 7.2). A impedˆancia de contato nestes eletrodos ´e simulada atrav´es de elementos de eletrodos de largura igual a 10 mil´ımetros. Em todos os exemplos mostrados neste cap´ıtulo, a corrente el´etrica aplicada ´e considerada igual a 1 mA (miliamp`ere), exceto nos exemplos onde s˜ao utilizados 30 eletrodos.
No caso em que se utiliza dados de voltagem num´erico, a imagem ´e obtida a partir de uma configura¸c˜ao em que o modelo de MEF do dom´ınio, utilizado para simular os potenciais el´etricos medidos (φij0), possui um n´umero maior
de elementos finitos em rela¸c˜ao ao modelo de MEF do dom´ınio utilizado para obter a imagem, evitando assim o chamado “crime de invers˜ao” (ou “inverse crime”), ou seja, reconstruir a imagem usando a mesma discretiza¸c˜ao de MEF do dom´ınio utilizada para simular os potenciais el´etricos φij0 (fantoma