Aproximac¸ ˜ao de Ondas Eletromagn ´eticas

=−Jaµ^1/2₀ Multiplicando por−iκtem-se o Sistema de Maxwell de Segunda Ordem

−κ²_rE+∇ ×µ⁻¹_r ∇ ×E=F (3.62)

A partir desse momento ser ´a tratado o caso de ondas eletromagn ´eticas plana que se propagam em um dom´ınio com duas dimens ˜oes, deste modo, para evitar abusos de notac¸ ˜ao ser ´a usado simplesmente o operador∇para simbolizar os operadores de superf´ıcie∇Se∇~S, no entanto, as propriedades operat ´orias devem ser aquelas apresentadas no Ap ˆendice A. No caso do rotacional, a diferenc¸a dever ´a ficar clara quando ser ´a aplicado∇×sobre uma func¸ ˜ao escalar ou sobre uma func¸ ˜ao vetorial conforme as equac¸ ˜oes (B.8) e (B.9), respectivamente.

3.4.1 Aproximac¸ ˜ao de Ondas Eletromagn ´eticas

Com o objetivo de ilustrar a performance dos elementos finitos vetoriais de Whitney-N ´ed ´elec, tomar-se- ´a um problema de propagac¸ ˜ao de uma onda plana atrav ´es de um dom´ınio quadradoΩ = (0,1)² com contorno Γ. SuponhaΩno v ´acuo, assim = 0 e µ= µ0. Consi-dere o campo el ´etricoE ∈H(curl,Ω)e o seguinte problema de valor de contorno

−ω²

1 + iσµω0

ω²

E+∇ × ∇ ×E=F ∀x= (x1, x2)∈Ω (3.63)

n×E=f sobre Γ (3.64)

onde ω ´e uma frequ ˆencia fixada, n = (n1, n2) ´e o vetor normal `a Γ e f : Ω −→ C ´e uma func¸ ˜ao cont´ınua e suave.

O M ´etodo dos Elementos Finitos, como se sabe, ´e baseado na formulac¸ ˜ao variacional de problemas de valor de contorno. Antes de iniciar a discretizac¸ ˜ao do sistema de segunda ordem (3.63), uma formulac¸ ˜ao variacional apropriada deve ser definida, Monk (2003a), Reddy (1986), Kreyszig (1978). Primeiro ´e importante notar que, como as equac¸ ˜oes de Maxwell envolvem func¸ ˜oes complexas no regime harm ˆonico o campo deve ser adaptado para espac¸os complexas. Por exemplo, o produto interno em(L2(Ω))² ´e agora definido por

(u,v)L2 = Z

Ω

u·vdΩ (3.65)

Para a formulac¸ ˜ao variacional, o procedimento ´e feito da seguinte forma: (a) multiplica-se (3.63) porφ∈H₀(curl,Ω); (b) integra-se sobreΩo resultado dessa multiplicac¸ ˜ao; (c) aplica-se o Teorema de Stokes no plano, equac¸ ˜ao B.4.1, escolhendow =∇ ×Ee v =φ. Assim, tem-se a formulac¸ ˜ao variacional desejada

−ω²

1 + iσµω0

ω²

E,φ

L2

+ (∇ ×E,∇ ×φ)L2 = (F,φ)L2 (3.66)

para todo φ ∈ H0(curl,Ω). Outro aspeto importante que deve ser observado ´e a condu-tividade σ. Se σ > 0 em Ω, ent ˜ao pode-se escrever (3.66) como uma forma sesquilinear coerciva – veja Ap ˆendice C – emH0(curl,Ω), Monk (1991). Isso assegura – veja o Teorema C.0.2 no Ap ˆendice C – que (3.66) ter ´a uma ´unica soluc¸ ˜ao para qualquer frequ ˆenciaω e para qualquerF ∈(L2(Ω))². Contudo, seσ = 0emΩ, ent ˜ao (3.66) n ˜ao ter ´a soluc¸ ˜ao para um con-junto discreto infinito de valores deω, os quais s ˜ao chamados de resson ˆancias. Neste caso, a forma sesquilinear definida pelo lado esquerdo de (3.66) n ˜ao ser ´a coerciva, Monk (1991).

Para contornar este problema, o uso da teoria de Fredholm fornece as condic¸ ˜oes necess ´arias que garantem a exist ˆencia e unicidade de uma soluc¸ ˜ao, Monk (2003a). Consequentemente, para qualquer valor imposto `aσ, uma soluc¸ ˜ao para (3.66) pode ser encontrada.

AssumindoF =0eσ = 0, a formulac¸ ˜ao variacional (3.66) torna-se o seguinte problema:

EncontrarE∈H(curl,Ω)tal que

(∇ ×E,∇ ×φ)L2 =ω²(E,φ)L2 ∀φ∈H0(curl,Ω) (3.67)

n×E =f sobre Γ, (3.68)

Escolhendof(x) = n2E˜1(x)−n1E˜2(x)em (3.68), onde ( ˜E1,E˜2) = (−10πe^iκ·x,10πe^iκ·x) ´e uma onda plana se propagando na direc¸ ˜ao do vetor de ondaκ = 10π(1,1), e ω = 10√

2π, tem-se queE˜ = ( ˜E1,E˜2) ´e uma soluc¸ ˜ao anal´ıtica de (3.67)-(3.68).

Considere que o dom´ınioΩ ´e discretizado por uma malha uniforme de elementos quadra-dos com arestas de tamanho h, veja a Figura 3.8. Al ´em disso, suponha que elementos de ordemps ˜ao usados para definir o espac¸o de elementos finitos vetoriaisVhp.

h h

Figura 3.8: Malha usada nos experimentos num ´ericos, onde cada elemento quadrado da malha tem ladoh= 1/n, em quen² ´e o n ´umero de elementos na malha.

A aproximac¸ ˜ao por elementos finitos busca uma soluc¸ ˜ao discretaEhp∈Vhptal que

(∇ ×Ehp,∇ ×vhp)L2 =ω²(Ehp,vhp)L2 (3.69)

para todo v_hp ∈ V_hp ∩ H₀(curl,Ω). As condic¸ ˜oes de contorno essenciais s ˜ao impostas requerendo que em todas as arestasγ ⊂Γ, tenha-se

Z

γ

(n×Ehp−f)v ds= 0 (3.70)

para todo v ∈ Pp(γ), onde Pp denota o espac¸o unidimensional de polin ˆomios de grau no m ´aximo igual `a p no comprimento do arco. Note que, se t = (n₂,−n₁) ´e o vetor tangente

`a γ, a equac¸ ˜ao (3.70) coincide com a equac¸ ˜ao (2.10). A aproximac¸ ˜ao para E˜ ´e realizada com elementos de Whitney e elementos de N ´ed ´elec de primeira ordem. Alguns experimentos num ´ericos relativos `a soluc¸ ˜ao do problema podem ser vistos nesta sec¸ ˜ao. As Figuras 3.9(a), 3.9(b), 3.9(c) e 3.9(d) apresentam a aproximac¸ ˜ao da parte real da segunda componente da soluc¸ ˜ao anal´ıticaE˜ do problema (3.67)-(3.68). usando elementos de Whitney, enquanto que as Figuras 3.10(a), 3.10(b), 3.10(c) e 3.10(d) representam a aproximac¸ ˜ao por elementos de N ´ed ´elec de primeira ordem.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.9: Variac¸ ˜ao da soluc¸ ˜ao anal´ıtica ao longo da diagonal principal (linha cont´ınua), assim como da soluc¸ ˜ao num ´erica (linha pontilhada) usando elementos de Whitney e os se-guintes n´ıveis de refinamento da malha: (a) h = 1/15; (b) h = 1/20; (c) h = 1/40; (d) h= 1/60.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.10: Variac¸ ˜ao da soluc¸ ˜ao anal´ıtica ao longo da diagonal principal (linha cont´ınua), assim como da soluc¸ ˜ao num ´erica (linha pontilhada) usando elementos de N ´ed ´elec de primeira ordem e os seguintes n´ıveis de refinamento da malha:: (a)h = 1/5; (b) h = 1/10; (c) h = 1/30; (d)h= 1/60

Cap´ıtulo 4

Relac¸ ˜ao de Dispers ˜ao Discreta

4.1 Dispers ˜ao Num ´erica

Um meio ´e dito dispersivo se ondas com frequ ˆencias distintas viajam neste meio com velocidades distintas, Oliveira et al. (2007). Normalmente, ondas planas s ˜ao usadas para medir a dispers ˜ao em um meio, uma vez que s ˜ao simples e est ˜ao fortemente relacionadas com os m ´etodos num ´ericos mais comuns, tais como o m ´etodo dos elementos finitos.

Uma ferramenta importante para avaliar a qualidade da aproximac¸ ˜ao dos m ´etodos num ´ericos

´e a an ´alise de dispers ˜ao. A an ´alise de dispers ˜ao fornece uma estimativa do n ´umero m´ınimo de pontos da malha por comprimento de onda necess ´arios para uma simulac¸ ˜ao precisa da propagac¸ ˜ao da onda. Um m ´etodo ´e dispersivo se a velocidade de propagac¸ ˜ao da onda apro-ximada depende do seu comprimento de onda. Se se considera um meio homog ˆeneo, em que n ˜ao ocorre dispers ˜ao na soluc¸ ˜ao exata, ent ˜ao qualquer variac¸ ˜ao na velocidade da onda aproximada com o comprimento de onda, ´e devida `a perda de precis ˜ao.

A dispers ˜ao num ´erica ´e um fator que afeta todos os m ´etodos de modelagem matem ´atica.

Em particular, a principal causa da dispers ˜ao num ´erica na aproximac¸ ˜ao de campos eletro-magn ´eticos ´e que mesmo diminuindo o espac¸amento entre os pontos de malha, o erro de interpolac¸ ˜ao n ˜ao ´e nulo, Warren et al. (1994). Por exemplo, no m ´etodo dos elementos fini-tos as func¸ ˜oes de base ou de interpolac¸ ˜ao s ˜ao utilizadas para aproximar o campo, e uma vez que estas func¸ ˜oes (geralmente polin ˆomios) n ˜ao consegue captar exatamente a variac¸ ˜ao do campo. Desta forma o erro de interpolac¸ ˜ao resultante leva `a dispers ˜ao. Em outras pala-vras, `a medida que se varia a direc¸ ˜ao de propagac¸ ˜ao do campo, ou comprimento de onda ou

frequ ˆencia da onda, ou ainda a malha, a precis ˜ao da soluc¸ ˜ao num ´erica varia.