Aritm´etica dos Restos

Seja m um n´umero natural diferente de zero. Diremos que dois n´umeros inteiros positivos a e b s˜ao congruentes m´odulo m se os restos de sua divis˜ao euclidiana por m s˜ao iguais. Quando os inteiros a e b s˜ao congruentes m´odulo m, escreve-se

a ≡ b mod m.

Por exemplo, 21 ≡ 13 mod 2, j´a que os restos da divis˜ao de 21 e de 13 por 2 s˜ao iguais a 1.

Quando a rela¸c˜ao a ≡ b mod m for falsa, diremos que a e b n˜ao s˜ao congruentes, ou que s˜ao incongruentes, m´odulo m. Escreveremos, neste caso, a 6≡ b mod m.

Por exemplo, 11 e 17 n˜ao s˜ao congruentes m´odulo 4, ou seja, 11 6≡ 17 mod 4, pois o resto da divis˜ao de 11 por 4 ´e 3 e de 17 por 4 ´e 1.

Como o resto da divis˜ao de um n´umero natural qualquer por 1 ´e sempre nulo, temos que a ≡ b mod 1, quaisquer que sejam a, b ∈ Z+. Isto torna desinteressante a aritm´etica dos restos m´odulo 1. Portanto, doravante, consideraremos sempre m > 1.

Decorre, imediatamente, da defini¸c˜ao que a congruˆencia, m´odulo um inteiro fixado m, ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. Como veremos a seguir.

Proposi¸c˜_{ao 1.4.1 . Seja m ∈ Z}+, com m > 1. Para todos a, b, c ∈ Z+, temos as

propriedades

i) Reflexiva: a ≡ a mod m,

ii) Sim´_{etrica: Se a ≡ b mod m, ent˜ao b ≡ a mod m,}

iii) Transitiva: se a ≡ b mod m e b ≡ c mod m, ent˜ao a ≡ c mod m.

Para verificar se dois n´umeros s˜ao congruentes m´odulo m, n˜ao ´e necess´ario efetuar a divis˜ao euclidiana de ambos por m para depois comparar os seus restos. ´E suficiente aplicar o seguinte resultado:

Proposi¸c˜_{ao 1.4.2 . Suponha que a, b ∈ Z}+ s˜ao tais que b ≥ a. Ent˜ao a ≡ b mod m se,

e somente se, m|b − a.

Demonstra¸c˜ao: Sejam a = mq + r, com r < m e b = mq′_{+ r}′_{, com r}′ _{< m, as divis˜oes} euclidianas de a e b por m, respectivamente. Logo,

b − a =    m(q′_{− q) + (r}′_{− r), se r}′ _{≥ r} m(q′_{− q) − (r}′ _{− r), se r ≥ r}′

onde r′_{− r < m,ou r − r}′ _{< m. Portanto, a ≡ b mod m se, e somente se, r = r}′_{, o que ´e}

equivalente a dizer que m|b − a. 

Note que todo n´umero natural ´e congruente m´odulo m ao seu resto pela divis˜ao euclidiana por m e, portanto, ´e congruente m´odulo m a um dos n´_{umeros 0, 1, ..., m − 1.} Al´em disso, dois desses n´umeros distintos n˜ao s˜ao congruentes m´odulo m.

Portanto, para achar o resto da divis˜ao de um n´umero a por m, basta achar o n´umero natural r dentre os n´_{umeros 0, 1, ..., m − 1 que seja congruente a a m´odulo m.}

Chamaremos de sistema completo de res´ıduos m´odulo m a todo conjunto de n´umeros naturais cujos resto pela divis˜ao por m s˜ao os n´_{umeros 0, 1, ..., m − 1, sem re-} peti¸c˜oes e em uma ordem qualquer.

Portanto, um sistema completo de res´ıduos m´odulo m possui m elementos. ´

E claro que, se a1, a2, ..., am s˜ao m n´umeros naturais, dois a dois n˜ao congruentes m´odulo m, ent˜ao eles formam um sistema completo de res´ıduos m´odulo m. De fato, os restos da divis˜ao dos ai por m s˜ao dois a dois distintos, o que implica que s˜ao os n´umeros 0, 1, ..., m − 1 em alguma ordem.

O que torna ´util e poderosa a no¸c˜ao de congruˆencia ´e o fato de ser uma rela¸c˜ao de equivalˆencia compat´ıvel com as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao nos inteiros, conforme veremos na proposi¸c˜ao a seguir.

Proposi¸c˜_{ao 1.4.3 . Seja a, b, c, d, m ∈ Z}+, com m > 1.

i) Se a ≡ b mod m e c ≡ d mod m, ent˜ao a + c ≡ b + d mod m. ii) Se a ≡ b mod m e c ≡ d mod m, ent˜ao ac ≡ bd mod m.

Demonstra¸c˜_{ao: Suponhamos que a ≡ b mod m e c ≡ d mod m. Podemos, sem perca} de generalidade, supor que b ≥ a e d ≥ c. Logo, temos que m|b − a e m|d − c.

i) Basta observar que m|(b − a) + (d − c) e, portanto, m|(b + d) − (a + c), o que prova essa parte do resultado.

ii) Basta notar que bd − ac = d(b − a) + a(d − c) e concluir que m|bd − ac.

 Corol´_{ario 1.4.1 . Para todos n ∈ Z}∗

+, a, b ∈ Z+, se a ≡ b mod m,ent˜ao an≡ bnmod m. Demonstra¸c˜_{ao: Se n = 1, verdadeiro, pois, por hip´otese a ≡ b mod m.}

Escrevendo    a ≡ b mod m a ≡ b mod m ,

temos pela Proposi¸c˜ao 1.4.3, temos que a2 _{≡ b}2 mod m.

Supondo agora, verdadeiro para n, n ∈ Z+, temos que an ≡ bn mod m e por hip´otese, temos que a ≡ b mod m, isso implica, pela Proposi¸c˜ao 1.4.3, que

   an_{≡ b}n mod m a ≡ b mod m ⇒ a n · a ≡ bn · b mod m ⇒ an+1 _{≡ b}n+1 mod m. 

Corol´_{ario 1.4.2 . Sejam a, b, m ∈ Z}∗

+, com m > 1. Se a + b ≡ 0 mod m, ent˜ao, para

todo n ∈ Z+, temos: i) a2n _{≡ b}2n mod m

ii) a2n+1+ b2n+1 _{≡ 0 mod m.}

Demonstra¸c˜ao: O resultado ´e claramente v´alido para n = 0. Podemos ainda supor, sem perca de generalidade, que a ≥ b.

Como a + b ≡ 0 mod m, segue-se que m|a + b e, portanto, m|(a + b) · (a − b). Como (a + b) · (a − b) = a2_{− b}2_{, segue-se que a}2 _{≡ b}2 _{mod m. Aplicando o Corol´ario 1.4.1,} temos que a2n _{≡ b}2n _{mod m para todo n ∈ Z}∗

+. Por outro lado, como

a2n+1+ b2n+1 _{= (a + b) · (a}2n_{− ba}2n−1 _{+ · · · − b}2n−1a + b2n),

e m|a + b,

Cap´ıtulo 2

Os Ternos Pitag´oricos

Neste cap´ıtulo apresentaremos inicialmente a defini¸c˜ao de Ternos Pitag´oricos e Ternos Pitag´oricos Primitivos. Em seguida, apresentaremos as principais f´ormulas que geram tais ternos, bem como um dispositivo pr´atico que tamb´em gera infinitos ternos pitag´oricos. Na se¸c˜ao subsequente, traremos uma f´ormula que relaciona dois Ternos Pi- tag´oricos de modo a gerar um novo terno pitag´orico. Para finalizar o Cap´ıtulo, apresenta- remos algumas propriedades dos Ternos Pitag´oricos, bem como algumas particularidades do terno (3, 4, 5).

2.1

Ternos Pitag´oricos

Defini¸c˜ao 2.1.1 . Um terno pitag´orico (T P ) ´e uma tripla de inteiros positivos (a, b, c),

tal que a2+ b2 = c2.

Tamb´em chamamos o T P (a, b, c) de triˆangulo pitag´orico cujos catetos s˜ao a, b e hipote- nusa c. Em outros termos, terno pitag´orico ´e toda solu¸c˜ao inteira e positiva da equa¸c˜ao

diofantina: x2+ y2 = z2.

Exemplo 2.1.1 . Exemplos de ternos pitag´oricos: i) (3, 4, 5) ´e terno pitag´orico, pois, 32_{+ 4}2 _{= 5}2_; ii) (6, 8, 10) ´e terno pitag´orico, pois, 62+ 82 = 102;

iii) (5, 12, 13) ´e terno pitag´orico, pois, 52+ 122 = 132;

Teorema 2.1.1 . Se (a, b, c) ´e um terno pitag´orico, ent˜ao (ka, kb, kc) tamb´em ´e um terno

pitag´orico, ∀k ∈ Z+ e k > 1.

Demonstra¸c˜ao: Por hip´otese, (a, b, c) ´e terno pitag´orico, logo, a2 _{+ b}2 _{= c}2_{. Da´ı,} multiplicando ambos os membros da equa¸c˜ao por k2, temos:

a2_{+ b}2 _{= c}2

k2_{· (a}2+ b2) = k2_{· (c}2)

k2_{· a}2+ k2_{· b}2 = k2_{· c}2

(k · a)2+ (k · b)2 = (k · c)2

Portanto, (ka, kb, kc) ´e terno pitag´orico. 

Exemplo 2.1.2 . Exemplos de Ternos Pitag´oricos obtidos atrav´es da multiplica¸c˜ao dos

elementos de um T P dado, por um inteiro positivo maior que 1:

i) (6, 8, 10) ´e T P , pois, 62 + 82 = 102_{. Como (3 · 6, 3 · 8, 3 · 10) = (18, 24, 30), a tripla} (18, 24, 30) tamb´em ´e T P . De fato, 182+ 242 = 302.

ii) (8, 15, 17) ´e T P , pois, 82+ 152 = 172_{. Como (5 · 8, 5 · 15, 5 · 17) = (40, 75, 85), a tripla} (40, 75, 85) tamb´em ´e T P . De fato, 402_{+ 75}2 _{= 85}2_.

Teorema 2.1.2 . Se (ka, kb, kc) ´e um terno pitag´orico, ent˜ao (a, b, c) tamb´em ´e um terno

pitag´orico, ∀k ∈ Z+ e k > 1.

Demonstra¸c˜ao: Por hip´otese, (ka, kb, kc) ´e terno pitag´orico, logo, (ka)2+(kb)2 = (kc)2. Aplicando a propriedade da potencia¸c˜ao e em seguida fatorando, obtemos:

(ka)2+ (kb)2 = (kc)2

k2_{· a}2+ k2_{· b}2 = k2_{· c}2

k2_{· (a}2+ b2) = k2_{· (c}2)

Por hip´otese tamb´em, k > 1, logo, k2 > 1. Da´ı, dividindo ambos os membros por k2, obtemos:

a2+ b2 = c2.

Portanto, (a, b, c) ´e terno pitag´orico. _

Exemplo 2.1.3 . Exemplos de Ternos Pitag´oricos obtidos atrav´es da divis˜ao dos ele-

mentos de um T P dado, por um inteiro positivo maior que 1:

i) (30, 72, 78) ´e T P , pois, 302 + 722 = 782.

Como (30, 72, 78) = (3 · 10, 3 · 24, 3 · 26), a tripla (10, 24, 26) tamb´em ´e T P . De fato,

102 + 242 = 262.

ii) (48, 140, 148) ´e T P , pois, 482+ 1402 = 1482.

Como (48, 140, 148) = (2 · 24, 2 · 70, 2 · 74), a tripla (24, 70, 74) tamb´em ´e T P . De fato, 242+ 702 = 742.