2. MODELAÇÃO E METODOLOGIAS DE ANÁLISE DINÂMICA DO SISTEMA PONTE-
2.4. APLICAÇÃO COMPUTACIONAL TBI
2.4.1. Arquitetura do programa
Esta secção destina-se à apresentação resumida das principais rotinas do programa e respetivo funcionamento conforme ilustrado no fluxograma da Figura 2.12. A descrição detalhada do funcionamento do programa TBI pode ser encontrada em Ribeiro (2012).
Bloco Introdução de dados
TBI - Train Bridge Interaction
Modelo EF Forças de interacção na ponte
Sub-rotina 4d Resposta modal na ponte
Sub-rotina 4e Resposta e forças de interacção
Cumpre critério
Importação dados ANSYSRotina 2
Interface MATLAB
Análise modal da ponteRotina 3 - Frequências
Os modelos numéricos da ponte e do comboio são criados através do programa ANSYS, e a extração da informação necessária para a resolução do problema dinâmico é realizada através de uma interligação eficiente entre os programas ANSYS e MATLAB em modo batch. A informação extraída dos modelos é função do tipo de problema dinâmico que se pretende realizar. Para o caso de problemas com interação ponte-comboio, a informação extraída está sobretudo relacionada com a geometria, a numeração dos nós do trajeto das cargas na ponte, a numeração dos nós de contacto do comboio e as matrizes de massa, rigidez e amortecimento de cada um dos subsistemas.
Em problemas com interação dinâmica ponte-comboio o programa recorre ao método da sobreposição modal na resolução para a resolução do subsistema ponte, possibilitando uma redução significativa dos tempos de cálculo das análises. Para isso muito contribuiu o facto de apenas ser considerada a informação modal dos nós do caminho de cargas onde existem forças aplicadas na resolução das equações de equilíbrio dinâmico desligadas. O cálculo do subsistema comboio é realizado através de um método de integração direta, o método de Newmark, uma vez que a presença de amortecedores localizados nos veículos não permite realizar o desacoplamento das equações de equilíbrio dinâmico do comboio. A resolução do sistema de equações envolve o recurso a uma factorização de Cholesky permitindo também a redução dos tempos de cálculo (Ribeiro, 2012).
O programa TBI é constituído por cinco rotinas principais, que se descrevem em seguida de forma sucinta (Ribeiro, 2012):
Rotina 1 - Introdução de dados
Esta rotina destina-se à introdução dos dados gerais no programa, cujos parâmetros necessários para a sua execução são apresentados resumidamente no Quadro 2.2, em função do tipo de análise dinâmica que se pretenda realizar.
Quadro 2.2 – Parâmetros gerais para a execução do programa TBI (adaptado de Furtado (2013)).
Parâmetros gerais
Tipo de problema dinâmico Cargas
Móveis Interação ponte-comboio
1 - Nome do ficheiro ANSYS da ponte √ √
2 - Nome do ficheiro ANSYS do comboio --- √
3 - Incremento de tempo (Δt) √ √
4 - Número máximo de iterações (niter) --- √
5 - Tolerância do critério de convergência (ε) --- √
6 - Parâmetros de Newmark (β e γ) √ √
7 - Número de modos de vibração (n) e respetivos amortecimentos modais (ξn) √ √ 8 - Coordenadas do trajeto de cargas (x,y,z) segundo o sistema de eixos
adotado no modelo ANSYS √ √
9 - Coordenadas dos nós de contato (x,y,z) segundo o sistema de eixos adotado
no modelo ANSYS --- √
10 - Posição relativa do comboio ao início do trajeto de cargas √ √
11 - Irregularidades da via --- √
12 - Tipo do comboio (de entre uma base de dados que inclui 11 comboios) √ √ 13 - Ordenação e posição dos blocos do comboio --- √
14 - Velocidade do comboio (km/h) √ √
15 – Direção da interação (x, y, z) entre a ponte e o comboio √ √
Rotina 2 – Importação de dados do programa ANSYS
Esta rotina permite a importação de dados a partir do programa ANSYS aberto em modo "batch". A informação extraída relativa aos subsistemas, ponte e comboio, incluiu as matrizes de massa, de rigidez e de amortecimento em formato ‘Harwell-Boeing’. É ainda extraído um ficheiro de mapeamento, com a informação da correspondência entre cada grau de liberdade com o número do nó e o tipo de grau de liberdade (X, Y, Z, ROTX, ROTY e ROTZ) de cada um dos subsistemas. Por último é criada uma listagem dos nós do trajeto das cargas e dos nós de contacto com a indicação das respetivas coordenadas.
Rotina 3 – Parâmetros modais
Nesta rotina é calculado o problema de valores e vetores próprios, ou seja a análise modal, com vista à determinação os parâmetros modais da ponte, nomeadamente as frequências naturais e os modos de vibração que vêm normalizados em relação à matriz de massa.
Rotina 4 – Resolução do problema dinâmico
Esta rotina é constituída por um conjunto de sub-rotinas (sub-rotinas 4a a 4e), estando a maioria delas relacionadas com o método iterativo para a resolução do problema dinâmico com interação. A rotina inicia-se com a definição o número total de passos de integração (ninc) da análise dinâmica que é função do incremento de tempo, da velocidade do comboio, da extensão do trajeto das cargas, da extensão do comboio e do tempo em vibração livre do sistema ponte-comboio.
Sub-Rotina 4a – Posicionamento do comboio
O processo iterativo inicia-se com posicionamento do comboio sobre a ponte, seja por intermédio das cargas móveis ou pelos blocos que constituem o comboio no caso da metodologia com interação.
Sub-Rotina 4b – Ordenadas modais sob os nós de contato.
Esta sub-rotina envolve o cálculo das ordenadas modais, e no caso do problema com interação ponte-comboio das irregularidades sob os pontos de contacto.
As ordenadas modais dos pontos de contato são obtidas com base nas ordenadas modais dos nós vizinhos pertencentes ao trajeto das cargas, indicados por i e j, através de funções de forma de um elemento de viga bidimensional (Figura 2.13). As ordenadas modais são calculadas com base nos deslocamentos e rotações dos nós vizinhos do ponto de aplicação da carga e do parâmetro adimensional
, dado por:
xxj xxii
La
(2.24)
onde a representa a distância do ponto de contacto ao nó i, L é a distância entre os nós i e j, e assume valores no intervalo entre 0 e 1.
Assim, a ordenada do modo de vibração n sob um determinado ponto de contacto, ˆ n(), no caso em
Figura 2.13 – Funções de forma, N1 e N2, de um elemento de viga bidimensional (adaptado de Ribeiro (2012)).
Relativamente às irregularidades da via, em cada ponto de contacto (xi) a sua amplitude (ri) é determinada através de uma função interpoladora cúbica de grau 3. A função baseia-se em quatro pontos do vetor das irregularidades (r), nomeadamente, os dois pontos à esquerda e os dois pontos à direita do ponto de contacto (xi), conforme ilustrado na Figura 2.13.
Figura 2.14 – Determinação da amplitude das irregularidades por intermédio de uma interpolação cúbica (Ribeiro, 2012).
Sub-Rotina 4c – Forças de interação na ponte.
O processo iterativo inicia-se com o cálculo das forças modais a aplicar no subsistema ponte. A força referente ao modo de vibração n, Fnk , é obtida através da seguinte expressão:
k
n é o vetor coluna, com dimensão r, das ordenadas nos pontos de contacto para o modo de vibração n, eFpk é o vetor das forças totais de interação nos pontos de contacto.
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
Sub-Rotina 4d – Resposta modal da ponte.
A resposta dinâmica da ponte para cada instante de tempo é calculada por aplicação do método da sobreposição modal, e cada uma das equações de equilíbrio dinâmico desligadas é resolvida com recurso ao método de Newmark. Refira-se que para o instante t=0, os deslocamentos, as velocidades e as acelerações são considerados nulos.
Os deslocamentos totais (uPk) em cada ponto de contacto são calculados a partir da soma dos deslocamentos dos diversos modos de vibração com as irregularidades da via, por aplicação da expressão:
r y
u n kj
j j
k
P
1
ˆ (2.27)
Sub-Rotina 4e – Resposta e forças de interação no comboio.
Nesta sub-rotina são calculadas as respostas dinâmicas e as forças de interação dos vários blocos do comboio (metodologia com interação) a partir da resolução do sistema de equações de equilíbrio dinâmico, que inclui a ponte e o comboio, secção 2.3.4. Os detalhes de resolução dos sistemas de equações dos subsistemas ponte e comboio constam na referência (Ribeiro, 2012)
Rotina 5 – Pós-processamento
Por último, a rotina 5 possibilita a retirada automática dos resultados da análise dinâmica relativos à ponte e a cada bloco do comboio, sob a forma de gráfico ou ficheiro de texto. Os resultados disponíveis para a ponte são deslocamentos, velocidades e acelerações, podendo ser relativos para a generalidade dos elementos finitos disponíveis no programa ANSYS, e deformações para alguns dos elementos finitos, em particular, os elementos de viga, de casca e de volume. No que respeita ao comboio são disponibilizados os resultados dos deslocamentos, velocidades e acelerações (Ribeiro, 2012).
O cálculo dos deslocamentos, velocidades e acelerações nos nós de interesse é realizado através da aplicação das Expressões (2.15), (2.16) e (2.17) respetivamente.