Arranjos e permutações

Os arranjos simples, ou arranjos de 𝒏, 𝒌 a 𝒌, 𝑨𝒏 𝒌, designam o número de amostras, sequências de 𝑘

elementos, sem repetição de elementos, tiradas de um conjunto com 𝑛 elementos: 𝐴𝑘

𝑛 ₌ 𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!.

As permutações simples, ou permutações de 𝒏, 𝑷𝒏, designam o número de amostras, sequências de 𝑛

elementos, sem repetição de elementos, tiradas de um conjunto com 𝑛 elementos (caso particular de 𝐴𝑛 𝑘

com 𝑘 = 𝑛):

Os arranjos completos, ou com repetição, 𝑨𝒏 𝒌′, designam o número de amostras, sequências de 𝑘

elementos, tiradas de um conjunto com 𝑛 elementos, admitindo que os elementos se podem repetir numa mesma sequência:

𝐴𝑘′ 𝑛 _{= 𝑛}𝑘_.

3.9.2 Combinações

As combinações, ou combinações de 𝒏, 𝒌 a 𝒌, 𝑪𝒏 𝒌, designam o número de subconjuntos com 𝑘

elementos, que é possível formar a partir de um conjunto com 𝑛 elementos: 𝐶𝑘

𝑛 ₌ 𝑛!

𝑘! (𝑛 − 𝑘)!.

3.9.3 Exemplos

1. Com as letras A, B, C e D, quantas sequências de duas letras se podem formar: a) Podendo haver repetição de letras.

b) Não podendo haver repetição de elementos.

Resolução:

a) Represente-se a situação descrita através de um esquema em árvore (Figura 3.3).

1ª letra 2ª letra “Palavra”

A A B C D AA AB AC AD    D A B C D DA DB DC DD Figura 3.3: Diagrama em árvore.

Para cada uma das 4 possibilidades para a 1ª letra tem-se 4 possibilidades para a 2ª letra, uma vez que se consideram diferentes as sequências AB e BA e aceitam-se sequências do tipo AA, BB, ...

Portanto, o número total de possibilidades é: 1ª letra 2ª letra

4  4 = 42 = 𝐴4 2′ = 16 sequências distintas.

O número de sequências de 2 letras formadas com as 4 letras é 16.

b) Neste caso, tem-se 4 possibilidades para a 1ª letra, mas apenas 3 hipóteses para a 2ª letra, uma vez que fixada a 1ª letra, ela não poderá ocupar qualquer outra posição, ou seja, não se aceitam sequências do tipo AA, BB, ...

Na Figura 3.4 representa-se a situação descrita através de um esquema em árvore.

1ª letra 2ª letra “Palavra”

A B C D AB AC AD

   D A B C DA DB DC Figura 3.4: Diagrama em árvore. Portanto, o número total de possibilidades é:

1ª letra 2ª letra

4  3 = 𝐴4 2 = 12 sequências distintas.

O número de sequências que se podem formar com 2 letras distintas escolhidas entre as 4 letras A, B, C e D é 12.

2. No jogo Totoloto é necessário escolher 6 números de entre os 49 primeiros números naturais. Quantas apostas simples seriam necessárias fazer para haver a certeza de ganhar o primeiro prémio (acertar os 6 números)? E qual a probabilidade de ganhar esse prémio?

Resolução:

Trata-se de uma escolha sem reposição, uma vez que depois de escolhido um número ele não voltará a ser escolhido. Então as hipóteses de escolha são:

1º n.º 2º n.º 3ª n.º 4º n.º 5º n.º 6º n.º

49  48  47  46  45  44 = 𝐴49 6 = 10.068.347.520

sequências possíveis. De notar que depois de escolhido uma vez, um número não poderá voltar a ser escolhido. Por outro lado, as sequências 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 2, 1, 3, 4, 5, 6 ou 2, 3, 1, 4, 5, 6 ou ... correspondem à mesma escolha, ou seja, a ordem da escolha dos números não tem influência na contagem.

O número de sequências repetidas para cada conjunto de 6 números é 𝑃6= 6! = 720.

Então, é preciso corrigir o resultado obtido com 49𝐴6 dividindo-o pelo número de repetições com cada

conjunto de 6 números, obtendo-se:

𝐴6 49

𝑃₆ = 𝐶6

49 _{= 13.983.816 sequências distintas.}

Portanto, para haver a certeza de ganhar, é necessário fazer 13.983.816 apostas simples. A probabilidade de sair o 1º prémio, jogando só uma chave simples, é:

1 𝐶6 49 =

1

13.983.816 = 0,0000000715.

3. No jogo Euromilhões é necessário escolher 5 números de entre os 50 primeiros números naturais e 2 estrelas em 12 possíveis.

Quantas apostas simples seriam necessárias fazer para haver a certeza de ganhar o primeiro prémio (acertar os 5 números mais as 2 estrelas)? E qual a probabilidade de ganhar esse prémio?

Resolução:

O número de sequências distintas possíveis é dado por: 𝐶5

50 _𝐶

2

12 _{=139.838.160.}

Portanto, para haver a certeza de ganhar, é necessário fazer 139.838.160 apostas simples. A probabilidade de sair o 1º prémio é:

1 𝐶5 50 _𝐶 2 12 = 1 139.838.160= 0,00000000715.

4. Todos os professores que estão na sala de professores cumprimentaram-se apertando a mão. Sabendo que foram dados 45 apertos de mão, quantos professores estão na sala?

Resolução:

A ordem não influi na contagem e não pode haver repetição de elementos  Combinações. Portanto, 𝐶𝑛 2= 45 ⇔

𝑛(𝑛−1)

2 = 45 ⟹ 𝑛 = 10, ou seja, estão 10 professores a sala.

5. De quantos modos diferentes é possível dispor numa fila, para uma fotografia, 3 homens e 2 mulheres se: a) Se um dos homens, o mais alto, por exemplo, ficar no meio, e todos os restantes indistintamente

em qualquer lugar?

b) Se ficarem alternadamente homens e mulheres, nunca dois homens seguidos ou duas mulheres seguidas?

c) Não considerando o sexo, de quantas formas distintas pode sentar estas pessoas em 5 lugares disponíveis?

Resolução:

a) As pessoas são diferentes umas das outras (a ordem influi) e não pode haver repetição de pessoas  Arranjos sem repetição.

1ª lugar 2ª lugar 3ª lugar 4ª lugar 5ª lugar

Disposição das pessoas − − H + alto − −

Nº de possibilidades 4  3  1  2  1

Podem-se dispor de 𝐴4 4= 24 modos diferentes.

b) Uma vez que as pessoas são diferentes umas das outras, a ordem tem influência na contagem e não pode haver repetição de pessoas  Arranjos sem repetição.

1ª lugar 2ª lugar 3ª lugar 4ª lugar 5ª lugar

Disposição das pessoas H M H M H

Nº de possibilidades 3  2  2  1  1

Podem-se dispor de 𝐴3 32𝐴2 = 12 modos diferentes.

c) Uma vez que as pessoas são diferentes umas das outras, a ordem tem influência na contagem e não pode haver repetição de pessoas  Arranjos sem repetição.

1ª lugar 2ª lugar 3ª lugar 4ª lugar 5ª lugar

Nº de possibilidades 5  4  3  2  1

Podem-se sentar de 𝐴5 5= 𝑃5= 5! = 120 modos diferentes.

3.10 Exercícios propostos

1. Numa entrevista, um economista afirmou que considerava a “melhoria” da situação económica tão provável como a sua “estagnação”. No entanto, encarava a “melhoria” como duas vezes mais provável do que a “quebra” da atividade económica.

a) Que espaço de resultados está implícito nestas afirmações? b) Qual a probabilidade associada a cada resultado deste espaço? c) Que conceito de probabilidade está implícito neste problema?

2. Numa determinada empresa, o ordenado dos homens pode tomar os valores, de 1000 u.m., 1500 u.m., 2000 u.m. e 2500 u.m. As mulheres podem usufruir os seguintes ordenados: 500 u.m., 1000 u.m., 1500 u.m.

e 2000 u.m. Admitindo que a percentagem de homens a auferir cada um dos valores é a mesma, e o mesmo em relação às mulheres, e que os ordenados dos homens são independentes dos ordenados das mulheres, qual a probabilidade de um casal, escolhido aleatoriamente:

a) Ganhar mais de 2500 u.m.

b) Ganhar um múltiplo de 1000 u.m.

c) Ganhar entre 2000 e 3500 u.m. (inclusivé).

3. Na Britolândia existem no mercado três operadoras de telemóvel, A, B e C, com as seguintes percentagens de adesão:

𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐶) =1

4, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 0, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 1 8.

Calcule a probabilidade de um indivíduo, escolhido ao acaso, ser aderente de pelo menos uma das operadoras.

4. Sejam 𝐴 e 𝐵 acontecimentos tais que 𝑃(𝐴) = 0,2, 𝑃(𝐵) = 𝑝 e 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,6. Calcule 𝑝 considerando 𝐴 e 𝐵:

a) Mutuamente exclusivos. b) Independentes.

5. Uma caixa contém 100 peças sendo 10 defeituosas. Considere-se a experiência aleatória que consiste em extrair sucessivamente 2 peças da caixa. Qual a probabilidade de se realizar o acontecimento 𝐴 – a primeira peça é não defeituosa e a segunda é defeituosa?

6. Um teste para a deteção do vírus da SIDA foi aplicado a 5100 portadores e a 9900 não portadores deste vírus, tendo-se obtido os seguintes resultados:

Resultado do teste Portador Não portador

Positivo 4950 750

Negativo 150 9150

a) Calcule a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso, de entre os submetidos ao teste: b) Ter um resultado positivo no teste.

c) Ter um resultado positivo no teste e ser portador do vírus. d) Não ser portador do vírus e ter um resultado negativo.

e) Ter um resultado positivo sabendo que não é portador do vírus. f) Ter um resultado negativo sabendo que é portador do vírus. g) Ser portador do vírus sabendo que o teste é positivo.

h) Não ser portador da doença sabendo que o teste deu negativo.

i) O resultado do teste é independente do facto do indivíduo ser portador do vírus?

7. Um estudante tem 3 exames. A probabilidade de ter nota positiva em cada um é de ½ e os resultados são independentes. Calcule a probabilidade de ter nota positiva:

a) Em pelo menos um exame. b) Exatamente um exame.

8. Os sintomas febre, cansaço e dores no corpo, estão associadas em 60% dos casos às gripes e 40% às constipações. A automedicação é muito frequente nestas doenças, verificando-se que 40% das vezes os medicamentos ingeridos para o tratamento da gripe são os aconselhados para as constipações, e em 70% das situações os medicamentos utilizados para tratamento das constipações são os indicados para a gripe.

a) Qual a probabilidade de o medicamento ingerido ser realmente o indicado?

b) Sabendo que o medicamento era o apropriado para a doença, qual a probabilidade de o doente ter tido gripe?

9. O Pedro entrou agora na universidade e foi informado de que há 30% de possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de a receber, a probabilidade de se licenciar é de 0,85, enquanto que no caso de não a obter, a probabilidade de se licenciar é de apenas 0,45.

a) Diga ao Pedro qual é a probabilidade de ele se licenciar.

b) Se, daqui a uns anos, encontrar o Pedro já licenciado, qual a probabilidade de que tenha recebido a bolsa de estudo?

10. Numa urbanização recente, um inquérito aos moradores revelou que 5% viviam em moradias, 20% em prédios em banda e os restantes em torres. Alguns desses moradores foram aí instalados através de programas de realojamento. Dos moradores que vivem em moradias 2% são realojados, o mesmo acontecendo com 3% dos que vivem em prédios em banda e com 10% dos que vivem em torres. Escolhido ao acaso um dos habitantes dessa urbanização, qual a probabilidade de:

a) Ele ter sido alvo do programa de realojamento?