As tarefas exploratórias

No momento da resolução das tarefas exploratórias o ambiente de sala de aula é mais dinâmico, não necessariamente o mais silencioso, uma vez que cada grupo procura desempenhar de forma correta, e o mais completa possível, as tarefas que lhes foram apre- sentadas.

Observei que todos os grupos se empenharam, ajudando-se mutuamente, ora escla- recendo dúvidas dos próprios colegas, ou corrigindo-se mutuamente quer ao nível do empenho na tarefa a realizar, quer ao nível da postura na sala de aula, tendo em vista uma boa prestação do grupo.

Esta atividade envolveu de tal maneira os alunos, que não foi necessário a profes- sora realizar chamadas de atenção, tendo apenas interferido no controle do volume das participações de cada aluno, no grupo em que se encontrava, visto o entusiasmo ser imen- so.

Procedendo à análise da resolução apresentada pelos alunos à tarefa 1, onde era explorado uma sequência de quadrados (ver Anexo I), em que se pretendia que os alunos trabalhassem a sequência das figuras, observando o número de quadrados e o número de palitos do contorno das sucessivas figuras construídas. Desta forma era solicitado que

desenvolvem o pensamento algébrico, utilizando os seus esquemas e justificações, e tam- bém comuniquem relações entre as variáveis matemáticas.

Como o tema das sequências já tinha sido abordado, pretendia-se, também, aferir até que ponto os alunos aprenderam o conceito da expressão algébrica do termo geral de uma sequência, mas acima de tudo, perceber se os alunos sabem identificar o que está a acontecer de figura para figura, à medida que se constrói as figuras da sequência.

Os alunos ao manipularem os palitos distribuídos, puderam observar, de forma real, as várias figuras que se iam construindo, de acordo com as que já estavam desenhadas no manual.

Observei que no início, os palitos foram motivo de brincadeira, no entanto, rapida- mente passaram a ser utilizados para a construção/visualização das figuras da sequência.

Logo no início da tarefa 1, alguns grupos, como não compreenderam a primeira questão, solicitando-me ajuda, a fim de lhes esclarecer quais eram os “retângulos” que a tarefa mencionava. Desta forma, revelaram lacunas na leitura e interpretação de um enun- ciado, dificuldade que foi frequentemente observada ao longo da resolução da tarefa.

No diálogo seguinte apercebemo-nos da dificuldade de interpretação do enunciado:

Deli: Professora, não percebo isto? Profª: O quê?

Deli: Não estou a perceber os retângulos?

Profª: Pensa na arrumação dos palitos? [material fornecido aos alunos] Tem palitos

na vertical e outros na horizontal, não é?

Deli: Mas tem um quadrado, e está a falar em retângulos?!

Profª: Pois! Mas tu sabes que todo o quadrado é…[esperando pela resposta da alu-

na e esta intervém logo se seguida]

Deli: Ah! Já sei… Profª: Já sabes o quê?

Deli: Todas as figuras são retângulos, a primeira, porque tem os lados todos iguais,

Profª: Sim srª! Resolvida essa parte…e agora?! Observa a posição dos palitos, a

sua quantidade.

Deli: Tem duas filas de palitos horizontais igual ao número de retângulos e os pali-

tos verticais são, ao todo, mais um que o número da figura.

Profª: Muito bem! Continua a explorar com o teu grupo e atenção às perguntas que

são feitas.

O diálogo, acima transcrito revelou muita perspicácia por parte da aluna, uma vez que esta consegue observar propriedades, exprimir relações matemáticas, revelando pen- samento matemático, particularmente algébrico, embora precisa-se de uma pequena ajuda da professora.

O grupo avança na exploração, pois houve conexão entre a leitura e o pretendido, sendo verbalizadas propriedades das figuras geométricas, remetendo para representação em “registo geométrico”.

Analisando as respostas dos grupos, verifiquei que nesta primeira questão, onde se pretendia saber o número total de palitos para construir as quatro primeiras figuras, dois grupos erraram a resposta, uma vez que não entenderam o que era para determinar - o total de palitos necessários para formar as quatro primeiras figuras.

Quanto aos restantes grupos, estes apresentaram as suas respostas através de frases simples ou esquemas, de acordo com o que entenderam ser mais conveniente. Neste âmbi- to, os alunos utilizaram o “registo na língua natural” e o “registo geométrico”, sem recorrer à formalidade da álgebra.

Por exemplo, o grupo Ma apresentou a seguinte resposta:

Este grupo evidencia que entendeu a questão que lhes foi colocada, respondendo de forma correta o total de palitos para formar as figuras, usando apenas o cálculo aritmético para indicar esse total. Usa apenas o “registo em língua natural”, o que se verifica em várias respostas da maioria dos grupos.

O grupo R apresenta a seguinte resposta:

Figura 2: Resposta do grupo R à questão 1 da tarefa 1

O grupo R utiliza o “registo em língua natural”, obtendo de forma correta a respos- ta, revelando entendimento da questão, para além do raciocínio matemático que apresenta.

Já o grupo Ro, nesta questão, apresentou apenas a resposta final, revelando não ter necessidade de construir uma resposta longa. No entanto, revela ter entendido a disposição dos palitos, bem como o sentido da pergunta.

Figura 3: Resposta do grupo Ro à questão 1 da tarefa 1

Quanto ao grupo Ma, este apresenta o cálculo que realizou para encontrar a respos- ta:

Observando as respostas anteriores, torna-se evidente que os alunos efetuam as suas respostas entre os “registo na língua natural” e “registo geométrico”, uma vez que recorrem a esquemas para apresentar a sua resposta.

Contudo, também existem os que não necessitam desta construção de resposta, uma vez que, apresentam a quantidade total dos palitos, efetuando apenas o cálculo numérico para obter esse total, necessários para formar as quatro primeiras figuras.

É nesta diversidade de respostas, que se descobre o pensamento matemático, cons- tatando que não há modelos para seguir. Com estas é nítido que o conceito anterior - sequências e regularidades - foi interiorizado pela maioria dos alunos, e que estes mobili- zam esses conhecimentos.

Passando para a questão 2, na qual se pretendia saber o número de palitos da 5ª e 10ª figura, verifiquei que todos os grupos apresentaram resposta correta, revelando terem percebido a “arrumação” dos palitos nas figuras sucessivas.

Os grupos apresentaram vários tipos de respostas, utilizando diversas formas de a expor.

O grupo Ma expressou-se através de desenhos - “registo geométrico”:

Figura 5: Resposta do grupo Ma à pergunta 2 da tarefa1 Já o grupo Mi, apresentou em tabela:

Figura 6: Resposta do grupo Mi à pergunta 2 da tarefa 1

Quanto ao grupo Ro, apresentou a sua resposta em forma de lista, fazendo alusão ao “registo na língua natural”:

Figura 7: Resposta do grupo Ro à pergunta 2 da tarefa 1

Todos os grupos demonstram reconhecimento da forma como se dispõem os palitos nas várias figuras consecutivas, revelando compreensão da sequência, além de produzirem pensamento matemático.

É claro que, esta variedade de respostas foi possível porque os alunos estão em gru- po, cooperando uns com os outros, colaborando mutuamente, a fim de, todos juntos, encontrarem as soluções para as sucessivas questões.

Notei a envolvência dos alunos no grupo, possibilitando o crescimento de todos ao nível do conhecimento matemático.

Em grupo, os alunos fazem as suas escolhas, tendo em vista o responder correta- mente às questões, implicando cedências de todos os elementos, contribuindo assim para uma decisão conjunta. Como os alunos estão em cooperação, em colaboração, portanto em

corresponsabilização, surge um trabalho diversificado e enriquecido com as experiências individuais de cada aluno.

Na questão 3, pretendia-se saber quais as figuras da sequência que tinham 136 e 1001 palitos. Assim, aos alunos era pedido que pensassem de forma mais aprofundada na arrumação dos palitos. Estes ao terem percebido a forma como os palitos estavam arruma- dos, era a base para chegar ao pretendido, contudo, alguns grupos manifestaram dificulda- des em pensar “ao contrário”, isto é, tendo o número total de palitos, verificar se se encon- trava alguma figura, com essa quantidade de palitos.

Verifiquei nesta questão, que muitos grupos pediram a minha intervenção a fim de lhes esclarecer pergunta, revelando dificuldade na leitura e interpretação do enunciado.

O diálogo a seguir carateriza um desses momentos:

Ro: Professora, o que é para fazer? Profª: Já leste bem o enunciado? Ro: Sim, mas não percebo.

Profª: Observa a forma como os palitos estão dispostos nas várias figuras. Existem

palitos na vertical e outros na horizontal, não é?

Ro: Sim! Hum…. mas não sei….

Profª: Será possível com 1001 formar uma figura com esta mesma lógica de colo-

car os palitos? E outra com 136? [Apontando para as figuras iniciais que estavam represen- tadas na tarefa.]

Ro: Não sei!

Profª: E o resto do grupo? Tentem fazer, por exemplo, um esquema. E depois,

verão que encontrarão a resposta certa!

Com este diálogo, apercebi-me que alguns alunos apesar de terem investigado o número da figura e a respetiva quantidade de palitos, de acordo com a disposição dos pali- tos, apresentaram dificuldades em visualizar a arrumação dos mesmos, a partir do número total de palitos.

Verifiquei também a complicação dos alunos em identificarem as operações aritmé- ticas inversas, pois tinham o conhecimento do número total de palitos e era necessário saber a que figura correspondia. Estes precisavam de realizar o raciocínio oposto, tentando aperceber-se da forma como estes estavam dispostos, para assim poderem descobrir o número correspondente da figura da sequência.

Nesta fase da realização da tarefa, observei que, enquanto as perguntas são diretas, como aconteceu nas questões 1 e 2, os alunos, mesmo com algumas dificuldades, chegam ao resultado final, porém, quando envolve mais raciocínio, particularmente o efetuar o raciocínio contrário, o ter de construir cálculos “de trás para a frente”, torna-se tarefa difícil para alguns alunos realizarem.

A partir da quantidade total de palitos, os alunos tinham que descobrir o respetivo número da figura, desta forma constatei que os alunos sentem-se confusos, não conseguin- do, de forma direta, a resposta final.

Das respostas apresentadas, dois dos cinco grupos não responderam corretamente. Uma dessas respostas foi apresentada pelo grupo Ro, revelando que não entendeu a ques- tão. Desta forma, demonstram pouca compreensão da situação matemática em estudo.

Deste modo observamos que não entenderam o conteúdo anteriormente estudado – sequências e regularidades.

A resposta do grupo Ro foi:

Notei que este grupo não entendeu a disposição dos palitos em cada figura, apesar de ter inicialmente apresentado em lista, a quantidade de palitos das várias figuras da sequência.

Este grupo revela que não assimilou as questões iniciais da tarefa, visto que, não interligou a informação que foi adquirindo ao longo das várias questões formuladas, e isto acontece com facilidade, uma vez que, os alunos não realizam a tarefa com atenção crítica e, principalmente, não retêm a informação que já foi trabalhada na resolução das questões anteriores.

O grupo Ro ao tentar resolver esta questão (como se pode observar acima), está a desenvolver pensamento matemático, de modo particular, o pensamento algébrico.

Este grupo efetuou raciocínio matemático, ao procurar entender o sentido da sequência, embora, não tenha conseguindo extrapolar para o termo geral da sequência.

Em contrapartida, o grupo J apresentou a seguinte resposta:

Foi evidente que o grupo J entendeu o que estava a acontecer na arrumação dos palitos nas sucessivas figuras, concluindo de forma acertada a quantidade de palitos que fazia parte da cada figura da sequência. Além disso, este grupo aplicou de forma correta as operações aritméticas inversas, revelando entendimento das mesmas, além de ter utilizado corretamente todas as informações, anteriormente fornecidas, sobre a sequência.

Com a resposta do grupo J, apercebemo-nos que este revela ter aprendido a caracte- rística da álgebra formal, ao escrever o termo geral da sequência, revelando mobilização do ”registo algébrico”.

Este grupo revela ainda pensamento matemático, nomeadamente o algébrico, o sen- tido de símbolo matemático, uma vez que, mostra que n representa o número da figura e que a expressão algébrica 3n+1 corresponde à quantidade de palitos da respetiva figura. No momento em que o grupo substitui n por 45 e por 200, descobre qual a figura que terá esse número total de palitos. O grupo mostra facilidade no manuseamento da expressão algébrica, do termo geral de uma sequência, tema que foi abordado anteriormente.

Por último, o grupo demonstra uma aprendizagem significativa das sequências e regularidades, além de revelar facilidade em realizar o “registo algébrico”, a exemplo dos nossos antepassados árabes e hindus e que se perpetua nos povos europeus.

Quanto à questão 4, onde se pretendia que o aluno respondesse de que forma o número de palitos aumenta à medida que o número da ordem da figura aumenta.

Observei que todos os grupos reconheceram o modo como aumentava a quantidade de palitos nas sucessivas figuras, revelando entendimento da regularidade da sequência. É de referir que, esta questão requeria uma correta visualização de todas e de cada uma das figuras, que constituíam a sequência.

O grupo Ro respondeu a esta questão de seguinte forma:

Figura 10: Resposta do grupo Ro à pergunta 4 da tarefa 1

A apresentação da resposta do grupo Ro não está na forma mais completa, contudo o grupo constatou a correta relação do aumento do número de palitos de figura para figura.

Com esta resposta, é visível que os alunos, por vezes, sabem a solução, contudo, têm dificuldade em escrevê-la, pois não encontram a melhor forma de a redigir.

Nota-se que este grupo utilizou apenas o “registo na língua natural” para descrever a relação entre as variáveis.

Já o grupo R apresenta a sua resposta utilizando o “registo na língua natural” e o “ registo geométrico”:

Figura 11: Resposta do grupo R à pergunta 4 da tarefa 1

Analisando a questão 5, onde se pretendia saber a diferença entre os dois termos consecutivos da sequência do contorno dos retângulos, observei que os alunos apresenta- ram várias dificuldades na perceção da pergunta, uma vez que estes revelaram pouca com- preensão da expressão “contorno da figura”. Por este motivo, fui chamada pelos vários grupos a fim de os esclarecer a pergunta, clarificando o sentido da expressão já menciona- da.

Rub: Profª, não percebo esta questão? Profª: O que diz a pergunta? [Profª leu] Rub: Não percebo nada Profª.

Profª: O que é o contorno da figura? Rub: Ah! Já sei… é à volta…

Profª: Estás a ver como sabes! Sendo assim, como vão responder à questão!?

[A professora envolveu todo o grupo na resolução da pergunta]

Rub: Temos que contar os palitos à volta da figura. Profª: Exato! Continuem a explorar.

Com este diálogo constata-se que, por vezes, as questões/dúvidas dos alunos, não são necessariamente matemáticas, mas, acima de tudo, relacionadas com lacunas associa- das à leitura e interpretação do enunciado. Além disso, demonstram muita insegurança matemática, pois têm medo de errar, não querendo escrever as suas respostas, sem antes terem a certeza, de que estão no caminho correto.

Averiguei que os grupos avançavam, apenas depois de eu lhes ter ouvido e orienta- do um pouco mais. Assim que o grupo esclareceu as dúvidas apresentadas, passava para a elaboração da resposta. Tentando construir uma resposta simples, apresentada com esque- mas, ou mais complexa, utilizando a linguagem formal da matemática.

O grupo R apresenta a seguinte resposta:

Figura 12: Resposta do grupo R à pergunta 5 da tarefa 1

O grupo R revela raciocínio lógico, uma vez que associa bem o número da figura à quantidade de palitos, além de apresentar pensamento matemático, no entanto, não apre- sentou a informação na tabela de forma completa, faltando a identificação de cada linha e a resposta final.

A apresentação de respostas incompletas é muito frequente, uma vez que se consta- ta que os alunos iniciam a construção correta das respostas, no entanto, não estão despertos para a forma completa de as expor.

Pela elaboração da tabela, verifica-se que o grupo R entendeu a sequência do núme- ro de palitos do contorno das figuras, no entanto precisaram de escrever todos os termos até chegar ao pretendido. Não conseguiram efetuar a relação com a expressão algébrica, revelando pouca desenvoltura ao nível de pensamento algébrico, ficando o grupo apenas pelo cálculo aritmético do número de palitos para todas as figuras da sequência.

É a constatação de que os alunos expressam-se muito melhor na forma aritmética do que na forma algébrica.

Verifica-se que o sentido de símbolo não está ainda desenvolvido neste grupo, pois não visualizaram a relação entre o aumento do número de palitos, com o número da figura, revelando pouco pensamento algébrico.

Já o grupo I necessitou de recorrer ao “registo geométrico” a fim de responder a esta pergunta, como se apresenta a seguir.

O grupo desenha todas as figuras pedidas e responde à primeira questão de forma errada, pois não observou bem o que era o contorno das várias figuras, já à segunda ques- tão, o grupo esquematizou, novamente de forma errada, mas respondeu corretamente a esta questão:

Figura 13: Resposta do grupo I à pergunta 5 da tarefa 1

Este grupo revela que ainda não domina a linguagem algébrica, daí ter a necessida- de desenhar todas as figuras, mobilizando deste modo o “registo em língua natural” e o “ registo geométrico”, embora não tenha entendido na totalidade a expressão “contorno da figura”.

Quanto à questão 6, pretendia-se que os alunos encontrassem a figura que tivesse 84 palitos no contorno. O grupo R expôs uma resposta correta, escrevendo a operação inversa e utiliza o “registo geométrico” para esboçar a figura em causa:

Figura 14: Resposta do grupo R à pergunta 6 da tarefa 1

O grupo demonstrou o à vontade para trabalhar com as operações aritméticas inver- sas, além de saber elaborar esquemas, respondendo de forma completa à questão.

Com a cooperação de todos os elementos do grupo, o grupo R elabora respostas completas.

Figura 15: Resposta do grupo Mi à pergunta 6 da tarefa 1

Este grupo revela não ter entendido a arrumação dos palitos no contorno dos vários retângulos, que compõem a sequência, contudo manifesta dificuldade em realizar a opera- ção aritmética inversa.

A compreensão das sequências e regularidades exige, além de uma boa observação das figuras geométricas desenhadas, um bom entendimento algébrico, para além de ser necessário interiorizar o sentido de símbolo matemático, uma vez que facilita no sentido da evolução das várias figuras da respetiva sequência.

Na questão 7, pretendia-se saber qual a diferença entre dois termos consecutivos da sequência do número de palitos do contorno das figuras. Gerou-se novamente dúvidas jun- to dos alunos, nomeadamente o termo matemático “diferença”, uma vez que houve grupos que pediram-me ajuda no esclarecimento deste termo. Uns grupos entenderam que era a diferença entre o número total dos palitos das figuras e não os do seu contorno, conduzindo a uma resposta errada, enquanto outros responderam de forma correta, pois compreende- ram a questão.

Por exemplo, o grupo R apresentou a seguinte resolução:

Figura 16: Resposta do grupo R à pergunta 7 da tarefa 1

Este grupo R revela ter compreendido o que era pedido, embora tenha necessitado de elaborar um esquema para justificar a sua resposta. O grupo mostra entendimento da

pergunta e conhecimento da linguagem matemática, utilizando na sua resposta o “registo na língua natural”, visto que não dominam a linguagem algébrica.

O grupo Ma apresenta a seguinte resposta:

Figura 17: Resposta do grupo Ma à pergunta 7 da tarefa 1

Este grupo revelou ter entendido a questão que lhes foi colocada, e consequente- mente a sequencia apresentada, embora não se expresse com clareza na sua resposta.

Com esta questão, constatei que os alunos oscilam na sua concentração, colocando em causa toda a interpretação construída desde o início da resolução da tarefa. Observei que os alunos respondem às questões, mas não as relacionam, não utilizam a informação já adquirida nas questões anteriores.

Na questão 8, pretendia-se que os alunos respondessem qual era a relação entre o número de palitos do contorno e o número de quadrados que compõem a respetiva figura. Saliento que não houve nenhum grupo que tivesse respondido corretamente a esta questão.

No entanto, o grupo R manifestou ter entendido o aumento dos palitos no contorno das figuras, escrevendo parte da expressão do termo geral da sequência, embora não fosse pedido.

O grupo R manifesta raciocínio matemático e pensamento algébrico, uma vez que relacionou as variáveis pretendidas, embora não tenha chegado à resposta totalmente corre- ta, mas iniciou, e bem, a sua resolução. O grupo demonstra o sentido de símbolo matemáti- co, pois iniciou a escrita da expressão do termo geral da sequência em causa, revelando