As Teses: Temas, Problematizações e Potenciais Didáticos

Tese 1: A Obra “De Triangulis Omnimodis Libri Quinque” de Johann Müller Regiomantanus (1436 – 1476): Uma Contribuição para o Desenvolvimento da Trigonometria

O objeto de estudo desta tese foi A Obra “De Triangulis Omnimodis Libri Quinque”, de Johann Müller Regiomantanus (1436 – 1476): Uma Contribuição para o Desenvolvimento da Trigonometria e foco temático a História da Trigonometria. A pesquisa foi bibliográfica, tendo sido utilizada, para tradução em Português, uma versão em inglês de Barnabas Hughes de 1967, na qual se encontra o trabalho original em latim, porém algumas dúvidas foram tiradas diretamente da obra original, como algumas demonstrações e algumas figuras.

Quadro 59: Descritores de análise da Tese 1 – Ensino Médio

Título: A Obra “De Triangulis Omnimodis Libri Quinque” de Johann Müller

Regiomantanus (1436 – 1476): Uma Contribuição para o Desenvolvimento da Trigonometria

Autor (a): Ana Carolina Costa Pereira Orientador (a): Bernadete Barbosa Morey Ano de defesa: 2010

Instituição onde foi defendida: Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Abordagem: Vida e Obra de Matemático e Desenvolvimento de suas Ideias

Matemáticas

Conteúdo Principal Focalizado: Trigonometria (Conhecimentos algébricos)

Conteúdos Secundários Mobilizados: Geometria Plana, Geometria Espacial,

Aritmética e Equações Algébricas

Resumo:

A trigonometria, ramo da matemática relacionada com o estudo de triângulo, desenvolveu-se a partir de necessidades práticas, principalmente ligadas à Astronomia, Agrimensura e Navegação. Johann Müller Regiomantanus (1436 – 1476) matemático e astrônomo do século XV, desempenhou um importante papel para o desenvolvimento dessa ciência. Sua obra intitulada De Triangulis Omnimodis Libri Quinque escrita por volta de 1464, e publicada postumamente em 1533, apresenta a primeira exposição européia sistemática de Trigonometria Plana e Esférica, num tratamento independente da Astronomia. No presente estudo apresentaremos a descrição, a tradução e a análise de alguns aspectos desta importante obra da História da Trigonometria. Para tanto, a tradução foi realizada a partir de uma versão do livro Regiomontanus on Triangles de Barnabas Hughes de 1967. Nele, encontra-se o trabalho original em latim e uma tradução em inglês. Para este estudo, utilizamos, para a maior parte da nossa tradução em português, a versão em inglês, porém algumas dúvidas de enunciado, demonstração e figuras foram feitas com base do original em latim. Nessa obra, podemos perceber que a Trigonometria é abordada como um ramo da Matemática subordinado à Geometria, isto é, voltada para o estudo dos triângulos. Regiomontanus fornece um grande número de teoremas originais como a fórmula trigonométrica para a área de um triângulo. Usa Álgebra para resolver problemas geométricos e principalmente mostra o primeiro teorema prático para a lei dos Cossenos na Trigonometria Esférica. Assim, este estudo mostra um pouco do desenvolvimento da Trigonometria no século XV, principalmente no que diz respeito a alguns conceitos como seno e cosseno (seno reverso), exposto na obra analisada. É de suma importância para a linha de pesquisa em História da Matemática, mais especificamente na área de análise histórica e crítica de fontes literárias ou no estudo da obra de um matemático particular.

Fonte: Elaboração própria, com base na leitura da tese de Pereira (2010).

O objetivo geral desta pesquisa foi realizar uma tradução comentada e anotada do livro “De Triangulis Omnimodis Libri Quinque”, impresso em 1533, cujo autor é Johann Müller Regiomantanus, personagem de grande importância no cenário do século XV. A tese consta de quatro objetivos específicos: 1) Apresentar a versão geral da história da trigonometria; 2)

Situar Regiomontanus no contexto do desenvolvimento da trigonometria; 3) Colocar à disposição da comunidade de Educadores e Historiadores brasileiros o texto De Triangulis Omnimodes Libri Quinque, traduzido para o português como cinco livros de todos os tipos de triângulos; 4) Destacar as contribuições de Regiomantus e de sua obra De Triangulis para o desenvolvimento da trigonometria.

A tese foi dividida em três capítulos. O primeiro deles aborda um pouco da História da Trigonometria, antes do século XV, referindo-se ao nascimento da trigonometria para uso na Astronomia, a Trigonometria das cordas e semicordas, a expansão da Trigonometria e as funções trigonométricas e o surgimento da Trigonometria como ciência independente na Europa.

No primeiro capítulo desta tese, já foram apresentados pelo autor conteúdos matemáticos. Na parte que se refere à Trigonometria das cordas, Pereira (2010) apresenta como é possível, por meio de raciocínio geométrico, estabelecer a equivalência entre conceito de comprimento de corda de um ângulo central e o seno da metade deste mesmo ângulo, baseando-se nesta equivalência para argumentar que a tabela de cordas de Ptolomeu é uma tabela trigonométrica. Vejamos a figura a seguir:

Figura 13: Equivalência entre Seno e corda, retirado da tese de Pereira (2010, p. 15)

Seguindo esse raciocínio, apresentou-se, em forma de quadro, uma tábua de cordas com vários ângulos. Segundo Pereira (2010), Ptolomeu utilizou alguns ângulos para calcular essas cordas, fazendo a relação com os lados de polígonos regulares inscritos. Exemplos: crd36° é o lado do decágono inscrito; crd60° é o lado do hexágono inscrito; crd72° é o lado

do pentágono inscrito; crd90° é o lado do quadrado inscrito; crd120° é o lado do triângulo equilátero inscrito. Para isso, ele apresenta a construção desses polígonos e a determinação do comprimento do lado desses polígonos, utilizando o que ele chamou de parte (p), ou seja, 1/120 do comprimento do diâmetro da circunferência. A medida usada para o arco foi o grau (1/360 da circunferência completa). Para expressar as subdivisões dos comprimentos das cordas, Ptolomeu lançou mão do sistema sexagesimal.

Quadro 60: Tábuas com Cordas de alguns Ângulos

Ângulo Corda 36° 37p 04 ‘55” 60° 60p 72° 70p 32’ 03” 90° 84p 51’ 10” 108° 97p 04’ 56” 120° 103p 55’ 23” 144° 114p 07’ 37” 180° 120p

Fonte: Morey (2001, p. 36 apud PEREIRA, 2010p. 16)

É um conteúdo possível de fazer uma adaptação para o Ensino Médio, relacionando a geometria plana e a trigonometria, comparando o comprimento da corda com os polígonos regulares inscritos. Nesta atividade, o professor pode fazer uso da tecnologia de software, como, por exemplo, geogebra, sempre fazendo a conexão da forma com que Ptolomeu calculava, com a forma que podemos calcular na atualidade.

Ainda neste capítulo, a autora faz um estudo do surgimento das funções trigonométricas através da meia-corda usada pelos indianos, para quem o comprimento da meia-corda do ângulo central representava o seno. Pereira apresenta a demonstração do seno e do cosseno indianos e mostra uma tabela com vários senos e cossenos de diversos ângulos diferentes. Achamos essa parte do trabalho propícia para utilização no Ensino Médio, incluindo as informações históricas contidas na tese, que podem ser utilizadas para introduzir o conceito de funções trigonométricas em sala de aula, pois foram retratados, nesta parte da tese de Pereira, conteúdos de trigonometria que geralmente são pouco trabalhados em sala de aula e que os alunos possuem dificuldades quando estão aprendendo. É o caso das fórmulas do arco metade, soma e subtração de arcos. Com esses conteúdos sendo abordados de forma

diferenciada, com o uso da história, poderá ser um recurso favorável à construção dessas noções matemáticas. Segundo Mendes (2009), as atividades que ele desenvolveu em sala de aula a partir de informações históricas, com estudantes do Ensino Médio, fizeram com que eles olhassem a trigonometria sob outro ponto de vista que não fosse aquele exclusivamente matemático.

Continuando, Pereira (2010) mostra a expansão da Trigonometria por intermédio dos árabes, com o desenvolvimento das seis funções trigonométricas básicas, algumas identidades trigonométricas que envolvem o seno e a construção de tábuas trigonométricas. Também temos demonstração de Leis do Seno, em que Pereira (2010), demonstra a Lei dos Senos, relacionando a trigonometria com os conceitos de Geometria Plana referentes a propriedades de circunferências. Vejamos a figura que ele usa para demonstração:

Figura 14: Lei dos Senos para triângulos agudos e obtusângulos, retirados de Pereira (2010, p. 23).

Vejamos a demonstração:

Seja ABC, na figura anterior, os triângulos dados, acutângulo e obtusângulo. Trace AE perpendicular a BC. Prolongue AB e AC de modo que AF = AD = 60 = R. Descreva o arco DH. Trace FK e TD perpendicular a AH. No triângulo ABE, o ângulo E sendo um ângulo reto, B será o complemento de A; DT = senA; AT = senB. No triângulo AEC, FK = senA; KA = senC. Devido à semelhança dos dois triângulos ABE e ADT, temos:

Devido à semelhança dos dois triângulos AEC e AKF, é possível deduzir a afirmação: B sen AT C sen AK AC AB    (PEREIRA, 2010, p. 23).

No segundo capítulo, apresenta-se a biografia de Johann Müller Regiomantanus, usando como referência o livro: Regiomantanus: His Life and Work, de Ernst Zinner.

No terceiro capítulo, é feita a descrição da obra De Triangulis Omnimodis Libri Quinque, de Johann Müller Regiomantanus, seguida dos comentários. Essa obra é dividida em cinco livros, com os dois primeiros voltados para Trigonometria plana, enquanto os três últimos abordam Trigonometria esférica. O capítulo foi dividido em três momentos: 1) Descrição do livro; 2) Notas explicativas sobre a tradução em Português e 3) Comentários da obra estudada. O foco desta terceira parte do capítulo é responder ao problema de pesquisa: Como Johann Müller Regiomontanus aborda a trigonometria em sua obra “De Triangulis Omnimodis Libri Quinque”? E, assim, atender o objetivo de pesquisa. Em suas notas explicativas, Pereira aborda algumas informações que serão necessárias na leitura da tradução da obra. No terceiro tópico do livro, nos Comentários da obra estudada, foram escolhidos alguns exemplos em que foi feita, além da tradução, a análise e discussão dos teoremas. Provavelmente, Pereira não analisou e comentou todos os teoremas, devido à grande quantidade. Só no primeiro livro, são cinquenta e sete teoremas demonstrados. Mas, em anexo, consta a tradução de todos os cinco livros. Segundo Pereira:

No Primeiro Livro, os teoremas do 1 ao 19, trata-se basicamente dos conceitos de grandezas ou magnitudes e razões. Dos teoremas 20 a 57, propõem-se soluções geométricas para triângulos retângulos, isósceles e escalenos, porém dos teoremas 20, 27 e 28 são exceção, pois usam explicitamente o seno de um ângulo. Vale ressaltar que o teorema 20 mostra a definição do seno. (PEREIRA, 2010, p. 68).

A dinâmica utilizada por Regiomontanus era apresentar o teorema, esquematizar e, em seguida, demonstrar.

No segundo livro, é o início do estudo da Trigonometria Plana. O primeiro exemplo trazido pelo autor é o Teorema da Lei dos Senos. Segundo Pereira (2010), há uma forte presença de métodos algébricos em alguns teoremas. Um aspecto de relevância no livro de Regiomontanus é o fato de ele deixar evidente, nas suas demonstrações, que só usa de artifícios algébricos quando não tem como fazer as demonstrações de forma geométrica. Vamos confirmar isso, mostrando o Teorema 12, do livro 2, apresentado na tese de Pereira:

Teorema 12: Se a perpendicular é dada e a base e a razão dos lados são conhecidas,

cada lado pode ser encontrado.

Esquematizando...

Este problema não pode ser provado neste momento através de meios geométricos, mas vamos nos empenhar para realizar isto pela arte da álgebra. Assim, se _ABG