Como vimos no capítulo 2, a ação unitária de qualquer grupo de Lie compacto no espaço de Hilbert nos permite decompô-lo numa soma direta dos chamados chamados setores de carga, que carregam representações inequivalentes do grupo. No caso do grupo U (1) esses setores não precisam ser novamente decompostos nos chamados subespaços virtuais de gauge e de multiplicidade, pois uma vez que as representações irredutíveis desse grupo são unidimensionais o subespaço de gauge será trivial e pode ser desconsiderado. Dessa forma, na nossa análise por setor de carga HMiv do espaço de Hilbert total HS⊗
HR = LM =mS+mRHM podemos nos ater a formulação mais simples das médias global
(Eq. (2.14), sendo que aqui como estamos interessados em um sistema bipartido, temos
ivTrocamos a notação de n (vide capítulo2) para M porque, enquanto antes queríamos descrever
um referencial de fase em termos do número de fótons, agora estamos interessados em um sistema relógio que será descrito fisicamente pelos autoestados do momento angular total Jz,
conforme fizemos no capítulo anterior. Vale reforçar que ambos os casos são semelhantes e descritos pelo grupo U (1).
G(ρSR) = PM ΠMρSRΠM, em que ΠM = PM =mS+mRΠmS ⊗ ΠmR) e local (Eq. (3.60))
que utilizamos nos capítulos 2 e 3, respectivamente, para mostrar a equivalência entre as medidas assimetria compartilhada e coerência interna. Substituindo-as na equação da assimetria compartilhada, teremos
A(sh)G⊗G(ρSR) = S X mS,mR (ΠmS ⊗ ΠmR)ρSR(ΠmS ⊗ ΠmR) ! − S X M X (mS1+mR1), (mS2+mR2)=M ΠmS1 ⊗ ΠmR1 ρSR ΠmS2 ⊗ ΠmR2 (4.20)
Como queremos estudar o caso mais geral possível, consideraremos tanto o estado do sistema S quanto o do referencial R dados por um Hamiltoniano do tipo H =Pd−1
m=0m |mi hm|, de
forma que, expandindo o estado global ρSR na mesma base do Hamiltoniano obteremos
ρSR =
d−1
X
mS1,mR1,mS2,mR2=0
cmS1,mR1,mS2,mR2|mS1, mR1i hmS2, mR2| . (4.21)
Substituindo essa forma do estado na equação anterior e aplicando as projeções, ficaremos com A(sh)G⊗G(ρSR) = S X mS1,mR1 cmS1,mR1|mS1, mR1i hmS1, mR1| − S X M X (mS1+mR1), (mS2+mR2)=M cmS1,mR1,mS2,mR2|mS1, mR1i hmS2, mR2| (4.22)
Podemos ver que enquanto o argumento da segunda entropia de von Neumann está escrito em termos do setor de carga HM, como desejamos, o da primeira está escrito em termos
dos setores de carga locais HmS e HmR, dos espaços de Hilbert HS e HR, respectivamente.
Como todo estado simétrico localmente é também simétrico globalmente, ao menos quando G = U (1), ou seja GG(GG⊗G(ρSR)) = GG⊗G(ρSR) → D(∆(ρSR)) = ∆(ρSR) (pois a operação
de defasagem completa, ∆, torna o sistema um estado diagonal enquanto que a operação de defasagem global D, torna o sistema um estado bloco diagonal, ambos numa mesma base), podemos projetar o argumento da primeira entropia em termos dos setores de carga HM. Isso nos levará a
A(sh)G⊗G(ρSR) = S X M X mS1+mR1=M cmS1,mR1|mS1, mR1i hmS1, mR1| − S X M X (mS1+mR1), (mS2+mR2)=M cmS1,mR1,mS2,mR2|mS1, mR1i hmS2, mR2| (4.23)
Usando que a soma de mS e mRsempre deve ser igual a M , faremos a seguinte mudança de
rótulo nos estados acima: |mS, mRi → |mS, M − mSi, o que consequentemente nos levará
a alterar também o somatório que acopla os índices m. Com essas alterações, denotemos
ρunMv ≡ M X mS1,mS2=0 cmS1,mS2|mS1, M − mS1i hmS2, M − mS2| (4.24) e ρunM0 ≡ M X mS1=0 cmS1 |mS1, M − mS1i hmS1, M − mS1| (4.25)
É fácil ver que esses são estados não normalizados, uma vez que só o sistema ρSR é
normalizado, mas não seus setores de carga. Entretanto, podemos normalizar esses es- tados multiplicando ambos por Tr(ρunM)
Tr(ρunM), uma vez que Tr(ρ
un
M) = Tr(ρun
0
M ). Fazendo isso e
substituindo na Eq. (4.23), teremos
A(sh)G⊗G(ρSR) = S X M Tr(ρunM)ρ0M ! − S X M Tr(ρunM)ρM ! (4.26) em que ρ0M ≡ ρun0M Tr(ρun M) e ρM ≡ ρun M Tr(ρun M)
. Usando agora a propriedade da entropia de von Neumann de que S (P
ipiρi) = H(pi) + PipiS(ρi), (36) podemos reescrever a equação
acima da seguinte forma
A(sh)G⊗G(ρSR) = X M Tr(ρunM) (S(ρ0M) − S(ρM)) (4.27) = X M Tr(ρunM) A(sh)G⊗GM(ρM) (4.28)
sendo que da primeira para a segunda equação usamos que GG⊗G(ρ0M) = ρ0M e GG(ρM) =
ρM.
Chegamos aqui ao ponto em que queríamos. Escrevendo a assimetria compartilhada do sistema ρSRcomo um somatório das assimetrias compartilhadas de seus estados internos
ρM pertencentes aos setores de carga HM, podemos enunciar o seguinte teorema
Teorema. Seja a assimetria compartilhada para G = U (1) dada por (4.28), teremos que:
A(sh)G⊗GM(ρM) = ER(ρM) (4.29)
em que ER(ρ) = minσ∈SEPS(ρ k σ), sendo SEP o conjunto de todos os estados separáveis,
é a Entropia Relativa de Emaranhamento. Portanto,
A(sh)G⊗G(ρSR) =
X
M
Tr(ρunM)(ER(ρM)) (4.30)
Demonstração: Um conhecido resultado na área da informação quântica, em especial nos estudos de quantificadores de emaranhamento, é o chamado Teorema de Vedral-Plenio. (45) Tal teorema demonstra que, a entropia relativa de emaranhamento de qualquer estado
bipartido puro ρ = P
n1,n2 √
cn1cn2|φn1, ψn1i hφn2, ψn2| é igual a entropia de reduzida de von Neumann do mesmo estado, dada por E(ρ) = −P
npnln pn. Para fazer essa demonstração,
Vedral e Plenio provam que o estado separável mais próximo de ρ que minimiza a entropia relativa é justamente a sua versão diagonal, ou seja, ρ0 =P
n cn|φn, ψni hφn, ψn|. Utilizando
algumas versões estendidas desse teorema, duas delas demonstradas no Apêndice B, é possível mostrar que para algumas classes de estados mistos, incluindo o tipo ρ =
N
P
n1,n2=0
cn1,n2|n1; N − n1i hn2; N − n2|, o estado separável mais próximo é o estado diagonal ρ0 = PN
n1=0
cn1|n1; N − n1i hn1; N − n1|. Como esse é o caso de ρM e ρ
0
M isso comprova assim
a Eq. (4.29) e por consequência a Eq. (4.30).
A esse emaranhamento daremos o nome de emaranhamento interno, uma vez que consiste em um emaranhamento dos estados ρM ∈ HM que chamamos de estados
internos do sistema ρSR. O curioso desse resultado é que esse tipo de emaranhamento
pode aparecer mesmo que o estado ρSR em si seja separável. Para exemplificar, vejamos o
estado Bell-Diagonal de dois q-bits da Eq. (3.29), para c3 = 0 e após a aplicação da média
global (ou G-twirling global)
G(ρSR) = 1 4 1 0 0 0 0 1 c1+ c2 0 0 c1+ c2 1 0 0 0 0 1 . (4.31)
Como a Ref. (14) demonstra, esse é um estado separável. Entretanto, ao calcularmos a assimetria compartilhada (ou coerência interna) dele a partir da Eq. (4.30), teremos
A(sh)G⊗G(ρSR) =
1 + c1 + c2
4 log(1 − c1− c2) +
1 − c1− c2
4 log(1 − c1− c2), (4.32) ou seja, a assimetria compartilhada é não-nula e dada justamente pelo único termo com entropia relativa de emaranhamento diferente de zero, que no caso é o termo correspondente ao estado ρM do setor de carga M = 1, visualizado na matriz densidade acima como o
bloco central a menos de uma constante de normalização.
A partir do teorema podemos agora revisitar alguns resultados prévios da literatura interpretando-os sob a ótica do conceito de emaranhamento interno:
• Emaranhamento e o mecanismo de Page-Wootters: Como vimos no capítulo3, apesar de por muito tempo ter-se propagado a ideia de que o recurso responsável pelo funcionamento do mecanismo de Page-Wootters seria o emaranhamento, recentemente (14) mostrou-se que tal recurso não é necessário e nem suficiente para o mecanismo
funcionar, ao menos quando levamos em consideração o estado físico ρSR e não o
vetor físico |SRi. Entretanto, uma vez que também foi mostrado (10) que o conceito de coerência interna é equivalente ao de assimetria compartilhada no caso de dois q-btis (para G = U (1)), sendo essa última uma medida mais geral aplicável a q-dtis, utilizando o teorema podemos ver que, ao menos matematicamente, um tipo de emaranhamento interno presente nos estados ρMSR continua sendo fundamental para
o mecanismo pois é equivalente aos conceitos de assimetria compartilhada e coerência interna do estado físico ρSR.
• Trabalho extraído da coerência interna: Foi mostrado (39) que dado um sistema N -partido com subsistemas não interagentes do tipo:
ˆ ρ = X
E,E0
ρE,E0|Ei hE0| , (4.33)
em que E = (E1, E2, ..., EN) e |Ei = |E1, E2, ..., ENi, sendo a energia total EE =
N
P
i=0
Ei, o trabalho que pode ser extraído da coerência interna do sistema, ou seja os
termos com mesma energia total EE, é igual a
Wcoh = infα[Fα(D(ˆρ)) − Fα(∆(ˆρ))]
≤ F (D(ˆρ)) − F (∆( ˆρ))
= kBT [S(∆( ˆρ)) − S(D( ˆρ))] (4.34)
em que F (ρ) = hE(ρ)i−kBT S(ρ) é a energia livre de Helmholtz, Fα(ρ) = kBT Sα(ρkγ)−
kBT log Z é a energia livre de Helmholtz generalizada a partir de Sα(ρkγ), a di-
vergência de Rényi (46), D(ˆρ) = P
EΠˆEρ ˆˆΠE e ˆΠE = PE:EE=EΠˆE é o projetor no autoespaço de energia total E , que corresponde ao setor de carga da ação do grupo U (1) visto como um grupo de translação temporal. vi Conforme percebido na Ref.
(14), trazendo esse mecanismo para o contexto onde ˆρ é um sistema bipartido de q-bits podemos quantificar a cota superior do trabalho extraído usando a medida de coerência interna, assim:
W (ρ) ≤ kBT Cr(D(ˆρ)) (4.35)
É possível ainda estender essa relação para casos onde ˆρ é um sistema bipartido de q-dits. Fazendo uso da notação da assimetria compartilhada e aplicando o teorema, ficaremos com W (ρ) ≤ kBT A (sh) G⊗G(ˆρ) = kBT " X M Tr(ρunM)ER(ρM) # (4.36) O que nos mostra que extrair trabalho de coerência interna, ao menos para siste- mas bipartidos, está relacionado a ideia de extrair trabalho do que chamamos de emaranhamento interno.
viA operação D é exatamente a mesma que definimos na Eq. 2.14para sistemas multipartidos na
• Assimetria compartilhada de estados com hiato: Conforme mostramos na primeira seção deste capítulo, um caso interessante da assimetria compartilhada é quando a calculamos usando sistema bipartido do tipo: estado de máxima verossi- milhança versus q-bits com hiato. O valor da medida varia de zero até a saturação de acordo com a variação da dimensão do hiato, de d − 2 a zero, respectivamente, conforme d → ∞. Argumentamos que a razão pela qual isso acontece está ligada ao número de blocos da matriz densidade, porém sem a princípio compreendermos bem o que estaria por trás disso. Em posse agora do teorema, podemos fazer uma interpretação desse caso em relação a entropia relativa de emaranhamento dos estados ρM dos setores de carga. Se pensarmos nos casos extremos |ψSi = √1dPd−1mS=0|mSi
e |ψRi = √12(|0i + |d − 1i) em que A(sh)G⊗G(ρSR) → 0 e |ψSi = √1dPd−1mS=0|mSi e
|ψRi = √12(|0i + |1i) em que A
(sh)
G⊗G(ρSR) → 1, o primeiro tem apenas um ρM ema-
ranhado (maximamente, nesse caso) e o restante são todos estados separáveis, já o segundo tem d − 1 estados emaranhados (também maximamente) e apenas dois estados separáveis. Isto nos leva a crer que o número de estados emaranhados ρM
que ρSR possui, em relação ao número total de estados ρM, está diretamente ligado
ao valor da assimetria compartilhada de ρSR.
Além dessas interpretações, podemos também utilizar o resultado dado na Eq. (4.30) do teorema para estender um importante resultado da Ref. (10) que vimos no
capítulo3: a determinação de limites superiores para a assimetria mútua de estados ρSR
separáveis. Recapitulando, o lema 2 da Ref. citada diz que a assimetria mútua desses estados sempre satisfará os seguintes limites
0 ≤ A(S : R) ≤ min{AG(ρS), AG(ρR)} (4.37)
Uma vez que a assimetria mútua e a assimetria compartilhada são equivalentes para estados produto, esses limites também são válidos para a assimetria compartilhada desses estados. Usando o teorema, porém, podemos mostrar que limites semelhantes são válidos também para a assimetria compartilhada considerando estados gerais bipartidos, incluindo dessa forma estados mistos, emaranhados e mistos emaranhados, o que nos permitirá encontrar novos estados que saturam o limite além daqueles apresentados na primeira seção deste capítulo. Esse resultado enunciaremos na forma de um lema.
Lema. A assimetria compartilhada de um estado ρSR qualquer, para G = U (1), satisfará
os seguintes limites
0 ≤ AshG⊗G(ρSR) ≤ min{log(dimHS), log(dimHR)} (4.38)
Demonstração: O limite inferior é trivial, pois uma vez que a assimetria comparti- lhada é dada por uma combinação linear positiva de entropias relativas de emaranhamento,
como tais entropias são sempre maiores ou iguais a zero, por consequência o mesmo pode ser dito a respeito da assimetria compartilhada (além do que, já havia sido demonstrado na Ref. (9)). Já para o limite superior, separaremos em dois casos, o trivial e o não-trivial. Comecemos maximizando a assimetria compartilhada
máx{AshG⊗G(ρSR)} = S(GG⊗G(ρSR)) − min{S(GG(ρSR))} = máx ( X M Tr(ρunM)(ER(ρM)) ) (4.39) i) Caso trivial.
Podemos ver que qualquer estado ρSR puro e maximamente emaranhado que seja
invariante sob a ação de G maximizará Ash
G⊗G, uma vez que o último termo a direita
da equação acima será zero. Como resultado, obteremos log(dimHS) = log(dimHR),
o que é concordante com o lema. Esse já era um resultado esperado, uma vez que, trabalhando com a coerência interna na análise do mecanismo de Page-Wootters, na Ref. (14) já havia sido demonstrado que, no caso de sistemas Bell-diagonais de dois q-bits, o estado |ψ+i = (|01i + |10i)/√2, que é um estado maximamente
emaranhando invariante com relação a G, consiste no melhor caso possível. Além disso, estados maximamente emaranhados já haviam sido apontados pela Ref. (1) como o melhor caso possível de referenciais internos.
ii) Caso não-trivial.
Para os demais casos, nos concentraremos nas implicações do teorema. Nota-se, em primeiro lugar, que o valor máximo de Ash
G⊗G estará necessariamente ligado a valores
máximos de ER. Isso restringe nossa gama de possíveis ρSR que saturam o limite
superior aqueles que possuem ρM maximamente emaranhados. Dentre esses, aqueles
em que dimHS = dimHR, já constituem o caso trivial. Resta agora analisar os casos
em que as dimensões do sistema S e do referencial R são diferentes, para esses casos consideraremos dimHS ≤ dimHR. Isso significa que visualizando ρSR como matriz
densidade teremos uma matriz bloco diagonal com todas as entradas iguais a um, cuja constante de normalização é equivalente a dimensão de seu espaço de Hilbert HSR e com o bloco de maior dimensão tendo sua dimensão igual a dimensão do
menor espaço de Hilbert, no caso HS, na comparação entre o espaço do sistema
S e do referencial R. Vários exemplos disso podem ser vistos nas primeiras seções deste capítulo, com especial destaque para a subseleção 4.1.2, porém, de forma mais
concreta, observe o sistema abaixo (equivalente ao da Eq. (4.8)) ρSR = 1 d(d − 1) A1 A2 . .. Ad−1 Ad−1 . .. A2 A1 . (4.40)
Veja que de todas as matrizes que constituem os blocos aquela que tem maior dimensão,Ad−1, tem dimensão equivalente ao espaço de Hilbert do sistema |ψSi =
1 √
d−2
Pd−3
mS=0|mSi, justamente por dimHS ≤ dimHR. Tendo isso em mente, podemos
reescrever a 4.39 da seguinte forma
máx{AshG⊗G(ρSR)} = máx ( X M Tr(ρunM)S(GG⊗G(ρM)) ) (4.41) = 1 dimHSR máx ( X M dimHM log(dimHM) ) (4.42)
Para maximizarmos a Eq. (4.42), basta lembrar que, de forma semelhante a essa equação, a entropia de von Neumann de um estado qualquer pode ser escrita como S(ρ) = P
λxλxlog λx e seu valor máximo é atingido justamente quando temos um
estado com todos os autovalores λx iguais. Portanto,
máx{AshG⊗G(ρSR)} =
nMdimHM
dimHSR
log(dimHM) (4.43)
= log(dimHM) (4.44)
em que da primeira para a segunda equação usamos que dimHSR = nMdimHM,
sendo nM o número de setores de carga (blocos na matriz densidade). Por fim,
como todos os blocos tem mesma dimensão, sua dimensão deverá ser igual a de HS,
portanto
máx{AshG⊗G(ρSR)} = log(dimHS) (4.45)
como queríamos demonstrar.
Aproveitando a Eq. (4.40) do lema para exemplificar o caso não trivial, temos que dimHS = d − 1 e dimHS = d. Assim, para essas dimensões ρSRideal saturará a assimetria
compartilhada se tiver o seguinte formato ρSRideal = 1 2(d − 1) 0 0 . .. Ad−1 Ad−1 . .. 0 0 . (4.46)
Vamos supor que d = 4. Nesse caso, temos que A(sh)G⊗G(ρSRideal) = log d − 1 = log 3 ≈ 1.1. Já
para a Eq. (4.40), calculando a assimetria compartilhada com base na Eq. (4.13), temos que A(sh)G⊗G(ρSR) = 1/3 + (1/2) log 3 ≈ 0.9. Como esperado então, A(sh)G⊗G(ρSRideal) > A
(sh)
G⊗G(ρSR).
O interessante desse último caso consiste justamente na determinação de estados ρSR mistos que saturam a assimetria compartilhada e, por isso, constituem em casos ideais
para o funcionamento do mecanismo de Page-Wootters. Chamamos de não-triviais não somente por não serem tão simples de se encontrar, ao contrário do primeiro caso, mas também porque constituem num resultado novo que pode ser explorado em trabalhos futuros não somente dentro do contexto de Page-Wootters como também na área de referenciais quânticos em geral.
5 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
Nesta dissertação investigamos sob a perspectiva de uma teoria de recursos as possíveis medidas informacionais que permitem quantificar referencias quânticos com- partilhados. Tendo como foco o grupo U (1) e sistemas bipartidos, nos concentramos em mostrar a equivalência entre as propostas advindas da teoria de coerência e da teoria de assimetria nesse regime explorando um caso em particular que tem recebido bastante atenção nos últimos tempos: o mecanismo de Page-Wootters. Com ênfase na medida assi- metria compartilhada definida na Ref. (9), seguimos o caminho dos exemplos apresentados na Ref. (10) e estendemos a análise ali feita para casos mais gerais, o que nos levou a propor um teorema que relaciona a medida de assimetria compartilhada com uma soma de entropias relativas de emaranhamento do que chamamos de estados internos, pertencentes aos setores de carga do espaço de Hilbert associados a ação do grupo U (1). Com isso, reinterpretamos alguns resultados já presentes na literatura e definimos limites superiores para assimetria compartilhada de estados bipartidos quaisquer, o que em si constituiu em mais uma extensão de um resultado da Ref. (10) onde limites superiores foram definidos somente para o caso de estados produto. Esse último resultado, por sua vez, permitiu que encontrássemos um tipo específico de estado misto que satura a assimetria compartilhada consistindo em um referencial ideal, algo que só havia sido mostrado para sistemas com dimensão muito alta ou que constituem em um estado maximamente emaranhado.
Com base neste trabalho e, em especial, nos resultados obtidos, várias perspectivas para futuras investigações surgiram. Enunciaremos a seguir algumas das principais delas que acreditamos que poderiam ser exploradas fazendo uso de propostas e modelos apresentados por outros artigos da área de referenciais quânticos e da informação quântica de uma maneira geral.
• Utilização de estados que saturam a assimetria compartilhada para pro-
tocolos de comunicação quântica: Na Ref. (22) é apresentado um protocolo de comunicação quântica na ausência de referencias compartilhados em que Alice codi- fica a mensagem que quer enviar a Bob a partir de uma operação do tipo E = G(ρSR),
sendo que a mensagem é dada pelo sistema S, um q-bit, enquanto que o sistema R constitui em uma amostra limitada do referencial de Alice. Bob, ao receber o estado resultante, realiza um procedimento de decodificação para recuperar o sistema e, por consequência, a mensagem original, porém os resultados desse protocolo mostram que isso só pode ser feito com a seguinte probabilidade p = 1
tamanho de R, sendo que o efeito do processo de decodificação pode ser visto como (1 − p)I + pG, em que I é um mapa identidade. Em outras palavras, o grau de fidelidade com que Bob consegue recuperar a mensagem original depende do tamanho do referencial
utilizado por Alice na codificação. Isso condiz com os resultados apresentados no início da capítulo 3, onde vimos que quanto maior a dimensão do sistema referencial, maior é o valor da assimetria compartilhada (quando não há gap). Entretanto, uma vez que encontramos estados que saturam essa medida, é possível que a utilização deles em um protocolo desse tipo seja capaz de aumentar, se não até saturar, o grau de fidelidade com que o processo de decodificação é realizado. Além disso, uma vez que os autores da Ref. (22) se concentraram apenas em estados onde o sistema S é um q-bit, seria interessante estender essa análise para sistemas do tipo q-dit. • Extensão da medida assimetria compartilhada para o caso de sistemas
multipartidos: Todos os resultados aqui apresentados se aplicam ao caso de sistemas
bipartidos. Entretanto, uma questão natural que surge é a possibilidade de extensão da medida para o caso de sistemas multipartidos e simetrias de calibre i. Com o
objetivo de contornar a complexidade de um sistema desse tipo, um caminho possível seria utilizar técnicas da teoria de calibre para regular graus de liberdade que sejam redundantes. Com isso, é possível que A(sh)G⊗G possa ser vista como uma medida do grau de correlação entre o sistema e um campo de calibre, conforme proposto na Ref. (10) De fato, alguns trabalhos já tem utilizado teoria de calibre para descrever processos e referenciais quânticos, como por exemplo as Refs. (47, 48)
• Estudo das operações proibidas que podem ser ativadas a partir do re-
curso quantificado pela assimetria compartilhada: Como dissemos quando
apresentamos uma visão geral das teorias de recursos no capítulo 3, um dos pontos interessantes que é bastante característico dessa abordagem é que, uma vez que se tenha acesso a um estado que num dado contexto físico possa ser visto como um recurso, podemos utilizá-lo para realizar operações que em princípio seriam proibidas pelo contexto. O exemplo mais comum é a utilização de estados emara- nhados compartilhados entre duas partes distantes numa situação em que estão limitadas a operações locais e comunicação clássica (LOCC) como recurso para a realização de comunicação quântica. Pensando de maneira análoga sobre o recurso quantificado por A(sh)G⊗Gno contexto de uma regra de superseleção local, podemos nos perguntar: qual a operação proibida que se torna possível ao consumirmos durante o processo um estado quântico ρSR para o qual A
(sh)
G⊗G(ρSR) ≥ 0? Um exemplo
interessante que pode lançar uma luz na questão é a utilização de refbits (ver a Ref. (41)) como unidades de referencial quântico compartilhado para protocolos de ativação de emaranhamento. Estados desse tipo são recursos no mesmo contexto em que estados com assimetria compartilhada maior que zero também são, ou seja, sob a ação de uma regra de superseleção local. Porém, para a ativação de emaranhamento nesse contexto, refbits são tão úteis quanto os chamados ebits (pares de Bell) e,
portanto, se fôssemos quantificar o recurso desses estados teríamos que construir uma medida que retornasse o mesmo valor para ambos. De fato, essa medida já existe e é conhecida como Superselection induced variance (SIV). (49, 50) Porém, isso não acontece quando aplicamos a assimetria compartilhada a esses estados: para refbits o resultado é 1/2 e para ebits é 1. Isso nos mostra que, embora A(sh)G⊗G seja um quantificador de recursos no mesmo contexto em que refbits e ebits são recursos, o recurso quantificado por A(sh)G⊗G não é exatamente o mesmo que o quantificado por SIV. Seria, portanto, interessante investigar qual é esse recurso e quais operações ele nos habilita a fazer.
• Investigação das propriedades dos estados emaranhados tipoB.1ii: Apesar
de bastante semelhantes aos estados correlacionados de Schmidtiii, os estados mistos
emaranhados que apresentamos aqui tem o diferencial de poderem também ser classificados como estados de Werner. (51) Pode-se então, aproveitando as proprie- dades dos estados de Werner, investigar questões como a destilação desses estados, incluindo a possibilidade deles serem não-destiláveis, tipo conhecido como estados emaranhados ligados.iv
iiEstados do tipo: ρ =P
n1,n2cn1,n2|n1, N − n1i hn2, N − n2| (ver Apêndice B).
iiiEstados do tipo: ρ =P
m,nam,n|m, mi hn, n|.
REFERÊNCIAS
1 BARTLETT, S. D.; RUDOLPH, T.; SPEKKENS, R. W. Reference frames,
superselection rules, and quantum information. Reviews of Modern Physics, v. 79, p. 555–609, Apr. 2007. Doi: 10.1103/RevModPhys.79.555.
2 CHITAMBAR, E.; GOUR, G. Quantum resource theories. Reviews of Modern
Physics, v. 91, p. 025001, Apr. 2019. Doi: 10.1103/RevModPhys.91.025001.
3 MARVIAN, I. Symmetry, asymmetry and quantum information. 2012. 237 p. Tese (Doutorado) — University of Waterloo, Waterloo, 2012.
4 BAUMGRATZ, T.; CRAMER, M.; PLENIO, M. B. Quantifying coherence. Physical
Review Letters, v. 113, p. 140401, Sept. 2014. Doi: 10.1103/PhysRevLett.113.140401.
5 MARVIAN, I.; SPEKKENS, R. W. How to quantify coherence: distinguishing