iterações da construção da esponja de Menger no GeoGebra.
Figura 26: Esponja de Menger no GeoGebra
Fonte: Interface do programa GeoGebra
É possível continuar o processo de iteração repetindo o processo das etapas 9 e 10 e alterando o código para “L_4=Sequência (Homotetia (Sequência (Elemento (L_3, j), j, 1, 20), 1/3, Elemento (L_1, i)), i, 1, 20)” (sem aspas). Porém, não é recomendado que esse processo seja feito, pois a construção desse objeto requer muito da capacidade de processamento do computador, e isso pode ocasionar no travamento da máquina ou do programa.
4.3 Atividade 3: Calculando o volume da esponja de Menger
Essa atividade tem duração de duas aulas e tem como objetivo introduzir as sequências numéricas chamadas progressões geométricas. Essa introdução é feita baseando-se em uma atividade investigativa.
Para a realização da atividade é necessário que os alunos possuam a construção feita na segunda atividade, lápis, borracha, folha e uma tabela. Essa tabela deve ser construída conforme a tabela do Apêndice A e serve como auxílio para a realização da atividade. Nela, os alunos deverão preencher os campos de acordo com o que é observado nas construções feitas no GeoGebra na Atividade 2. A Tabela 1 é um exemplo de tabela já preenchida. Espera-se que com essa atividade, os alunos consigam chegar a uma generalização para o cálculo de volume da esponja de Menger e que possam se apropriar do conhecimento sobre progressões geométricas.
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Tabela 1: Tabela para investigação do volume da esponja de Menger (preenchida)
A Atividade 3 é realizada em 4 etapas, conforme é proposto por PONTE, et al. (2003) para uma atividade investigativa. As etapas são:
1) O professor deve propor aos alunos o seguinte problema: “A figura representada no GeoGebra é a esponja de Menger. Sabendo que a aresta do cubo que gera a esponja mede 𝑎 centímetros, qual o volume da figura quando 𝑛 = 0? Qual o volume da figura gerada em cada etapa seguinte até um determinado número 𝑛 de etapas?”. É sugerido que os alunos pensem individualmente na solução para o problema e registrem seu raciocínio na folha e na tabela. Eles podem consultar a construção feita na Atividade 2 sempre que necessário. Sugere-se ao professor que dê em torno de 15 minutos para a realização dessa etapa.
2) A segunda etapa consiste em permitir aos alunos a socialização das respostas obtidas na primeira etapa. O professor deve mediar essa socialização e intervir, caso necessário. O intuito da socialização é verificar de quantas maneiras diferentes o problema foi solucionado, caso tenha sido, de fato, solucionado.
3) Feita a socialização, é sugerido ao professor indicar os alunos, caso haja, quais os erros cometidos na solução do problema. Nessa etapa espera-se que os alunos corrijam seus raciocínios, formulando novas respostas, caso não tenham encontrado uma resposta
Etapa da construção Volume da esponja de Menger
0 𝒂𝟑 1 𝒂𝟑∙ (𝟐𝟎 𝟐𝟕) 𝟏 2 𝒂𝟑∙ (𝟐𝟎 𝟐𝟕) 𝟐 3 𝒂𝟑∙ (𝟐𝟎 𝟐𝟕) 𝟑 ... n 𝒂𝟑∙ (𝟐𝟎 𝟐𝟕) 𝒏
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4) Finalmente, nessa etapa é sugerido ao professor formalizar uma resposta junto aos alunos. Sugere-se também que o professor peça aos alunos que escrevam o volume encontrado em cada linha da tabela como uma sequência de números. Caso se faça necessário, o professor pode assumir um valor para a medida 𝑎 da aresta do cubo. Construída a sequência dos números do volume da esponja de Menger em cada iteração, o professor pode introduzir e formalizar o conteúdo de progressões geométricas.
A avaliação de aprendizagem pode ser feita por meio da proposta de outras atividades semelhantes usando a construção de fractais, além da observação da participação dos alunos durante as atividades propostas. O triângulo de Sierpinski, por exemplo, pode ser usado como objeto de estudo para a avaliação de aprendizagem, visto que tanto sua área como seu perímetro descreverão duas progressões geométricas. A construção desse fractal no GeoGebra está exposta no Apêndice B.
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CONCLUSÃO
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A Geometria Fractal é um modelo geométrico muito útil para a modelagem de objetos que a geometria euclidiana não dá conta. Além disso, possui um grande número de aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento o que torna seu estudo mais interessante. Assim, a introdução desse modelo geométrico na Educação Básica pode servir não somente como uma maneira de apresentar uma geometria diferente da que é estudada, mas também como inspiração para o ensino de Matemática.
Essa inspiração pode ser convertida em atividades com um propósito de ensino claro e consistente que podem ajudar e muito no ensino de Matemática na Educação Básica. As sequências didáticas e as atividades investigativas dão forma, embasamento e articulação a essas atividades. As progressões geométricas, usadas como foco da proposta deste trabalho, são um exemplo de conteúdos que podem ser trabalhados a partir da Geometria Fractal.
Este trabalho foi inspirado em uma iniciação científica que teve por objetivo o estudo das propriedades matemáticas dos fractais. Contudo, devido às oficinas realizadas e às palestras apresentadas durante aquela pesquisa, notou-se que essa geometria chama muito a atenção do público devido ao seu apelo estético e à sua gama de aplicações e isso ajuda em seu uso no ensino de Matemática.
Dentre o público presente naquelas atividades, estavam principalmente alunos do Ensino Médio. A abordagem dos conceitos foi feita de modo que todos pudessem compreender o que estava sendo apresentado. A Geometria Fractal foi usada até mesmo em uma aula sobre números complexos numa turma de segundo ano do Ensino Médio.
Além disso, com a aquisição de novas tecnologias por parte do Instituto Federal, foi possível imprimir um fractal com o auxílio de uma impressora 3D. O fractal impresso foi a esponja de Menger que foi construído em programas próprios para desenho e impressão de figuras tridimensionais.
Desse modo, espera-se que a proposta de sequência didática elaborada e apresentada neste trabalho agregue valores ao estudo de progressões geométricas e que essa proposta possa servir de inspiração para que os professores elaborem outros métodos, para o ensino desse conteúdo ou de outros, e possam enxergar outras possibilidades de se ensinar Matemática.
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REFERÊNCIAS
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educação nacional. Disponível em:
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Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
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ZABALA, Antoni. A prática educativa: como ensinar. Trad. Ernani F. da Rosa – Porto Alegre: ArtMed, 1998.
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APÊNDICE A – Tabela para investigação do volume da esponja de Menger
Tabela 2: Tabela para investigação do volume da esponja de Menger
Etapa da construção Volume da esponja de Menger
0 1 2 3 ... 𝒏
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APÊNDICE B – Construção do triângulo de Sierpinski no GeoGebra
A construção do triângulo de Sierpinski no GeoGebra pode ser feita em 15 etapas. Essa construção é sugerida como uma forma de avaliação para a sequência didática proposta no Capítulo 4.
1) Com o GeoGebra aberto, construa um triângulo equilátero. Isso pode ser feito com a ferramenta “Polígono Regular”, determinando o número de vértices como três. Clique com o botão direito sobre o triângulo gerado e desmarque a opção “Exibir Objeto”. Com isso, são exibidos apenas os pontos A, B e C, conforme a Figura 27.
Figura 27: Vértices de um triângulo equilátero
Fonte: Interface do programa GeoGebra
2) Com a ferramenta “Segmento”, crie os segmentos de reta de A até B, de B até C e de C até A.
3) Para construir a primeira iteração do triângulo de Sierpinski, use a ferramenta “Ponto Médio” e determine os pontos médios dos três segmentos construídos na etapa 2.
4) Selecione a ferramenta “Polígono” e crie um triângulo selecionando os três pontos construídos na etapa 3. A Figura 28 ilustra as construções feitas nas etapas 2, 3 e 4.
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Figura 28: Primeira iteração do triângulo de Sierpinski
Fonte: Interface do programa GeoGebra
5) Oculte todos os rótulos dos objetos que possuem o rótulo exibido, selecionando cada objeto e clicando com o botão direito do mouse, desmarcando a opção “Exibir Rótulo”. 6) Selecione o triângulo construído na etapa 4, clique com o botão direito e selecione a opção
“Propriedades”. Na aba “Cor”, altere a cor do polígono para a cor que desejar, aumentando a transparência do objeto. Isso é feito com o intuito de melhorar a visualização do objeto. A Figura 29 mostra o objeto construído até essa etapa.
Figura 29: Alterações realizadas para melhorar a visualização
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7) Crie um controle deslizante de nome 𝑛, determinando o mínimo do intervalo como 0, o máximo como 5 e o incremento como 1.
8) No campo de entrada, digite o comando “L_1={A,B,C}” para criar uma lista com os pontos A, B e C que no caso são os centros das transformações necessárias para a construção do triângulo de Sierpinski.
9) Para a segunda iteração, crie uma segunda lista digitando o comando “L_2={Sequência(Homotetia(t1, 1/2, Elemento(L_1, i)), i, 1, 3)}”. Essa etapa consiste em realizar a homotetia do triângulo criado na etapa 4, com o centro em cada elemento da lista L_1 e razão 1
2. A Figura 30 ilustra a segunda iteração do triângulo de Sierpinski.
Figura 30: Segunda iteração do triângulo de Sierpinski
Fonte: Interface do programa GeoGebra
10) A próxima iteração é feita com o comando “L_3={Sequência(Homotetia(L_2, 1/2, Elemento(L_1, i)), i, 1, 3)}”, ou seja, aplicando uma homotetia sobre os objetos da lista L_2, centrada em cada elemento da lista L_1 e razão 1
2.
11) As demais iterações usam como base o código da etapa 10, alterando o nome de cada lista no início do código (L_4, L_5, L_6, e assim sucessivamente) e usando a homotetia sobre os objetos da última lista. Por exemplo, para a quarta lista, os objetos da lista L_3 serão usados na homotetia e o comando é “L_4={Sequência(Homotetia(L_3, 1/2, Elemento(L_1, i)), i, 1, 3)}”. Sugere-se que sejam criadas as listas até a L_5, já que o controle deslizante está configurado para ir até 𝑛 = 5. A Figura 31 mostra a construção feita até a quinta lista.
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Figura 31: Quinta iteração do Triângulo de Sierpinski
Fonte: Interface do programa GeoGebra
12) Altere as cores dos objetos das listas L_2, L_3, L_4 e L_5 selecionando-as na janela de álgebra, clicando com o botão direito do mouse sobre elas, entrando em “Propriedades” e depois na aba cor. Selecione a mesma cor e transparência escolhidas na etapa 6.
13) Selecione todos os pontos visíveis da construção e abra as propriedades desses objetos. Na aba “Estilo”, reduza o tamanho dos pontos para o mínimo possível. A Figura 32 mostra as alterações feitas nas etapas 12 e 13.
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14) Agora é necessário atrelar cada iteração ao controle deslizante. Para isso, selecione o triângulo central e abra suas propriedades. Na aba “Avançado”, no campo “Condição para Exibir Objeto(s)” digite “n>=1”, isso faz com que esse objeto seja exibido apenas quando o valor de 𝑛 for maior ou igual a 1. Para cada uma das listas L_2, L_3, L_4 e L_5, determine as condições “n>=2”, “n>=3”, “n>=4” e “n>=5”, respectivamente.
15) Coloque o controle deslizante em 𝑛 = 0. A imagem que deveria aparecer é apenas a imagem de um triângulo, contudo, aparecem os segmentos do triângulo central. Selecione esses segmentos e desmarque a opção “Exibir Objeto”. A Figura 33 mostra como a construção fica conforme é alterado o valor de 𝑛 no controle deslizante.
Figura 33: Alteração das iterações pelo controle deslizante
Fonte: Interface do programa GeoGebra