Atividade do Núcleo de Estágio de EMRC: “Festa da Primavera 2017-2018”

sionnels

3.7.1 Structures fondamentales

Pour étudier les différentes structures spatiales présentées par le système GDI

(3.56)-(3.58), nous avons intégré numériquement les équations réaction-diffusion

correspondantes, la figure (3.10) montre les structures stationnaires

fondamen-FiG. 3.10: Les différentes structures obtenues par intégration numérique du modèle de

GDI à trois variables, pour [S]o=4-5 x 10~^M et ko=10~^'^^ s~^. (a) Hexagones H

t

^

(log([7~]o) = —Z.bhM); (b) Bandes (log([7“]o) = —3.5M) et (c) Hexagones inverses

Ho (log{[I-]o) = -3.36M;.

taies obtenues lorsqu’on fait varier la concentration de l’iodure [I~]o- La condition

initiale consiste en l’état stationnaire homogène auquel nous ajoutons une pertur­

bation inhomogène de faible amplitude. Légèrement au-dessus du seuil d’instabi­

lité de Turing [I“]oc apparaissant sur la branche inférieure, nous voyons apparaître

dans un domaine très réduit, des structures à symétrie hexagonale H„ dont les

maxima sont arrangés sur un réseau en nid d’abeilles. En augmentant progres­

sivement la valeur de [I“]o, ces structures deviennent instables par rapport aux

structures en bandes. En inversant la variation de [I“]o , on obtient à nouveau le

motif hexagonal formant ainsi une boucle d’hystérèse. Cette bistabilité entre

H,r et bandes est illustrée sur le diagramme de bifurcation numérique où l’on

a porté la concentration de l’iodure [I“] en fonction de [fjo (fig. 3.11). Cette

partie du diagramme correspond donc à la compétition standard entre bandes

et hexagones [Busse, 1978; Ciliberto et al., 1990; Newell et al., 1993]. Notons

la faible sous-criticalité des bandes et des hexagones H,r au voisinage du seuil

[I~]oc apparaissant dans cette région. En augmentant [I“]o, les bandes deviennent

Iog([r]o)

Fig. 3.11: Diagramme de bifurcation du modèle du système bistable GDI, montrant la

succession des structures suivantes : ESH stables (ligne continue), ESH instables (ligne

discontinue), hexagones (cercles noirs), hexagones inverses H

q

(cercles blancs),

bandes (étoiles) et hexagones super-harmoniques (carrés) pour [Cl02]o=l l(f~^M,

[S]

q

=4-^ ko= s~^ et un rapport de coefficients de diffusion 5=5.

96 CHLORE-IODURE

instables vis à vis d’un motif Hq dont les maxima de concentration forment un

réseau triangulaire. Ce motif reste stable dans un domaine de [I~]o nettement

plus large que le domaine de stabilité du motif H^, qui s’étend jusqu’à la proxi­

mité de la région de bistabilité entre ESH. Lorsqu’on diminue [l'Io, le motif Ho

redonne des bandes. La seconde boucle d’hystérèse ainsi obtenue ne se superpose

pas à la première. Ces différents résultats sont résumés dans le diagramme de bi­

furcation (fig. 3.11). Ce diagramme présente ainsi trois effets principaux induits

par l’asymétrie du système à savoir : la réduction du domaine de stabilité d’un

type d’hexagones et de la sous-criticalité des branches structurées au voisinage

du seuil apparaissant sur la branche dont la courbure est la plus réduite, l’élargis­

sement du domaine de stabilité des hexagones inverses et de la sous-criticalité des

branches structurées près du seuil apparaissant sur la branche dont la courbure

est la plus grande, ou encore la suppression du domaine de tristabilité entre les

bandes, les hexagones et les hexagones inverses. Ces différents résultats sont en

bon accord avec ceux obtenus dans les systèmes fortement asymétriques, décrits

par le modèle de FitzHugh-Nagumo, dans le chapitre précédent. Ainsi, le système

CDI fournit un exemple réel, de systèmes où l’asymétrie de la boucle d’hystérèse

induit de nombreux effets génériques décrits plus haut.

3.7.2 Bifurcation vers des structures complexes

Lorsqu’on augmente davantage la concentration [I“]o, le système s’approche

de la limite d’hystérèse où le mode zéro devient actif. Près de cette limite, nous

observons une transition brusque non triviale du motif Hq vers un nouveau motif

(fig. 3.12). Cette nouvelle structure, comme l’indique sa transformée de Fourier,

implique clairement les six modes fondamentaux d’un motif hexagonal et leurs

premiers modes harmoniques. Ce serait donc le couplage entre les modes spatiaux

critiques fondamentaux, leurs premiers modes harmoniques et le mode zéro qui

serait à la base de la transition vers cette nouvelle structure. Pour clarifier la na­

ture de la transition et de la nouvelle structure, nous allons étudier les équations

d’amplitude correspondantes. Pour obtenir une description globale du dévelop)-

pement d’une telle structure dans un système bistable, nous devons, comme nous

l’avons déjà souligné, tenir compte du mode zéro, des modes fondamentaux et

de leurs premiers harmoniques. Nous approchons donc les champs de concen­

tration par une superposition linéaire du mode homogène A

q

, 3 modes critiques

Fig. 3.12: Structure hexagonale complexe obtenue par intégration numérique du mo­

dèle CDI à trois variables dans la région de bistabilité pour [S]o=4-5 x lOr^M,

[C102]

q

=10~^M, fco = log([/“]o) = —3.36 et 5=5. La transformée de

Fou-rier correspondante indique clairement la présence des premières harmoniques des six

modes fondamentaux.

W:

3 3

c = eiylo + ^2 ^ Aj exp[zqj-r] expfiQ^r] + c.c.

j=i fc=i

(3.77)

/

ou c =

Cl

C2

V ^3

représente ici le vecteur des champs de concentration respective­

ment de [I“], [CIO2 ] et du [SI

3

]. qj et Q* sont respectivement les vecteurs d’onde

associés aux modes fondamentaux et à leurs premiers harmoniques.

Dans cette nouvelle structure, les deux ensembles de vecteurs d’onde q^ et

forment respectivement un triangle équilatéral :

|qi| = |q2| = |q3| = Qc avec qi + q2 + q3 = 0 (3.78)

et

|Qi| — IQ2I — IQ3I — v^Qc avec Qi -h Q2 + Q3 — 0 (3.79)

et sont résonnants entre eux selon la relation :

Plus explicitement, ces deux ensembles de vecteurs d’onde et s’écrivent

respectivement :

98____________________________________________________________________________________CHLORE-IODURE

qi = Q2 = ^ y)> qs = y- V3 y)

/ô /ô

Qi = —qc(\/3x + y), Q2 =-^qc(-^x + y), Q3 =-\/3 qcY

Rappelons que ce nouveau motif a été obtenu par intégration numérique du mo­

dèle du système GDI (3.50)-(3.52). La dérivation des équations d’amplitude à par­

tir de ce modèle est compliquée par la présence du mode zéro. Dans ce cas, nous

*

Fig. 3.13: Vecteurs d’onde fondamentaux (qi) d’une structure hexagonale et leurs pre­

miers harmoniques (Qi)=qi — q(i+

2

)-allons utiliser une description simplifiée basée sur la forme générique des équations

d’amplitude caractéristiques des systèmes bistables présentant des structures im­

pliquant les modes fondamentaux et leurs premiers harmonique. Ces équations

sont de la forme :

dAo

dt

dAi

dt

dBz

dt

— h{Ao) + [oi + Q!2^o] + l-BiH

t=i

+

03

+ A{AIAI + B1B2B3 + B*,B;b; + AIA3B1

+ AiAlBl + AIA

2

B; +AiA*B

2

+ AIA

3

B; + A

2

AIB

3

] (3.81)

— ^\{A

q

)A

i

+ (/5i + ^A

q

) {A2B2 + A3B1 + ^42^13)

+ 03 i-Btp++04\A

i

,i=l i=2

- 0e {a{a;bi + aiaib; + A3b;b;+ b,A2B3)

= ~ 11-^A

q

)B3 +

(71

+ 72.4q) C-BÎ-Bj + 73^2A

3

)

Al - 0e{AfB3 + AfBl)

(3.82)

+ 73 \BiŸ+74IB3I

*=i t=i

s.

- 75 (AiA^^i* + AÎA3B2*) - 76 [A\Af + AiA^) (3.83)

où h[Ae) = 0 détermine les états stationnaires homogènes. Les taux de croissance

Hi sont des fonctions nonlinéaires de Aq et les constantes Oj, 0i et 7^ peuvent être

exprimées en termes des paramètres du système. Des équations similaires pour

A2, A3, Bi et B2 peuvent être obtenues respectivement des équations (3.83) et

(3.83) par permutation cyclique des indices.

D’autre part, le tracé des courbes de dispersion obtenues à partir de l’équation

caractéristique (3.65) montre que le mode super-harmonique était déjà présent et

actif avant la bifurcation vers le motif complexe (fig. 3.12). Ceci permet d’écarter

l’hypothèse d’une bifurcation induite par l’activation de ce mode. Il nous reste

donc à considérer le rôle joué par la phase relative entre les modes fondamentaux

et leurs harmoniques dans la transition vers la structure complexe.

Pour étudier la dynamique des phases, nous exprimons les amplitudes {Aj}

et en coordonnées polaires sous la forme suivante :

Aj = , Bk = (j, Â: = 1,2,3) (3.84)

où et ’ipk sont respectivement les phases des modes fondamentaux et de leurs

premiers modes harmoniques. Par raison de simplicité, nous considérons dans la

suite que les modules et les phases des amplitudes de chacune de ces deux familles

de modes sont égaux

100

et

H^ = H2 = H3 = H, = ^2 = <^3 = (3.86)

Les équations de phase dérivées ainsi à partir du modèle (3.81)-(3.83), prennent

alors la forme suivante :

= [2R^H{P5 + f36)cosiP-iPi + l32Ao)R'^]sm{3(f>) (3.87)

= [-(71 + 72^0)^?^ + 27ei2^ cos(3<^)] sm{tp) + 2'y^I^Hsin(2^)

- (71+ 72^o)^f^sin(3V'). (3.88)

L’analyse du inotif complexe obtenu par intégration numérique de notre modèle,

montre que l’amplitude des modes harmoniques H est petite par rapport à celle

des modes fondamentaux R (fig. 3.14).

_____________ CHLORE-IODURE

Fig. 3.14; Distribution angulaire des amplitudes des modes fondamentaux (R) et leurs

premiers modes harmoniques (H) du motif complexe (fig. S. 12) dans l’espace des fré­

quences pour [S]

q

=4-5 X 10~^M, [C102]

q

=10~^M, fco = log([/^]o) = —3.36

et 5=5.

Si on ne retient que les termes dominants, les équations de phases (3.87)-(3.88)

prennent une forme plus simple :

= -(^i+/?2Ao)iî2sin(3(^) (3.89)

at

Il est clair que le terme {pi + doit rester positif lors de la bifurcation vers

les structures complexes, car il a déjà changé de signe dans la transition entre

les hexagones et H

q

. Par conséquent, nous en déduisons que la phase (j) des

modes fondamentaux reste nulle

</»« = 0 (3.91)

au travers de la transition vers le motif complexe et seul le changement de la

phase des modes harmoniques '0 peut donc induire une telle transition. Pour

savoir ce qui favorise ce changement, nous substituons la phase 0 par sa valeur

stationnaire 0s = 0 dans (3.89)-(3.90). L’équation alors obtenue pour la phase tp

s’écrit :

= [-(71 + j2Ao)R^ + 27eiî^] sin 0. (3.92)

Cette équation montre effectivement que lorsque l’amplitude des modes fonda­

mentaux R est faible, le terme (71+72^0) est dominant, par conséquent la phase

0 = 0 est stable. Au contraire, lorsque l’amplitude R croît et dépasse la valeur

critique Rc donnée par

D _ 7i + 72A0

— rt

276

(3.93)

c’est le terme positif {2jeR) qui devient dominant et c’est la phase 0 = tt qui

devient stable.

En résumé, nous venons de montrer que la transition vers la structure com­

plexe (fig. 3.12) dans le système (3.50)-(3.52) est due au couplage entre le mode

homogène, les modes critiques fondamentaux et leurs premiers modes harmo­

niques. Cette transition s’effectue entre deux motifs de même symétrie dont

la phase relative entre les modes fondamentaux et leurs premiers harmoniques

change de signe suite à la croissance progressive de l’amplitude des modes fonda­

mentaux. Pour vérifier ce résultat, nous avons reconstruit deux motifs hexagonaux

superposant chacun le mode homogène, des modes fondamentaux avec une phase

nulle ainsi que leurs premiers harmoniques auxquels nous associons respective­

ment les deux phases stationnaires (0 = 0 et 0 = tt) prédites par les équations

de phase. Les deux structures ainsi reconstruites sont présentées dans la figure

(3.15). Ces deux motifs sont en effet équivalents à ceux obtenus par intégration

numérique du modèle (3.56)-(3.58), respectivement avant et après la transition

vers la structure complexe. Cette reconstruction confirme clairement que c’est le

102

CHLORE-IODURE

m- ^mÊmm WKM

(|>=0j Ty=Q.| A :gb g

WF w "W W WF i

I ÊÈ ÊÈ ÊÈ ÊÈ

•

Ælk Æ

è

élk â

W 9 9 9 *

IA il li il ü_{ffll|PP ’^ÊÊ^ wffl^ ^I|Pf}

•

JÈm ggin J|||, Æk g

9 _WS!ÊF*9 9 9_{^ipp ”} I

Fig. 3.15: Structures hexagonales construites en superposant un motif hexagonal fon­

damental et son premier harmonique H(i = 1,3 et H < R).

changement de la phase relative V’ entre les modes fondamentaux et leurs pre­

miers modes harmoniques qui favorise dans le système GDI, l’apparition de ces

structures.

3.8 Conclusion

Nous avons montré que pour les valeurs typiques des paramètres de contrôle

utilisés dans les expériences [Lengyel et ai, 1992], le système CIO2 — I~ présente

une boucle d’hystérèse asymétrique dans l’espace des phases. Selon la valeur du

rapport des coefficients de diffusion de l’activateur et de l’inhibiteur, ce système

peut présenter une ou deux instabilités de Turing qui se situent d’une manière

asymétrique sur les branches des ESH. Dans ce dernier cas, l’instabilité apparais­

sant sur la branche supérieure est très proche de la limite d’hystérèse correspon­

dante. Seule une famille de structures issue de l’instabilité apparaissant sur la

branche inférieure est stable en accord avec les résultats obtenus dans le chapitre

précédent avec le modèle asymétrique de FitzHugh-Nagumo. Il convient aussi de

rappeler que pour un rapport des coefficients de diffusion de CIO2 et 1“ proche

de l’unité, il n’a été possible d’obtenir des structures que dans un domaine très

étroit des contraintes. Ceci pourrait expliquer pourquoi de telles structures n’ont

pas été observées expérimentalement dans la réaction CIO2 — I“.

MULTISTABILITÉ SPATIALE ET

EFFETS NON VARIATIONNELS

Dans les chapitres précédents, nous nous sommes intéressés à la formation de

motifs spatiaux induits par des instabilités diffusives dans les systèmes bistables.

Ici, nous allons étudier dans ces systèmes un nouveau mécanisme de formation

de structures différent de celui de Turing et qui est basé sur l’immobilisation de

fronts séparant des domaines de compositions distinctes.

4.1 Introduction

Comme nous l’avons déjà souligné, un grand nombre de systèmes chimiques

peuvent présenter le phénomène de bistabilité entre branches d’états station­

naires différentes. Dans un CSTR, ces branches correpondent respectivement à la

branche thermodynamique et la branche de flux. Lorsque le temps de résidence

du réacteur est très grand par rapport au temps de la réaction, la composition

chimique du CSTR est proche de celle qui serait atteinte à l’équilibre thermo­

dynamique si on laissait évoluer la réaction dans un système fermé (branche

thermodynamique). Au contraire, si la vitesse de renouvellement domine celle

de la réaction, la composition chimique du CSTR est proche de celle dans le

flux d’alimentation (branche du flux). Le CSTR adopte donc un régime station­

naire aux deux extrémités des valeurs possibles du temps de résidence. Dans

les réactions chimiques standards, les branches thermodynamique et de flux se

connectent d’une manière continue et monotone pour des temps de renouvelle­

ment intermédiaires. Dans les réactions bistables, les domaines de stabilité de ces

deux branches peuvent se chevaucher et présenter une boucle d’hystérèse dans

l’espace des contraintes. La branche d’état choisie par le CSTR dépend de l’his­

toire du système c’est-à-dire de la manière dont les paramètres de contrôle ont

été variés pour atteindre l’état correspondant. Toutefois, vu le mode de fonction­

nement du CSTR supposé idéalement mélangé, l’état du CSTR est forcément

homogène. Le nom de histabilité temporelle a été introduit par le groupe de De

Kepper pour caractériser cette bistabilité qui s’effectue entre états stationnaires

homogènes [Blanchedeau, 1999].

Une situation semblable se produit quand un système de réaction-diffusion

est alimenté par une seule face maintenue en contact diffusif avec le contenu

d’un CSTR dans un état appartenant à la branche de flux. Pour Axer les idées,

considérons un système de réaction-diffusion unidimensionnel de longueur L cor­

respondant à la direction normale au plan d’alimentation de l’OSFR. Près du

bord d’alimentation, l’état du gel est imposé par le CSTR. La compositon chi­

mique est alors proche de celle de la branche du flux. Si la longueur L du système

est très petite, le système reste partout dans une composition proche de cet état.

Lorsque L est grand, la quantité de réactifs frais qui atteint la région loin du

bord d’alimentation est suffisamment réduite de sorte que le système relaxe vers

un état appartenant à la branche thermodynamique. La composition du système

change alors de la branche F à la branche T quelque part entre le bord d’ali­

mentation et le bord opposé. Un tel comportement spatial peut généralement

être obtenu en présence de processus d’autocatalyse qui mènent à la bistabilité

temporelle. Pour un domaine de valeurs de L ou des paramètres de contrôle du

CSTR, deux profils spatiaux différents peuvent être stables pour le même état du

CSTR. Leur domaine de stabilité se chevauchent et forment une boucle d’hysté­

rèse dans l’espace des phases lorsque la longueur L ou une contrainte du CSTR

est variée, définissant ainsi le phénomène de bistabilité spatiale. Dans le premier

profil, désigné également par F, la composition du système est proche du celle

du CSTR (F). Dans le second, désigné par (FT), une transition se produit d’une

composition appartenant à la branche F près du bord d’alimentation à une com­

position de la branche T près du coté opposé. A cette transition est associé un

front raide séparant les deux compositions distinctes correspondantes. Une bis­

tabilité spatiale similaire a été observée expérimentalement par Ouyang et al.

[1991] avec la réaction CIO2 — I~ dans un réacteur flux de Couette où la vitesse

de rotation du cylindre intérieur joue le rôle de paramètre de contrôle.

et Boissonade [1998] pour expliquer la formation de structures chimiques dans

l’épaisseur d’un OSFR. Lorsque le gel est suffisamment mince, ce type de réac­

teurs est généralement assimilé à un système bidimmensionnel. Puisque le contenu

du CSTR est homogène, les paramètres de non équilibre devraient donc être uni­

formes à travers l’épaisseur d’un gel mince. Au bord d’alimentation, toutes les

espèces ont une concentration égale à la concentration uniforme qu’elles ont dans

le CSTR (conditions aux bords de Dirichlet). Pour que l’approximation bidimen-

sionelle soit valable, l’effet de la condition au bord doit s’étendre à travers toute

l’épaisseur du gel et devrait donc forcer l’uniformité dans tous les plans parallèles

à ce bord ce qui empêcherait le développement de toute structure dans l’épais­

seur de l’OSFR. Ce n’est pourtant pas le cas dans certaines réactions bistables, où

pour le même état du CSTR, une bistabilité entre deux compositions chimiques

distinctes a été observée à travers le gel de l’OSFR. Les premières observations

de ce phénomène, ont été obtenues à l’université de Texas [Lee et al, 1993; Lee

et Swinney, 1995[. L’étude expérimentale de la réaction FIS dans l’espace des pa­

ramètres où cette réaction présente une bistabilité en CSTR a permis d’identifier

deux états à pH distincts dans le gel. Plus récemment, des observations analogues

ont été mises en évidence dans la réaction CDI par l’équipe de De Kepper. Pour

la même composition chimique du CSTR, des fronts quasi-stationnaires prennent

effectivement place au sein du gel dans la direction perpendiculaire au plan d’ali­

mentation de rOSFR. A partir d’un modèle basé sur un sous-ensemble bistable

de la réaction BZ connu sous le nom de"Bromate minimal" [Gieseler et Follner,

1974], ces auteurs ont mis en évidence la possibilité d’immobiliser l’interface sépa­

rant deux états distincts dans l’épaisseur d’un OSFR [Blanchedeau et al, 1998].

Dans ce modèle, le système admet deux ESH stables dans le CSTR et un seul

dans le gel.

Dans ce chapitre, nous allons étudier le phénomène de bistabilité spatiale dans

les systèmes intrinsèquement bistables (indépendemment du milieu considéré).

Dans de tels systèmes, lorsqu’un profil inhomogène connectant deux états stables

se forme suite à une fluctuation locale, le front correspondant est généralement

mobile. L’état le plus stable agrandit progressivement son territoire et envahit

celui de l’état le moins stable (métastable), rétablissant ainsi l’uniformité dans la

totalité du système. La question qui se pose alors est ; quels sont les mécanismes

qui peuvent immobiliser ces fronts et donner ainsi naissance à des structures

stationnaires. Il est évident que pour préserver des distributions asymétriques,

ces mécanismes doivent impliquer des facteurs supplémentaires qui doivent entrer

en jeu pour arrêter la propagation du front. Ces facteurs devraient opérer sur une

échelle de temps plus grande que le temps nécessaire pour la formation du front,

mais plus petite que le temps nécessaire pour que ce front traverse la totalité

du système. Ceci signifie qu’une combinaison de variables avec des échelles de

temps largement séparées est essentielle pour générer de telles inhomogéneités

stationnaires. Ces structures résultent donc de la conjugaison de deux étapes

complémentaires. Une étape initiale où une distribution inhomogène des variables

rapides se développe et une seconde étape où les variables lentes ajustent leur

niveau de telle sorte que la propagation du front soit arrêtée et l’inhomogénéité

préservée. Les deux sous-ensembles des variables, rapides et lentes, ont donc deux

rôles distincts. Les variables rapides génèrent la structures tandis que les variables

lentes jouent le rôle de contrôleurs et d’agents stabilisants. Une des manières

de stabiliser une telle structure s’effectue lorsque les variables lentes ont une

longueur caractéristique excédant ou étant au moins comparable à la taille du

système. Un front généré par les variables rapides dans ce système se trouve

piégé par l’effet contrôleur des variables lentes qui ajustent leur niveau dans ce

front de sorte que sa propagation soit bloquée. Une distribution inhomogène des

variables rapides peut alors être stabilisée. Ce mécanisme connu sous le nom de

"global regulator" a été proposé par Pismen [1978] pour expliquer notamment

la formation d’inhomogénéités stationnaires sur les surfaces catalytiques. Dans

les systèmes variationnels où la cinétique dérive d’une fonctionnelle (potentiel

V) des variables dynamiques, un front peut être immobilisé si les paramètres de

contrôle sont fixés de telle sorte que le potentiel des deux états stables connectés

par ce front soit égal. Cette situation particulière est néanmoins difficile à réaliser

expérimentalement. Une situation plus réaliste consiste à considérer un système

No documento Brincar : a essência da alegria de viver : contributo da Educação Moral e Religiosa Católica para o reconhecimento e respeito pela dignidade das crianças, centrado na Unidade Letiva 1 do 3º ano de escolaridade (páginas 122-165)