Atividade 4 – Trabalhando com o material dourado

O material dourado de Montessori destina-se a atividades que auxiliam o ensino e a aprendizagem do SND - tanto de sua estrutura básica quanto das operações fundamentais (os algoritmos). O material dourado faz parte de um conjunto de materiais idealizados pela médica e educadora italiana Maria Montessori. Nos anos iniciais do século XX, ela se dedicou à educação de crianças excepcionais, que, graças à sua orientação, concorriam nos exames de fim de ano com crianças normais das escolas públicas de Roma. Isso levou Maria Montessori a analisar os métodos de ensino da época e a propor mudanças compatíveis com sua filosofia de educação. Segundo essa educadora, a criança tem necessidade de

mover-se com liberdade, dentro de certos limites, desenvolvendo sua criatividade no enfrentamento pessoal com experiências e materiais.

Um desses materiais era chamado de material das contas, o qual posteriormente, deu origem ao hoje conhecido material dourado Montessori. Maria Montessori preparou para os alunos maiores do curso elementar um material destinado a representar os números sob forma geométrica. As unidades eram representadas por pequenas contas amarelas, e a dezena (ou o número 10) formada por uma barra de dez contas enfileiradas em um arame. Essas barras, repetidas dez vezes, eram ligadas entre si, formando um quadrado (o quadrado de 10), somando o total de 100. Finalmente, dez quadrados formavam um cubo, o cubo de 10, isto é 1000 unidades.

Crianças pequenas, com cerca de quatro anos de idade, sentiram-se atraídas por esses objetos brilhantes e facilmente manejáveis e, para surpresa da pesquisadora, puseram-se a combiná-los, imitando as crianças maiores. Surgiu um grande entusiasmo pelo trabalho com os números, tornando o trabalho aritmético apaixonante. As crianças compuseram números de até 1000 unidades e seu desenvolvimento foi surpreendente: crianças de cinco anos passaram a realizar as quatro operações com números de milhares de unidades. Essas contas douradas foram organizadas industrialmente na forma de cubos (em geral de madeira), que compõem o material dourado Montessori. Um kit desse material contém:

• 1000 cubinhos de 1cm x 1 cm x 1cm (cada cubo corresponde a uma unidade). • 100 barras de 1cm x 1cm x 10 cm (cada barra corresponde a uma dezena). • 10 placas de 1 cm x 10 cm x 10 cm (cada placa corresponde a uma centena). • 1 cubo de 10 cm x 10 cm x 10 cm (que corresponde a um milhar).

No ensino tradicional, as crianças acabam “dominando” os algoritmos a partir de treinos cansativos, mas, em geral, sem conseguir compreender o que fazem. Com o uso do material dourado, espera-se que as relações numéricas concretas passem a ter um correspondente abstrato, o que facilita a compreensão, desenvolve o raciocínio e promove um aprendizado bem mais agradável.

Para o desenvolvimento das atividades seguintes, nós nos respaldamos no trabalho de Toledo e Toledo (1997) sobre esse tema. Inicialmente, pedimos aos professores-alunos que observassem as peças do jogo, com o intuito de se familiarizarem com elas, uma vez que a maioria deles (grupo dos 27) não o conhecia e, em relação ao três professores-alunos que destacamos em nossa pesquisa, nenhum deles sabia trabalhar com esse material. Dentre esses três, um afirmou que, no livro didático adotado pela escola em que trabalhava, havia questões a serem solucionadas com o uso do material dourado, no entanto, como desconhecia o referido material, desenvolvia os exercícios sugeridos apenas a partir dos desenhos contidos no próprio livro, mesmo a escola dispondo desse material.

Inicialmente, levantamos alguns questionamentos e reflexões sobre a utilização do material concreto, pois parece não ficar muito claro para o professor- aluno se ele era um “fim” ou um “meio”, quando utilizado em sala de aula. Será que ele ajuda no processo de construção do conceito (meio), ou será que ele já garante o sucesso desse processo (fim)? Acreditamos que o material concreto ajude nesse processo, desde que seja trabalhado em sua especificidade, pois ele

• não é uma fórmula mágica, que sozinha leve o aluno a raciocinar;

• deve estar envolvido em situações que levem o aluno a refletir sobre as experiências acumuladas;

• deve ser apresentado ao aluno, para que este compreenda a estrutura do material e reflita sobre o que está fazendo.

Falando sobre o processo de ensino e aprendizagem da Matemática, Piaget (1977,p.19) afirma:

Se os professores de Matemática se dispusessem a tomar conhecimento da formação psicogenética ‘natural’ das operações lógico-matemáticas, descobririam que existe uma convergência muito maior do que se poderia imaginar entre as principais operações usadas espontaneamente pela criança e as noções que a ela se tenta inculcar pela abstração.

E acrescenta:

Ensina-se a Matemática como se tratasse exclusivamente de verdades acessíveis por meio de uma linguagem abstrata e mesmo daquela linguagem especial que é a dos símbolos operatórios. A Matemática porém consiste em primeiro lugar, e a acima de tudo, em ações exercidas sobre as coisas, e as operações são também sempre ações, mas bem coordenadas entre si e simplesmente imaginadas, ao invés de serem executadas materialmente (PIAGET, 1977, p. 67).

Sob esse prisma, entendemos que a utilização do material concreto facilita a compreensão dos conteúdos trabalhados e permite aos professores-alunos fazer a transposição didática desses conteúdos de forma mais acessível ao aluno, e o material dourado configura-se como uma ferramenta que pode ser útil, se bem utilizada, no processo de ensino-aprendizagem da Matemática.

Como foi dito anteriormente, iniciamos distribuindo o material dourado, para que os professores-alunos tivessem a oportunidade de manipulá-lo, de observar as características das peças e perceber as relações que há entre elas. Como ele é construído de maneira a representar o sistema de agrupamentos de base 10, foi fácil a percepção das relações existentes entre as peças. As questões propostas com

esse objetivo foram facilmente respondidas pelos professores-alunos. Em seguida, solicitamos que eles fizessem o registro das ações.

A nossa intenção maior com essa atividade era promover discussões reflexivas sobre como eles poderiam iniciar um trabalho com seus alunos usando o material dourado, tendo em vista que, segundo relatos de alguns desses professores-alunos, na escola em que trabalhavam existia esse material e só não utilizam porque não tinham segurança em como proceder com seu uso nas atividades.

Acreditamos que os fizemos refletir sobre suas práticas, principalmente pelo que foi manifestado em suas falas:

Px – Achei importante trabalhar com o material dourado, pois acho que, em sala de aula, vai ficar bem mais fácil o aluno compreender que 1 dezena tem 10 unidades, 2 dezenas tem 20 unidades, e assim por diante.

Py – Quando a gente tiver que ensinar as operações com “empreste 1” e “vai 1”, vai ficar bem mais fácil da criança entender esse processo.

Pz – Sempre tive muita dificuldade em explicar aos meus alunos as trocas quando trabalho com as operações, porque não percebia a importância de trabalhar o Sistema de Numeração Decimal. Eu trabalhava muito rapidamente esse assunto: só apresentava unidade, dezena e centena e o valor de cada um deles. Acho que agora vai ser bem menos complicado, pois eles percebem como ocorrem os agrupamentos.

Além das falas acima relatadas, outros professores-alunos opinaram, sempre ressaltando a importância de atividades com agrupamentos e trocas. Percebemos que a maioria dos professores-alunos apresentava grande dificuldade quando trabalhavam com operações aritméticas, tendo em vista que os conceitos de trocas,

agrupamentos e equivalências eram apresentados aos alunos de forma automatizada. Isso fazia com que estes, como conseqüência, não fizessem uso desses conceitos no momento de operar com os números.

Ao concluirmos essa atividade, percebemos que os professores-alunos conseguiram vencer alguns obstáculos quanto ao processo de ensino e aprendizagem, pois perceberam que a aprendizagem se dá quando os alunos são capazes de aplicar conhecimentos adquiridos em outras situações e contextos. Eles também entenderam que isso só ocorrerá se o professor for capaz de trabalhar com situações desafiadoras, que propiciem essa construção.

Em relação às dificuldades de algumas pessoas no tocante à aprendizagem da matemática formal, Piaget (1977) esclarece que, na sala de aula, o aluno é solicitado a receber passivamente uma “disciplina intelectual” totalmente estruturada. Porém, em um contexto de atividades espontâneas, ele é convidado a descobrir por si mesmo as “correlações” e as “noções” e reinventá-las. Esse autor afirma, ainda, que criar, na ação, e usar praticamente certas operações é diferente de tomar consciência dessas operações, o que possibilita construir o conhecimento pautado na reflexão e na teorização. Os estudos desenvolvidos por Piaget sobre o desenvolvimento e aprendizagem da criança permitem extrair algumas lições de grande significado para a aprendizagem do adulto:

o jovem e o adulto não apenas aprendem novos conhecimentos, mas desenvolvem sua inteligência enquanto capacidade de solução de problemas e invenção; ambientes favoráveis desafiam os potenciais de desenvolvimento e exercitam a capacidade de construção de conhecimentos; reconhecer nos alunos a capacidade de progredir, de eles mesmos serem os autores de seu progresso cognitivo, social e moral, uma vez que é na ação praticada pelo sujeito que se elaboram os conhecimentos e se formam as competências; devem ser desenhados e utilizados os métodos e processos que se mostrem mais eficazes em desafiar as capacidades emergentes dos alunos [...] (SERVIÇO SOCIAL DA INDÚSTRIA, 2002, p. 20 – 21

Diante desse novo contexto de ensino e aprendizagem, é atribuída ao professor a função de criar as condições mais favoráveis à aprendizagem do aluno. Sobre isso, diz Moretto (2003, p. 103):

O ensino adquire, assim, uma nova conotação: ele deixa de ser uma transmissão de conhecimentos (verdades prontas), para ser um processo de elaboração de situações didático-pedagógicas que facilitem a aprendizagem, isto é, que favoreçam a construção de relações significativas entre componentes de um universo simbólico.

Isso nos faz acreditar que os alunos costumam rejeitar algumas atividades didático-pedagógicas não por estas serem difíceis, mas por serem desprovidas de significado. Na realidade, não existe questão difícil por si só; os significados que ela apresenta para os alunos e a forma como é abordada é que aumentam ou diminuem sua dificuldade. Vygosky (2001) propôs que o desenvolvimento se realiza por meio da interação social e do uso de símbolos mediadores. E, de acordo com Moysés (1997, p.26), “com o passar do tempo, a criança deixa de necessitar desse elemento auxiliar externo, e passa a utilizar signos internos. Esses nada mais são do que representações mentais que substituem os objetivos do mundo real.”

O professor, ao trabalhar com o aluno buscando na estrutura cognitiva deste os pontos relevantes que servirão de base para o que quer ensinar, procura verificar, através do diálogo, se a sua fala foi compreendida (Vygotsky, 1987, p.98). Ainda com relação ao papel da linguagem, Moretto, (2004, p.61) diz:

Afirmar que a linguagem exerce muitos papéis importantes parece óbvio para todos nós. Para os processos de ensino e de aprendizagem, no entanto, seu papel se torna ainda mais preponderante, pois a construção do conhecimento se processa essencialmente por meio da linguagem. Essa se apresenta das mais diferentes formas: linguagem artística, linguagem científica, gráfica, do senso comum, religiosa, etc.

Entendemos que, no contexto de sala de aula, a função fundamental da linguagem é promover a interação entre os agentes do processo da aprendizagem, isto é, o professor e o aluno. Para isso, utilizamos o método dialético durante o desenvolvimento desta atividade. Concordando com Grándo (apud ALVES, 2001), que define o jogo como “um elemento mediador entre alunos e os conhecimentos”, fizemos alguns questionamentos dirigidos para o ensino de Sistema de Numeração Decimal, após a realização do jogo “Nunca dez” com o material dourado.

Na realização de tal jogo, tínhamos como objetivos criar um ambiente que permitisse a participação ativa de todos os componentes dos grupos e favorecer reflexões sobre as regularidades na numeração escrita, como é mostrado por Lerner e Sadovsky (1996), quando propõem um trabalho de exploração das regularidades presentes na seqüência numérica natural, para que o aluno possa compreender a organização do sistema e avançar na utilização da escrita numérica.

Para o “Nunca dez”, foram distribuídos com cada grupo o kit do material dourado e dois dados comuns. Cada professor-aluno do grupo, na sua vez de jogar, lançava os dados, contava quantos pontos havia feito e retirava para si a quantidade de cubos pequenos correspondente aos números sorteados nos dados. Sempre que um jogador acumulasse um total de 10 cubos pequenos, deveria trocá-los por uma barra, e teria o direito de jogar novamente. O vencedor seria o primeiro a conquistar uma placa, trocando 10 barras por ela.

Durante o jogo, observando mais de perto o grupo em que estavam Px, Py e Pz, constatamos alguns relatos significativos, os quais foram compartilhados com o grande grupo no momento da sistematização dessa atividade.

Nesse contexto, PZ disse ter achado muito enriquecedor esse jogo, pois permitia a criança perceber, através de sua ação, que, por exemplo, o numeral 15 é

10 + 5, tendo em vista que ela realizava a troca de 10 unidades por uma barra, cujo valor era 10, e lhe sobravam 5 unidades.

PY acrescentou que ficava fácil explicar para o aluno,

quando tivermos que adicionar, por exemplo, 18 + 17, a história do "vai um", pois no momento em que ele juntar 8 cubinhos com 7 cubinhos vai obter 15 cubinhos. Como 15 cubinhos é a mesma coisa que 1 barra e 5 cubinhos, então juntamos essa barra às outras duas presentes na representação do 18 e do 17, para obter 3 barras e 5 cubinhos, e não simplesmente mecanizar. “8 e 7”, 15, fica 5 e vai 1, como eu trabalhava nas minhas aulas. Hoje tenho consciência de que é necessário a criança aprender compreendendo, sabendo o porquê das coisas e não simplesmente mecanizando procedimentos e regras, como eu aprendi.

PX comentou: “Com esse jogo fica fácil trabalhar com eles a equivalência”. Perguntamos: “Como?” e ela respondeu: “Ah! mostrar, por exemplo, que duas dezenas é a mesma coisa que 20 unidades. Eu não ia trabalhar com eles assim nunca, pois eu aprendi que nunca podia ficar mais de 9 unidades: quando completasse 10 já tinha que falar dezena e não unidades, imagine 20!”

A representação que essa professora-aluna tinha sobre o SND certamente não favorecia aos seus alunos criarem procedimentos pessoais de cálculo ou compreenderem adequadamente o algoritmo tradicional de adição, uma vez que ela mesma não tinha uma compreensão clara. Podemos perceber que a mesma situação ocorre com PZ, quando acrescenta: “É muito importante fazer essas relações de equivalência. Tenho certeza de que meus alunos não fazem isso nunca, pois nem eu mesma tinha despertado para isso”.

A etapa seguinte do nosso trabalho consistia nos registros dos resultados da atividade do “Nunca Dez”, citada anteriormente. Os números colocados foram bastante variados. O menor deles foi 34, e o maior 102. Analisando os registros numéricos, pedimos que os professores-alunos descrevessem algumas

regularidades que observavam nas escritas que haviam feito. Dentre as respostas dadas registramos as seguintes regularidades:

• todas as dezenas exatas terminavam em zero; • todas as dezenas tinham dois algarismos;

• existiam dez números de dois algarismos que começavam com um, dez que começavam com dois, dez que começavam com três, e assim por diante.

Discutimos a idéia de Lerner e Sadovsky (1996) ao proporem um trabalho de exploração das regularidades presentes na seqüência numérica natural para que o aluno possa compreender a organização do sistema e avançar na utilização da escrita numérica. Segundo ainda essas pesquisadoras, estando a numeração escrita presente no cotidiano das pessoas, as crianças têm contato com esse sistema de escrita e constroem hipóteses de seu funcionamento, com base nas regularidades que observam. Porém os professores-alunos foram unânimes em seus depoimentos ao relatarem que, para o ensino do Sistema de Numeração Decimal em geral, consideravam como caminho mais natural começar ensinando os números de 1 a 9 e, depois de “apresentar” o zero, introduzir a noção de dezena como agrupamento de 10 e a escrita. Eles usavam procedimentos semelhantes para representar as outras ordens, pois esse era o caminho no qual se sentiam seguros.

Conforme as idéias de Pavanello (2004), com essa maneira de trabalhar, eles fragmentavam o Sistema de Numeração Decimal, dificultando a compreensão da criança sobre as características e a organização geral do sistema.

Para a realização da atividade referente a agrupamentos e trocas na base 10, pedimos inicialmente que os professores-alunos construíssem um ábaco de papel, dobrando uma folha de sulfite em quatro partes e, em seguida, solicitamos que

desenhassem as peças do material dourado ou escrevessem o nome de cada uma delas em cada uma das quatro partes, começando com os cubinhos na coluna da direita, as barras na coluna vizinha da esquerda, e assim por diante. Em seguida, distribuímos a cada grupo de três participantes uma quantidade de peças do material dourado suficiente para que fosse possível fazer todas as trocas necessárias na atividade. Durante o desenvolvimento dessa atividade, priorizamos acompanhar mais de perto os procedimentos de Px, Py e PZ, que passaremos a relatar abaixo.

As questões propostas para reflexão foram:

a) Com 9 barras e 9 cubinhos no ábaco, que modificações sofrerá o número se acrescentarmos mais um cubinho?

b) Com uma placa e 9 cubinhos, se acrescentarmos 1 cubinho?

c) E com 9 placas, 9 barras e 9 cubinhos, se acrescentarmos 1 cubinho?

Solicitamos ainda que descrevessem o procedimento efetuado nas respostas a cada uma das as questões.

Os professores-alunos não apresentaram nenhuma dificuldade na realização das trocas utilizando o material dourado, nem ao fazerem o registro numérico do novo número. A grande dificuldade surgiu quando lhe perguntamos quantas unidades, dezenas e centenas tinha o número registrado. Eles sempre respondiam com o algarismo que ocupava a ordem correspondente. Mesmo quando insistíamos para que lembrassem das trocas realizadas, eles mantinham a mesma resposta, enfatizando que, nas trocas, as unidades passam a ser dezenas, as dezenas passam a ser centenas, e assim sucessivamente. Ou seja, na compreensão desses professores-alunos, esses dois conceitos distintos parecem ser equivalentes.

Essas observações nos levam a acreditar que a formação tradicional desses professores-alunos estava de tal maneira arraigada, que, mesmo quando praticavam ações com o material manipulativo, fazendo registros e sendo instigados a refletir sobre essas ações, apresentavam muitas dificuldades em reformular os conhecimentos anteriores.

Nosso objetivo com essa atividade era propor aos professores-alunos desafios, sugerir pistas de reflexão e análise das situações-problema apresentadas, tomando como ponto de partida o conhecimento que eles já possuíam a respeito dos agrupamentos e trocas. Para tal, encontramos grande respaldo no valor que a teoria vygotskiana dá ao processo de interação e, em nosso caso específico, como educadores, às intervenções pedagógicas no momento da construção do conhecimento. Aqui é fundamental discutirmos um pouco a noção de zona de desenvolvimento proximal, que fornece subsídios pra reforçar o papel desafiador que o professor deve exercer em seu trabalho com os alunos.

A zona de desenvolvimento proximal (ZDP) é, por muitas vezes, considerada o principal conceito da teoria de Vygotsky, pois é fundamental para a compreensão das relações entre desenvolvimento e aprendizagem, professor/aluno e aluno/aluno. Ela é, para Vygotsky (2000),

a distância entre o nível de desenvolvimento real, que se costuma determinar através da solução independente de problemas, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através da solução de problemas sob a orientação de um adulto ou em colaboração com companheiros mais capazes (VYGOTSKY, 2000, p.112)

Vygotsky aponta o conceito de zona de desenvolvimento proximal como básico para entender as relações entre desenvolvimento e aprendizagem, colocando que é no âmbito daquela que pode ocorrer a aprendizagem, referindo-se,

principalmente, à construção de um conhecimento que se dá quando um adulto desafia o aprendiz com questionamentos ou pequenos problemas, levando este a um desempenho além do que sua estrutura de pensamento, naquele momento, permitiria. Nessa visão vygotskiana, cabe ao educador o papel de interventor, desafiador e provocador de situações que levem os alunos a aprenderem a aprender.

Observando os demais professores-alunos durante a realização das atividades, constatamos as mesmas dificuldades apresentadas pelo grupo da amostra. Como as dúvidas eram gerais, sentimos a necessidade de prolongar um pouco mais as discussões a respeito desse assunto, ou seja, criar situações para que pudéssemos atuar na ZDP da maioria deles.

Ressaltamos aqui uma dessas dificuldades, surgida em um dos momentos de discussões do grupo, quando perguntamos quantas dezenas eles achavam que havia no número registrado por eles, 110. Todos do grupo responderam: 1 dezena. Lançamos, então, a pergunta ao grande grupo e somente dois professores-alunos responderam: 11 dezenas.

Como todos os grupos tinham a sua disposição o material dourado, pedimos que representassem com suas peças o número 128. Em seguida, com a finalidade