ATIVIDADES DESENVOLVIDAS PELO PROFESSOR PESQUISADOR

Iniciamos com uma aula dialogada e reflexiva, onde apresentamos o tema de estudo e através de um diálogo bastante interativo, procuramos identificar os conhecimentos prévios dos alunos a respeito da Trigonometria, como forma de organizar o conhecimento acumulado de modo a se conectar a esses, novos conceitos. De acordo com Ausubel (1980, apud PEREIRA, 2012):

(...)‟‟ o conhecimento novo, para ser aprendido, precisa estar ancorado em conceitos prévios do aluno, proporcionando, dessa forma, um efetivo aprendizado‟‟.

Concordamos também com Moreira (2006, apud PEREIRA, 2012, p. 45), quando afirma, ‟‟ o uso de organizadores prévios é a principal estratégia advogada por Ausubel para deliberadamente, manipular a estrutura cognitiva a fim de facilita a

aprendizagem‟‟. Logo, após feitas as devidas análises de quanto conhecimento eles tinham

da Trigonometria, partimos para uma breve abordagem histórica sobre alguns fatos relativos a ela. Sua importante contribuição como instrumento para resolver problemas práticos de medidas, instrumento de navegação, cálculo de distâncias inacessíveis, entre outras. Na ocasião mostramos ilustrações de alguns instrumentos que utilizam os princípios trigonométricos, o Teodolito, o Astrolábio e o Sextante, figuras que poderão ser observadas logo após o texto introdutório.

3.5.1. Introdução da Trigonometria

A Trigonometria (do grego trigono = triângulo e metria = medida) teve origem na resolução de problemas práticos relacionados principalmente à navegação e à Astronomia.

Esses problemas traziam a necessidade de calcular grandes distâncias, que não podiam ser determinados com os instrumentos da época.

de ângulos e de segmentos. Por esse motivo, em sua origem a Trigonometria foi considerada uma extensão da Geometria.

O triângulo retângulo sempre exerceu bastante curiosidade e uma atração especial para o homem desde a Antiguidade.

Todavia, a Trigonometria não se limita ao estudo de triângulos. Encontramos aplicações dela na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina etc.

Há indícios de que os babilônicos, efetuaram estudos rudimentares de Trigonometria. As descobertas feitas no campo da Astronomia eram baseadas nos triângulos retângulos. Isso veio a facilitar a noção de localização, o traçado de rotas terrestres e de navegação. Mais tarde, a Astronomia, estudada por egípcios e gregos, foi a grande impulsora do desenvolvimento da Trigonometria.

(A Conquista da Matemática de Giovanni; Castrucci e Giovanni Jr, 2002).

FIGURA 16 - Astrolábio FIGURA 17 - Teodolito FIGURA 18 - Sextante

Fonte: www.e-portugal.org em 01/11/2014

Nesse sentido, é importante salientar a relevância da História da Matemática como um recurso capaz de mostrar para aluno que o processo de construção do conhecimento se deu na busca de soluções práticas para os mais variados problemas que o homem encontrou em sua caminhada. A isso diz D‟Ambrósio (1996, p. 13) (...)‟‟ não é necessário que o professor seja um especialista para introduzir História da Matemática em seu curso. (...). Basta colocar aqui e ali algumas reflexões. Isto pode gerar muito interesse pela aula‟‟.

3.5.2. Demonstrações da Trigonometria na Astronomia

Partimos então para uma interessante aplicação da Trigonometria na Astronomia, como forma de motiva os alunos e mostrar sua importante aplicabilidade na ciência.

Primeiramente, fizemos a seguinte indagação aos alunos: Pelos conhecimentos que vocês têm, como seria possível calcular as distâncias

aproximadas dos planetas Mercúrio e Vênus ao Sol?

Após ouvir as mais variadas respostas dos alunos, todas baseadas em filmes que eles viram pela TV sobre naves espaciais e foguetes, iniciamos uma demonstração da aplicação da Trigonometria na Astronomia, ciência que contribuiu muito para o conhecimento trigonométrico.

O cálculo das distâncias aproximadas de Mercúrio e Vênus ao Sol é muito simples e não depende do conhecimento de seus períodos siderais (Período de revolução do planeta em torno do Sol). Esses dois planetas se situam em extremos opostos, no que diz respeito à visibilidade.

O planeta Vênus é muito fácil de ser visto, seja como „‟ estrela matutina‟‟ ou „‟ estrela vespertina‟‟, pois ele é o astro mais brilhante no céu, depois do Sol e da Lua. Mercúrio é diferente, estando muito perto do Sol, não é fácil localizá-lo, já que só será visto quase ao raiar do Sol, ou pouco depois do Sol poente, de preferência quando em elongação máxima. (Afastamento angular)

Calculando a distância de Mercúrio ao Sol, primeiramente temos que, a elongação máxima é de aproximadamente de 23°. Quando isso acontece (figura 19) o triângulo STM é retângulo em M, logo,

Sen. 23° = 𝑆𝑀_𝑆𝑇→ 0, 39 = 𝑆𝑀_𝑆𝑇→ = 0,39ST FIGURA 19 - Órbita de Mercúrio Sen. 23° ≈ 0, 39

Como podemos observar, Mercúrio dista do Sol 0,39 vezes a distância da Terra ao Sol. Agora vamos calcular a distância do planeta Vênus ao Sol.

Como fizemos com o cálculo anterior, consideremos a elongação de 47°. Dessa forma, temos,

Sen. 47° = 𝑆𝑉_𝑆𝑇→ 0, 73 = 𝑺𝑽_𝑺𝑻→ VS = 0,73ST FIGURA 20 - Órbita de Vênus

Sen. 47° ≈ 0, 73

Assim, observamos que Vênus, dista 0,73 vezes a distância da Terra ao Sol.

Fonte: Ávila, 2004, p. 39

Esta demonstração teve como intuito principal, mostrar para os alunos uma das aplicações do conteúdo trigonométrico na Astronomia como forma de motivá-los, preparando-os para o entendimento do assunto.

Como afirma o PCN: (2001, p. 128), “o estudo de alguns problemas resolvidos pelos egípcios poderão mostrar a importância da generalização das relações espaciais e suas representações para resolver situações mais diversificadas e complexas”.

Antes do desenvolvimento das tarefas, tomamos o cuidado de fazer uma sondagem a respeito de razões, proporções de segmentos, catetos, hipotenusa e medida de ângulo com o auxílio de transferidor, afim de não dificultar o andamento do processo de construção dos conceitos trigonométricos, e ao mesmo tempo, de tentar criar um elo de ligação do conteúdo acumulado com a construção dos novos conceitos.

3.5.3. Formalização das razões trigonométricas

Após a construção dos triângulos e das operações com as razões entre os catetos e hipotenusa (primeira atividade), percebemos através das respostas orais e

escritas, que os alunos conseguiram assimilar alguns resultados ocorridos nas atividades. Eles perceberam que, independente das medidas dos lados dos triângulos, as razões entre os lados das figuras se mantinham constantes, se considerado o mesmo ângulo. As diferenças, encontradas nas operações, se deram nas imprecisões de algumas medidas e nos arredondamentos de alguns resultados obtidos.

Logo após, feitas algumas discussões, confirmações e análises dos resultados obtidos nas tarefas desenvolvidas pelos estudantes, começamos a formalizar as razões trigonométricas básicas, a partir de um triângulo retângulo, onde apresentamos suas respectivas fórmulas. „‟ Essas razões se tornaram fundamentais na resolução de problemas de topografia, Astronomia e Física, ou problemas atuais. ‟‟ Eves (2004, p. 22)

Utilizamos para a formalização das razões trigonométricas, o triângulo retângulo

MPQ, da figura abaixo.

FIGURA 21 - Triângulo MPQ

Sen.β = cateto oposto/ hipotenusa Cos. β = cateto adjacente / hipotenusa Tg. β = cateto oposto / cateto adjacente Sen. β= 𝒒 𝒑- Cos. β = 𝒎 𝒑 - Tag. β = 𝒒 𝒎

A seguir apresentamos um exemplo da aplicação da razão trigonométrica em uma situação real. Ou seja, o cálculo da altura de um edifício com o uso de um Teodolito. Fizemos uma estimativa da distância do observador ao prédio e, na ocasião, empregamos a razão tangente para o cálculo da altura do edifício.

FIGURA 22 - Cálculo da altura de um edifício

Fonte: www.meteorotica.blogspot.com em 01/11/2014 q M P Q p