2.2 Equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao abstratas
2.2.1 Atrator global fraco
Nesta subse¸c˜ao vamos definir o atrator global fraco para a equa¸c˜ao (2.42) e o rela-cionaremos com o atrator de trajet´orias A.
Sejam E e E0 espa¸cos de Banach tais que E ֒→ E0. Assumimos que toda trajet´oria u da equa¸c˜ao (2.42) satisfaz u∈ L∞(R+, E) e ´e uma fun¸c˜ao fracamente cont´ınua com valores num espa¸co de Banach E0, ent˜ao, pelo Teorema 1.1.18, u ´e uma fun¸c˜ao fracamente cont´ınua com valores em E, isto ´e, para todo funcional ϕ ∈ E′ a fun¸c˜ao hu, ϕi ´e cont´ınua sobre R+. Se u ∈ K+, ent˜ao u(s)∈ E e
ku(s)kE 6kukL∞
(R+,E), para todo s > 0.
Suponhamos queF+
b ⊂ L∞(R+; E) e a topologia Θ+loc´e mais forte (ou mais fina) do que a topologia do espa¸co Cw(R+; E) = {u : R+ → E : u ´e fracamente cont´ınua}. Logo, se uma sequˆencia de fun¸c˜oes {um} ⊂ Floc+ ´e convergente na topologia Θ+loc, ent˜ao essa sequˆencia tamb´em converge na topologia do espa¸co Cw(R+; E). Uma referˆencia que trata de compara¸c˜ao entre topologias ´e o livro de Munkres, J. R. [38], p´agina 77.
2.2 Equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao abstratas 53 conjunto B no instante t por
B(t) = {u(t) : u ∈ B} ⊂ E. Os conjuntos B(t) s˜ao uniformemente limitados em E, isto ´e,
kB(t)kE . = sup
u∈B(t)kukE 6kBkL∞
(R+;E).
Se A⊂ K+´e o atrator de trajet´orias da equa¸c˜ao (2.42), ent˜ao o conjunto A ´e limitado em L∞(R+; E), pois Fb+ ⊂ L∞(R+; E) e ´e compacto em Cw(R+; E), pois a topologia Θ+loc ´e mais fina do que a topologia do espa¸co Cw(R+; E).
Consideremos a se¸c˜ao de A no instante t, isto ´e, A(t) ={u(t) : u ∈ A} ⊂ E.
A propriedade de invariˆancia estrita do atrator de trajet´orias A com rela¸c˜ao ao semigrupo {T (t)} implica que
A(t) = A(0),
para todo t > 0. Al´em disso, como A ´e limitado em L∞(R+; E) e compacto em Cw(R+; E), segue que o conjunto A(0) (=K(0)) ´e limitado em E, fracamente fechado em E e, portanto, fortemente fechado em E. Observemos que, pelo Teorema 2.2.10, temos A(0) = K(0), onde K(0) ´e a se¸c˜ao do n´ucleo K da equa¸c˜ao (2.42) no espa¸co Fb.
Defini¸c˜ao 2.2.12. Um conjunto A ⊂ E ´e o atrator global fraco da equa¸c˜ao (2.42) se ´e um subconjunto fechado e limitado e satisfaz as seguintes propriedades
(1) para todo conjunto B ⊂ K+ ⊂ F+
b , a se¸c˜ao B(t) ´e atra´ıda por A na topologia fraca de E quando t → +∞, isto ´e, para toda vizinhan¸ca Ow(A) ⊃ A na topologia fraca de E existe τ = τ (B, Ow) tal que
B(t) ⊂ Ow(A), para todo t > τ ;
(2) A ⊂ E ´e um conjunto limitado e fechado minimal que atrai as se¸c˜oes de todos os elementos de K+ na topologia fraca de E quando t→ +∞.
Teorema 2.2.13. Suponhamos que as hip´oteses do Teorema 2.2.8 est˜ao satisfeitas. Se F+
b ⊂ L∞(R+; E) e a topologia Θ+loc ´e mais fina do que a topologia do espa¸co Cw(R+; E), ent˜ao o conjunto A= A(0) =. K(0) ´e o atrator global fraco da equa¸c˜ao (2.42)
Demonstra¸c˜ao: Ver Chepyzhov, V. V. and Vishik, M. I. [9], Teorema 3.1, P´agina 225.
Observa¸c˜ao 2.2.3. Se na Defini¸c˜ao 2.2.12 o conjunto A ´e compacto em E e atrai as se¸c˜oes B(t) na norma de E, ent˜ao dizemos que A ´e o atrator global forte de (2.42).
Para finalizar essa subse¸c˜ao, vamos construir o atrator global do semigrupo solu¸c˜ao associado ao problema de Cauchy para a equa¸c˜ao (2.42) usando o atrator de trajet´orias.
Assumimos que o espa¸co de trajet´orias K+ da equa¸c˜ao (2.42) satisfaz a seguinte propriedade: para todo u0 ∈ E existe uma ´unica trajet´oria u ∈ K+ tal que
u(0) = u0 (2.49)
e u(t)∈ E, para todo t > 0 e para toda trajet´oria u ∈ K+. Assim, podemos definir a fam´ılia de operadores {S(t)} associada ao problema de Cauchy para a equa¸c˜ao (2.42), a saber
S(t) : E → E, S(t)u0 = u(t).
A unicidade de solu¸c˜ao do problema de Cauchy implica que a fam´ılia {S(t) : t > 0} ´e um semigupo sobre E.
O pr´oximo resultado estabelece a existˆencia do atrator global para o semigrupo {S(t)}.
Teorema 2.2.14. Suponhamos que as hip´oteses do Teorema 2.2.8 est˜ao satisfeitas. Assu-mimos que o semigrupo transla¸c˜ao {T (t)} tem um conjunto atrativo P1 ⊂ K+, compacto em C(R+, E) e o problema (2.42), (2.49) tem solu¸c˜ao ´unica emK+. Al´em disso,F+
b ⊂ Cb(R+; E) e para todo subconjunto limitado B0 ⊂ E, as trajet´orias u ∈ K+tais que u(0)∈ B0 pertencem a um conjunto limitado B = B(B0)⊂ Fb+. Ent˜ao o semigrupo {S(t)} tem um atrator global A ⊂ E, que ´e compacto e
A = A(0) = {u(0) : u ∈ A}.
Cap´ıtulo 3
Atrator de trajet´orias de uma equa¸c˜ao
parab´olica
H´a muitos trabalhos que lidam com sistemas de equa¸c˜oes de rea¸c˜ao-difus˜ao da forma (∂u
∂t = D∆u + f (u) (t, x)∈ (0, ∞) × Ω
∂u
∂ν = 0 (t, x)∈ (0, ∞) × Γ, (3.1)
onde Ω ⊂ Rn ´e um subconjunto aberto, limitado, conexo, com fronteira suave Γ = ∂Ω, u ∈ Rm, D = diag(d1, . . . , dm), dj > 0 ´e uma constante e f : Rm → Rm ´e uma fun¸c˜ao de classe C2; dentre eles, destacamos os que tratam da caracteriza¸c˜ao do fluxo de (3.1) em termos da equa¸c˜ao diferencial ordin´aria
du
dt = f (u). (3.2)
Esse problema foi estudado por muitos autores, dos quais mencionamos Carvalho, A. N. [5], [6], Hale, J. K. [22], Hale, J. K. Hale and Rocha, C. [24], [25] e Conway, E., Hoff, D. and Smoller, J. [19] e observou-se que quando o coeficiente de difus˜ao ´e grande existe perda da dependˆencia espacial no comportamento assint´otico de suas solu¸c˜oes. Isso porque h´a um “gap” entre o autovalor zero do operador laplaciano com condi¸c˜ao de Neumann e seu primeiro autovalor positivo, o que assegura que o espa¸co das fun¸c˜oes constantes ´e uma variedade invariante exponencialmente atratora.
Em particular, em Conway, E.; Hoff, D.; Smoller, J. [19] o teorema principal afirma que existem constantes c1, c2 > 0 tais que para cada t > 0 temos
k∇u(t, ·)kL2 6c1e−σt e ku(t, ·) − u(t)kL2 6c2e−σt,
onde u∈ Rm, m > 1, ´e a solu¸c˜ao do seguinte sistema de equa¸c˜oes de rea¸c˜ao-difus˜ao ∂u ∂t = D∆u +Pn j=1Aj(x, u)∂u ∂xj + f (u) (t, x)∈ (0, ∞) × Ω ∂u ∂ν = 0 (t, x)∈ (0, ∞) × Γ u(0, x) = u0(x) x∈ Ω,
Ω ⊂ Rn, n > 1, ´e um subconjunto aberto, limitado, conexo, com fronteira suave Γ, D > 0 ´e uma matriz diagonal cujas entradas s˜ao constantes positivas, Aj’s s˜ao fun¸c˜oes matriciais cont´ınuas, u ´e a m´edia de u em Ω e ´e a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria, e σ = dλ − M − a√nλ onde λ ´e o menor autovalor positivo do operador −∆ em Ω com condi¸c˜ao de fronteira Neumann homogˆenea, a =. {|Aj(x, u)| : x ∈ Ω, u ∈ Σ, 1 6 j 6 n} com Σ =
m
\
k=1
{u ∈ Rm
: ak 6 uk 6 bk}, onde −∞ < ak < bk < ∞, d denota o menor autovalor da matriz D e M = max. {|f′(u)| : u ∈ Σ}. Observemos que se d ´e grande, ent˜ao σ ´e grande. Assim, para cada t > 0 fixo o gradiente de u fica pequeno e u tende para sua m´edia quando o parˆametro de difus˜ao torna-se grande.
Um resultado sem a hip´otese restritiva de existˆencia de uma regi˜ao invariante Σ para (3.1) foi obtido por Hale, J. [23] e o transcrevemos a seguir
Teorema 3.0.15. Sejam Ω ⊂ Rn, X = L2(Ω, Rm), A = −∆ : dom(A) → X, dom(A) = {φ ∈ W2,2(Ω, Rm) : ∂φ∂ν = 0 em Γ} e consideremos α > 3
4 e n 6 3. Se A ´e um atrator compacto da equa¸c˜ao (3.2), ent˜ao existe δ > 0 tal que A considerado como subconjunto do espa¸co das fun¸c˜oes constantes de Xα ´e um atrator compacto da equa¸c˜ao (3.1) se dλ > δ. Ou seja, existe uma vizinhan¸ca V ⊃ A em Xα e constantes K > 0, c > 0 tais que para todo u0 ∈ V, a solu¸c˜ao u da equa¸c˜ao (3.1) passando por u0 em t = 0 satisfaz
ku(t, x) − u(t)kXα 6Ke−ct, t > 0, onde u(t) = |Ω|1 R
Ωu(t, x)dx e u(t) satisfaz a equa¸c˜ao du(t)
dt = f (u(t)) + g(t, u0), onde |g(t, u0)| 6 Ke−ct, t > 0.
Observemos que os trabalhos citados acima lidam com problemas bem postos. No contexto de problemas de Cauchy sem unicidade de solu¸c˜ao e envolvendo o objeto de estudo deste trabalho, o atrator de trajet´orias, n˜ao encontramos referˆencias na literatura. Pretende-mos ent˜ao dar a nossa contribui¸c˜ao ao estudo do comportamento assint´otico de problemas parab´olicos com difus˜ao grande, cujo problema de Cauchy correspondente n˜ao goza da pro-priedade de unicidade. Nossa pesquisa vai se restringir `a investiga¸c˜ao do comportamento
57 assint´otico das solu¸c˜oes do seguinte problema de rea¸c˜ao-difus˜ao quando fazemos d→ +∞
(∂u
∂t = d∆u− f(u) + |u|α−1u (t, x)∈ (0, ∞) × Ω
∂u
∂ν = 0 (t, x)∈ (0, ∞) × Γ, (3.3)
onde Ω ⊂ Rn (n > 3) ´e um subconjunto aberto, limitado, conexo, com fronteira suave Γ e para cada ponto x ∈ Γ, ν = ν(x) indica o vetor normal exterior unit´ario a Γ no ponto x. Al´em disso, d > 0, α∈ (0, 1) e f : R → R ´e uma fun¸c˜ao de classe C1 satisfazendo as seguintes hip´oteses: existem constantes positivas c1, c2, c3, C, cf e 2 < p < n2n−2 tais que
f′(u) > cf, (3.4) c1|u|p − c3 6f (u)· u (3.5) , |f(u)|p−1p 6c2(|u|p + 1) (3.6) e
|f(u1)− f(u2)| 6 C|u − v|(1 + |u1|p−2+|u2|p−2), (3.7) para quaisquer u, u1, u2 ∈ R. Destacamos que a desigualdade (3.5) ´e denominada condi¸c˜ao de dissipatividade de f.
Vamos come¸car aplicando o roteiro da Se¸c˜ao 2.2 na constru¸c˜ao do atrator de tra-jet´orias Ad de (3.3) para cada d > 0. Isso ser´a feito na Se¸c˜ao 3.1 sem a hip´otese (3.7) que ´e desnecess´aria nesse ponto.
Al´em disso, na Se¸c˜ao 3.2 vamos considerar a equa¸c˜ao (3.3) com um parˆametro ǫ pequeno no seu termo de rea¸c˜ao e construiremos o correspondente atrator de trajet´orias. Faremos isso para o problema a seguir
(∂u
∂t = d∆u− f(u) + ǫ|u|α−1u (t, x)∈ (0, ∞) × Ω
∂u
∂ν = 0 (t, x)∈ (0, ∞) × Γ, (3.8)
com as hip´oteses (3.4)-(3.6) e verificaremos que o atrator de trajet´orias do problema envol-vendo o parˆametro ǫ est´a contido numa vizinhan¸ca do atrator de trajet´orias do respectivo problema limite com rela¸c˜ao a topologia Θ+locquando ǫ→ 0+. Este ser´a o conte´udo da Se¸c˜ao 3.2.
dado pelas autofun¸c˜oes {wj}∞ j=0 do problema de Neumann ( ∆w + λw = 0 em Ω ∂w ∂ν |Γ= 0.
e indicaremos por Y o espa¸co das fun¸c˜oes ortogonais a autofun¸c˜ao w0 associada ao autovalor λ0 = 0. Por meio da decomposi¸c˜ao do espa¸co L2(Ω) = [w0]⊕ Y vamos reescrever a equa¸c˜ao (3.3) como um sistema de equa¸c˜oes. Considerando a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria
(
˙γ(t) =−f(γ(t)) + |γ(t)|α−1γ(t)
γ(0) = γ0 ∈ R (3.9)
e o seu respectivo atrator de trajet´orias A∞, demonstraremos que a fam´ılia {Ad}d∪ gA∞ ´e semicont´ınua superiormente em d = +∞, onde gA∞ ´e a imers˜ao de A∞ em [w0]⊕ Y.