Esta seção é voltada para estimativas da dimensão fractal de atratores de semigrupos gradient-like relativos a uma família disjunta de invariantes isolados em função da dimen-são fractal dos conjuntos instáveis locais dos invariantes isolados, suas propriedades de atração exponencial e a constante de Lipschitz do semigrupo.
2.5 Atratores de semigrupos gradient-like e sua dimensão fractal 143
Definição 2.5.1 Seja{T (t) : t > 0} um semigrupo gradient-like relativamente à família
disjunta de conjuntos invariantes isolados Ξ = {Ξ1,· · · , Ξn} e com atrator global A.
Diremos que um conjunto invariante isolado Ξi é uma fonte, se Ws
loc(Ξi)∩ A = Ξi; e um
sumidouro se Wu(Ξi) = Ξi. Caso contrário diremos que Ξi é uma sela.
É fácil ver que, se {T (t) : t > 0} é um semigrupo gradient-like relativamente à família disjunta de conjuntos invariantes isolados Ξ = {Ξ1,· · · , Ξn} e com atrator global A, então existem pelo menos uma fonte e um sumidouro.
Observação 2.5.2 Suponha que {T (t) : t > 0} é um semigrupo gradient-like
relati-vamente à família disjunta de conjuntos invariantes isolados Ξ = {Ξ1,· · · , Ξn} e com
atrator global A. É fácil ver que o atrator global A de {T (t) : t > 0} coincide com o atra-tor global A′ do semigrupo gradient-like discreto {Sn : n∈ N}, onde S = T (1). De fato,
é claro que A ⊂ A′. Recíprocamente, o atrator A′ é dado como a união dos conjuntos instáveis de conjuntos invariantes isolados e, dado um ponto z ∈ A′, existe um conjunto invariante isolado Ξi e uma solução global ξ : Z → A′ tal que ξ(0) = z e ξ(−n)n→∞→ Ξi. Agora podemos definir φ(−t) para todo t > 0 da seguinte maneira: dado n ∈ N, defina
φ(−t) = T (n − t)ξ(−n), para todo 0 6 t 6 n.
Isto obviamente nos dá uma solução global φ de {T (t) : t > 0} tal que φ(0) = z e
ξ(−t)t→∞→ Ξi, provando que A = A′.
Devido a esta observação, podemos considerar apenas o caso discreto e começamos pelo seguinte resultado fundamental.
Proposição 2.5.3 Seja {Tn : n ∈ N} um semigrupo discreto com atrator global A e S = T|A. Suponha que S é Lipschitz contínuo com constante de Lipschitz c > 1. Seja
(A, A∗) um par atrator repulsor em A, e suponha que:
(ii) existem constantes M > 1 e ω > 0 tais que, para todo K subconjunto compacto K de A com K ∩ A∗ = ∅ temos que dH(SnK, A) 6 Me−ωn, para todo n ∈ N.
Então c(B) 6 c(A) 6 max ω + ln(c) ω c(B), c(A) .
Prova: Claramente, como B ⊂ A, c(B) 6 c(A). Somente temos que provar a segunda desigualdade. Para isto, dividimos a prova em quatro passos:
Passo 1: Defina Ωn = Sn(A \ B) \ Sn+1(A \ B), para todo n ∈ N. Note que Ω0 = (A \ B) \ S(A \ B) ⊂ S(B) \ B ⊂ S(B) e portanto c(Ω0) 6 c(B).
Agora obtemos uma estimativa sobre o número mínimo N(r, Ωk) de bolas de raio r necessárias para cobrir Ωk em termos do número de bolas necessárias para cobrir Ω0. Seja N0 = N(r/ck, Ω0) e {x1, . . . , xN0} uma seqüencia finita de pontos em Ω0 tal que
Ω0 ⊂
N0
[
i=1
B(xi, r/ck).
Faça, para cada i = 1, . . . , N0, ξi = Sk(xi)∈ Ωk. Então, para cada y ∈ Ωk existe z ∈ Ω0
tal que y = Sk(z), z∈ B(xi, r/ck) para algum i = 1, . . . , N0 e temos
ky − ξik = kSk(z)− Sk(xi)k 6 ckkz − xik < r, para todo y ∈ Ωk. Assim, provamos que Ωk ⊂ ∪N0
i=1B(ξi, r), o que nos dá que N(r, Ωk) 6 N0.
Passo 2: Dado r > 0, como dH(Sn(A \ B), A) 6 Me−ωn para todo n > 0, existe n0 = 1 ωln(Mr) tal que G := [ j>n0 Ωj ! ∪ A ⊂ Or(A),
onde Or(A) denota que r-vizinhança de A. Assim, se A⊂ ∪N (r,A)i=1 B(xi, r) with xi ∈ A para todo i = 1, . . . , N(r, A), então Or(A) ⊂ ∪N (r,A)i=1 B(xi, 2r) portanto N(2r, G) 6 N(r, A).
2.5 Atratores de semigrupos gradient-like e sua dimensão fractal 145
Como esta relação é válida para todo r > 0, N(r, G) 6 N(r/2, a).
Passo 3: Do Passo 1, se H :=Sn0 j=0Ωj temos N(r, H) 6 n0 max k=0,...,n0 N(r/ck, Ω) = n0N(r/cn0, Ω0), como c > 1.
Passo 4: Primeiro note que A = B ∪ G ∪ H e temos
N(r,A) 6 3 max{N(r, B); N(r, H); N(r, G)} 6
63 max{N(r, B); n0N(r/cn0, Ω0); N(r/2, A)}, como a funão logaítimo é crescente„
ln N(r,A) 6 ln 3 + max{ln N(r, B); ln n0+ ln N(r, Ω0); ln N(r/2, A)}. Logo ln N(r,A) ln(1/r) 6 ln 3 ln(1/r) + max ln N(r, B) ln(1/r) ; ln n0 ln(1/r) + ln N(r, Ω0) ln(1/r) ; ln N(r/2, A) ln(1/r) .
Obviamente, lim sup
r→0+
ln 3
ln(1/r) = 0. Agora calcularemos os outros termos: (a) lim sup r→0+ ln n0 ln(1/r) = lim supr→0+ ln 1/ω ln(1/r)+ lim supr→0+ ln(ln(2M/r)) ln(1/r) = 0; (b) lim sup r→0+ ln N(r/cn0, Ω0) ln(1/r) = lim supr→0+ ln N(r/cn0, Ω0) ln(cn0/rcn0) = = lim sup r→0+ 1 1− n0ln c ln(cn0/r) ln N(r/cn0, Ω0) ln(cn0) , mas lim sup r→0+ 1 1− n0ln c ln(cn0/r) = lim sup r→0+ n0ln(c) ln(1/r) + 1 ,
e como 1 ωln(M r) 6 n0 6 1 ωln(M r ) + 1, lim sup r→0+ n0ln(c) ln(1/r) + 1 = ω + ln(c) ω , o que mostra que
lim sup r→0+ ln N(r/cn0, Ω0) ln(1/r) = ω + ln(c) ω . (c) lim sup r→0+ ln N(r/2, A) ln(1/r) = lim supr→0+ ln N(r/2, A) ln(2/2r) = lim sup r→0+ 1 1 + ln(1/2)ln(1/r) ln N(r/2, A) ln(2/r) = c(A).
Juntando (a), (b) e (c), obtemos c(A) 6 max c(B),ω + ln(c) ω c(Ω0), c(A) 6max ω + ln(c) ω c(B), c(A) .
Usando o fato que c(Ω0) 6 c(B), a proposição está agora completa.
Agora, usando esta proposição podemos estimar a dimensão fractal de um semigrupo gradient-like discreto {Tn: n ∈ N} em termos da dimensão fractal dos conjuntos instáveis locais dos conjuntos invariantes isolados.
Teorema 2.5.4 Seja {Tn : n ∈ N} um semigrupo gradient-like discreto relativamente à
família disjunta de conjuntos invariantes isolados Ξ = {Ξ1, . . . , Ξp} e atrator global A.
Suponha que a restrição T|A to A do operador T é uma função Lipschitz contínua com constante de Lipschitz c > 1 e suponha também que existem constantes M > 1 e ω > 0 tais que, para todo par atrator-repulsor (A, A∗) in A e todo subconjunto compacto K ⊂ A
com K ∩ A∗ = ∅ temos que
dH(Tn(K), A) 6 Me−ωn, para todo n > 0.
Finalmente, suponha que o conjunto instável local {Wu
loc(Ξi), i, . . . , p} são dados como
gráficos de função Lipschitz contínua. Nestas condiçõoes
max
i=1,...,pc(Wlocu (Ξi)) 6 c(A) 6 ω + ln(c)
2.5 Atratores de semigrupos gradient-like e sua dimensão fractal 147
Prova: Como{Tn; n∈ N} é um semigrupo discreto gradient-like existe pelo menos uma fonte. Seja Ξi uma dessas fontes Bi uma vizinhança em A de Ξi tal que Bi ⊂ Wu
loc(Ξi) e T (Bi) ⊂ Wu
loc(Ξi), de modo que c(Bi) = c(T (Bi)) = c(Wu
loc(Ξi)). Agora, é fácil ver que Ξi = A∗
i, onde Ai =∪j6=iWu
loc(Ξi). Pela proposição acima
c(Bi) 6 c(A) 6 max ω + ln(c) ω c(Bi), c(Ai) , isto é c(Wlocu (Ξi)) 6 c(A) 6 max ω + ln(c) ω c(W u loc(Ξi)), c(Ai) .
Agora restringimos o operador T ao atrator Ai. Portanto temos um semigrupo discreto gradient-like com atrator A e Ξ1
= Ξ\ {Ξi}, o que tem pelo menos uma fonte Ξk, com k6= i. Podemos usar o mesmo argumento acima para provar que
c(Wu
loc(Ξk)) 6 c(Ai) 6 max ω + ln(c) ω c(W u loc(Ξk)), c(Ak) .
E usando estes dois resultados, obtemos max
j=i,kc(Wlocu (Ξj)) 6 c(A) 6 max ω + ln(c) ω c(W u loc(Ξi)),ω + ln(c) ω c(W u loc(Ξk)), c(Ak) .
Este processo deve parar pois existem somente finitos conjuntos invariantes isolados e procedendo indutivamente obtemos o resultado desejado.
Observação 2.5.5 A prova deste teorema sugere uma certa ordem na família disjunta
de conjuntos invariantes isolados e, após um rearranjo na ordem desta família, podemos assumir Ξ = {Ξ1, . . . , Ξp} é tal que, Ξ1 é uma fonte em A, Ξ2 é uma fonte em A1, Ξ2 é a uma fonte da restrição de T e, tendo definido Ξj−1, Ξj é uma fonte para a restrição de
T a Ak =∪pj=kWu(Ξj), 1 6 j 6 p. Este reordenamento pode ser usado para formar uma
nova família N = {N1, . . . ,Nm} com m 6 p chamada decomposição por níveis de energia
Usando esta deocomposição podemos ver que a dimesão fractal dos conjuntos Wu
loc(Ξi) é
uma função decrescente do índice i, e obtemos que
c(Wu
loc(Ξ1)) 6 c(A) 6 ω + ln(c) ω c(W
u
loc(Ξ1)).
Nosso próximo resultado é um corolário do teorema anterior, uma vez que lembremos alguns fatos básicos relativos a seimigrupos discretos gradient-like {Tn: n∈ N} com um atrator A e um conjunto finito E = {e1, . . . , ep} de pontos fixos hiperbólicos. Primeira-mente recorde (veja [37] ou o Capítulo 5) que o conjunto instável (estável) local Wu
loc(ei) (Ws
loc) é o gráfico de uma função Lipschitz contínua. Agora, nessas condições, é fácil ver que existem somente um número finito de pares atratores repulsores (A, A∗); isto é, os pares (A, A∗), com
A = [
i∈I
I⊂{1,...,p}
Wu(ei).
Usando este fado e a atração exponencial de cada dos conjuntos instáveis locais, podemos provar que existem constantes M > 1 e ω > 0 tais que, para todo par atrator repulsor (A, A∗) e todo subconjunto compacto K de A com K ∩ A∗ = ∅ temos
dH(Tn(K), A) 6 Me−ωn, para todo n > 0.
Desses dois fatos obtemos o seguinte resultado:
Corolário 2.5.6 Seja {Tn : n ∈ N} um semigrupo discreto gradient-like com atrator
global A e conjunto de pontos fixos E = {e1, . . . , ep}. Suponha que a restrição de T a A
é uma função Lipschitz contínua com constante c > 1. Seja M > 1 e ω > 0 tais que, para todo par atrator repulsor (Ai, A∗
i), Ai =∪j6=iWu
loc(ej) e subconjunto compacto K de A com K ∩ A∗ = ∅ temos
dH(Tn(K), A) 6 Me−ωn, para todo n > 0.
Então,
max
i=1,...,pc(Wlocu (ei)) 6 c(A) 6 ω + ln(c)
Capítulo
3
Atratores para processos de evolução
Seja X um espaço métrico e d(·, ·) : X × X → [0, ∞) a sua métrica. Recorde que T denota R ou Z (T+
t ={s ∈ T : s ≥ t}, T−t ={s ∈ T : s ≤ t}), C(X) denota o conjunto das transformações contínuas de X nele mesmo e que P = {(t, s) ∈ T2 : t > s}. Um processo de evolução em X é uma família de transformações {S(t, s) : (t, s) ∈ P} em C(X) com as seguinte propriedades
1) S(t, t) = I, para todo t ∈ T,
2) S(t, s) = S(t, τ )S(τ, s), para todo t > τ > s, 3)P × X ∋ (t, s, x) 7→ S(t, s)x ∈ X is continuous.
Se X é um espaço vetorial normado e S(t, s) é linear para cada (t, s) ∈ P diremos que {S(t, s) : t > s ∈ T} é um processo de evolução linear.
A transformação S(t, s) toma cada estado x do sistema no instante inicial s e evo-luciona para o estado S(t, s)x do sistema no tempo final t. Observamos que, para um σ ∈ T fixo, o operador S(σ + τ, τ) pode ser um operador distinto para cada valor de τ ∈ T. Isto indica que, além do tempo decorrido σ, também o instante inicial τ pode desempenhar um papel importante no processo de evolução. A classe dos processos para os quais o tempo decorrido determina a evolução; isto é, os processos de evolução para os quais S(t, s) = S(t −s, 0) para todo t > s são chamados processos de evolução autônomos
e a família de operadores {T (t) : t > 0} dados por T (t) := S(t, 0), t > 0 satisfaz 1) T (0) = I,
2) T (t + s) = T (t)T (s), para todo t, s > 0, 3) [0,∞) × X ∋ (t, x) 7→ T (t)x ∈ X é contínua.
Uma família {T (t) : t > 0} em C(X) que satisfaz as propriedades acima é chamada de semigrupo. Reciprocamente, dado um semigrupo {T (t) : t > 0} a família {S(t, s) : (t, s)∈ P} definida por S(t, s) = T (t − s), t > s, é um processo de evolução. Quando X for um espaço vetorial normado e T (t) é um semigrupo e cada T (t) é linear, diremos que {T (t) : t > 0} é um semigrupo linear.
Em equações diferenciais, os processos de evolução são os sistemas dinâmicos naturais a serem estudados enquanto que os particulares sistemas dinâmicos associados às equações diferenciais autônomas são os semigrupos.
Um processo de evolução autônomo {S(t, s) : (t, s) ∈ P}, o comportamento das so-luções quando t → ∞, conhecido como dinâmica forwards, é o mesmo que o comporta-mento das soluções quando s → −∞, chamado dinâmica pullback. Como explicaremos mais tarde, para processos de evolução gerais, estes dois comportamentos assintóticos ou ‘limites dinâmicos’ não estão relacionados e podem produzir propriedades qualitativas completamente distintas. Um dos nossos propósitos é revelar algumas dessas propriedades dinâmicas novas que a dinâmica pullback pode conter.
Idealmente, o atrator de um sistema dinâmico dado deveria ser um objeto que contém
toda ou a parte significativa da dinâmica assintótica dos modelos associados ao sistema
dinâmico. Sua teoria deveria nos levar a um entendimento razoável do comportamento assintótico do model associado, incluindo a localização do atrator, a taxa com a qual ele atrai no espaço de estados e a sua dimansão ou complexidade.
Nas últimas poucas décadas, o conceito de atrator para sistemas dinâmicos autônomos foi sedimentado e atualmente sua teoria está adequada aos objetivos descritos acima. No caso não-autônomo, a teoria ainda está em desenvolvimento mas já se pode obeservar
151
que não existe um único conceito de atrator que se adeque a todos os objetivos acima. Na teoria apresentada a seguir, tentaremos explicar os conceitos, suas diferenças e suas características com o objetivo de modelar uma teoria que nos leve à compreenssão de ambos os sistemas dinâmicos autonomos e não-autonomos.
Recorde que se {S(t) : t ∈ T+} é um semigrupo que possui um atrator global A, então A é compacto, invariante e atrai subconjuntos limitados de X sob a ação de {S(t) : t ∈ T+}. Além disso,
A = {y ∈ X : existe uma solução global limitada x : T → X com x(0) = y}. (3.0.1) A noção de atrator para um processo de evolução requer que outros aspectos sejam levados em consideração. Para começar, um subconjunto A de X não será, em geral, fixado por um processo de evolução {S(t, s) : (t, s) ∈ P} e a noção de invariância precisa ser enfraquecida para uma noção que nos permita construir soluções globais. Com isto em mente, é natural definir invariância da seguinte forma:
Uma família {A(t) ⊂ X : t ∈ T} é invariante sob a ação de {S(t, s) : (t, s) ∈ P} se S(t, s)A(s) = A(t) para todo (t, s) ∈ P.
A seguir apresentaremos alguns exemplos que nos ajudarão a desenvolver uma noção adequada de atratores para processos de evolução. Considere os problemas de valor inicial
˙x(t) =−αx(t) + t x(s) = x0.
˙y(t) =−αy(t) + sen t y(s) = y0.
(3.0.2)
Cujas soluções são x(t, s; x0) = (x0+ 1 α2 −α1s)e−α(t−s)+ 1 αt−α12 e y(t, s; x0) = y0− 1 1 + α2[αsen s− cos s] e−α(t−s)+ 1 1 + α2[αsen t− cos t]. (3.0.3) Se definimos S1(t, s) : R → R, t > s e S2(t, s) : R → R, t > s, por S1(t, s)x0 = x(t, s; x0) e S2(t, s)x0 = y(t, s; y0), é claro que {Si(t, s) : (t, s) ∈ P} é um processo de
evolução, i = 1, 2. Vamos tornar evidente a importância do instante inicial s no estudo das propriedades assintóticas das soluções dos processos de evolução {Si(t, s) : (t, s)∈ P}, i = 1, 2, dados acima.
Primeiramente note que, todas as soluções de (3.0.3) existem globalmente e que todas as soluções de (3.0.3) tendem a +∞ quando t → +∞; isto é, todas as soluções são ilimitadas. Então, embora a presença do termo −αx(t) represente uma dissipação no sistema, a idéia de atração é perdida para este exemplo não dando qualquer informação sobre o comportamento assintótico do sistema.
Por outro lado, o efeito da dissipação pode ser observado se subtraímos duas soluções diferentes x1(t), x2(t) ou y1(t), y2(t) que corresponde a dados iniciais x1
0, x2 0 ou y1
0, y2 0. De fato, se denotamos essas duas soluções por z1(t), z2(t), temos que
d dt(z 1(t)− z2(t)) =−α(z1(t)− z2(t)), e logo, z1(t)− z2(t) = e−α(t−s)(x1 0− x2 0).
Isto siginifica que, embora todas as soluções explodam quando t tends a +∞, elas se
aproximam assintoticamente (uniformemente para dados iniciais em conjuntos limitados)
da solução x(t) = t α − 1 α2 ou y(t) = 1 1+α2[αsen t− cos t] of (3.0.3). Se consideramos as famílias A1(t) = 1 αt− 1 α2 t∈R e A2(t) = 1 1 + α2[αsen t− cos t] t∈R É claro que
i) S(t, s)A1(s) =A1(t) e T (t, s)A2(s) =A2(t) para todo t > s∈ R. ii) e, se B ⊂ R é limitado lim t→+∞dist(S(t, s)B,A1(t)) = 0 lim t→+∞dist(T (t, s)B,A2(t)) = 0 (atração forwards). (3.0.4)
153
Nestes exemplos parece razoável chamar as famílias {A1(t) : t∈ R} e {A2(t) : t ∈ R} de atratores globais para {S(t, s) : (t, s) ∈ P} e {T (t, s) : (t, s) ∈ P}. Note that {A1(t) : (t, s)∈ P} é ilimitado (cada A1(t) é unitário mas a família é ilimitada). Por outro lado, cada A2(t) é um ponto enquanto que a família {A2(t) : t∈ R} está contida no intervalo [−(1 + α2)−12, (1 + α2)−12]. Em ambos exemplos não existe um subconjunto fixo A de R que é invariante e para o qual
lim
s→−∞dist(S(t, s)x0,A) = 0.
Poderíamos então pensar em definir atrator para um processo da seguinte maneira:
Uma família {A(t) ⊂ X : t ∈ R} é um atrator para o processo {S(t, s) : (t, s) ∈ P} se é invariante, A(t) é compacto para cada t ∈ R e atrai subconjuntos limitados; isto é, para cada subconjunto limitado B ⊂ X e s ∈ R, limt→+∞dist(S(t, s)B,A(t)) = 0. Infeliz-mente tal definição soInfeliz-mente seria adequada para uma pequena classe de processos com propriedades bastante específicas (por exemplo {S(t, s) : (t, τ) ∈ PR} é uniformemente assintoticamente compacto no sentido de [19]).
Para ver isto considere o seguinte exemplo
˙x = h(t)x− x3 (3.0.5)
onde h : R → [0, 1] é uma função continuamente diferenciável que é igual a 0 para t 6 0 e igual a 1 para t > 1.
Este exemplo simples (que deveria ter um atrator) não tem atrator no sentido da definição acima. Essencialmente, isto se deve ao fato que a maioria da dinâmica assintótica forwards está, neste caso, associada a soluções que explodem em tempo finito para trás.
Continuando a interpretar nossos exemplos, observamos que as famílias {Ai(t)}, i = 1, 2, são os limites pullback (isto é, quando s → −∞) de toda solução de (3.0.2) e é uniforme para x0 em conjuntos limitados de R; isto é,
lim
s→−∞ sup
x0∈B
Este limite pullback determina Ai(t), i = 1, 2, para todo t∈ R e da origem a objetos com propriedades dinâmicas. Este fato, que a primeira vista parece um truque vai se tornar bastante importante na extensão do conceito de atratores para processos. De fato, esta propriedade de atração pullback juntamente com a invariância nos conduzirá ao conceito de atratores pullback para processos.
Note que, em muitas situações, a atração pullback (s → −∞) e a atração forwards (t → ∞) não estão relacionadas uma à outra. Não é difícil ver que, no caso do (3.0.5), a única solução global é x = 0 e que o conjunto A(t) é obtido como o limite pullback de conjuntos limitados é {0} enquanto que o conjunto [−1, 1] atrai subconjuntos limitados de R quando t → ∞ e nenhum conjunto fechado menor que este tem esta propriedade.
Como vimos em (1.0.2), se um semigrupo tem um atrator global, ele é o conjuntos dos estados iniciais pelos quais passa uma solução global limitada. Veremos mais tarde que no caso não-autônomo e quando quando ∪t∈RA(t) é limitado, a noção de atrator pullback é aquela que preserva esta propriedade; isto é, para todo t ∈ T
A(t) = {ξ(t) : ξ : T → X é solução global limitada de {S(t, s) : (t, s) ∈ P}}. (3.0.7)
3.1 Attratores Pullback 155
Início da Décima Sexta Aula - Segunda-Feira, 22 de Outubro de 2012 ↓
3.1 Attratores Pullback
Nesta seção apresentaremos a noção de atratores pullback, as noções necessárias para apresentar este conceito e a sua relação com os atratores globais para semigrupos. Para um processo de evolução {S(t, s) : (t, s) ∈ P} e um conjunto B ⊂ X, definimos:
• Para cada (t, s) ∈ P, a imagem de B sob S(t, s),
S(t, s)B :={S(t, s)b : b ∈ B}.
• A órbita de B a partir do instante s ∈ T γs(B) :=[
t>s
S(t, s)B.
• A órbita pullback de B no instante t ∈ T, γp(B, t) :=[
s6t
S(t, s)B.
Definição 3.1.1 Seja {S(t, s) : (t, s) ∈ P} um processo de evolução. Dado t ∈ T,
dire-mos que um conjunto B(t) ⊂ X atrai-pullback (absorve-pullback) subconjuntos limitados de X no instante t sob a ação de {S(t, s) : (t, s) ∈ P} se
lim
s→−∞distH(S(t, s)D, B(t)) = 0 (∃ T = T (t, D) 6 t tal que S(t, s)D ⊂ B(t), ∀s 6 T ).
para cada subconjunto limitado D de X. Uma família {B(t) : t ∈ T} atrai-pullback (absorve-pullback) subconjuntos limitados de X sob a ação de {S(t, s) : (t, s) ∈ P} se
B(t) atrai-pullback (absorve-pullback) subconjuntos limitados de X no instante t sob a
ação de {S(t, s) : (t, s) ∈ P}, para cada t ∈ T.
Se existe uma família {B(t) : t ∈ R} de conjuntos limitados que (atrai-pullback) absorve-pullback conjuntos limitados diremos que {S(t, s) : (t, s) ∈ P} é pullback-limitado dissipativo.
Observação 3.1.2 Nesta definição, o tempo final é mantido fixo enquanto que o tempo
inicial retrocede para −∞. Note que isto não é o mesmo que voltar no tempo. A evolução é sempre até um instante futuro t a partir de um instante inicial s que tende a −∞.
Note que, se um conjunto absorve-pullback conjuntos limitados no instante t, então ele atrai-pullback conjuntos limitados no instante t.
Definição 3.1.3 Seja {B(t) : t ∈ R} uma família de subconjuntos de X. Diremos que
esta família é invariante pelo processo de evolução {S(t, s) : (t, s) ∈ P} se
S(t, s)B(s) = B(t), para todo (t, s)∈ P.
Definição 3.1.4 Seja {S(t, s) : (t, s) ∈ P} um processo de evolução em um espaço
mé-trico X. Diremos que uma família {A(t) : t ∈ R} de subconjuntos compactos de X é um atrator-pullback para {S(t, s) : (t, s) ∈ P} se é invariante, atrai-pullback subconjuntos limitados de X e é a família de conjuntos fechados que é minimal com a propriedade de atrair pullback subconjuntos limitados; isto é, se outra família {C(t) : t ∈ R} de conjuntos fechados atrai pullback subconjuntos limitados de X, então A(t) ⊆ C(t), para todo t ∈ R.
Observação 3.1.5 Observamos que a exigência da minimalidade na Definição 3.1.4 é
adicional relativa à teoria de atratores para semigrupos. Esta exigência é essencial para assegurar a unicidade dos atratores pullback. A inclusão dessa exigência está relacionada ao enfraquecimento da propriedade de invariância imposta pela natureza não autônoma dos processos de evolução juntamente com a possibilidade dos atratores pullback serem ilimitados em −∞; isto é, permitimos que para todo t ∈ R ∪s6tA(t) seja ilimitado. Se {T (t) : t > 0} e {T (t − s) : (t, s) ∈ P} é o processo de evolução autônomo associado,
pode existir uma família {A(t) : t ∈ T} de conjuntos compactos e invariantes que atraem-pullback subconjuntos limitados e não é minimal. De fato, se T (t−s) = e−(t−s)x0, x0 ∈ T, (t, s) ∈ P, a família {[−e−t, e−t] : t ∈ T} é invariante, [−e−t, e−t] é compacto e atrai
3.1 Attratores Pullback 157
Exercício 3.1.6 Mostre que a exigência da minimalidade na Definição 3.1.4 pode ser
eliminada se pedimos que ∪s6tA(t) seja limitado para toto t ∈ R.
Definição 3.1.7 Diremos que uma solução ξ : T → X de um processo de evolução {S(t, s) : (t, s) ∈ P} é backwards-limitada se existe um τ ∈ T tal que o conjunto {ξ(t) : t 6 τ} seja limitado.
Exercício 3.1.8 Se um processo de evolução {S(t, s) : (t, s) ∈ P} tem um atrator
pull-back {A(t) : t ∈} e ξ : T → X é uma solução pull-backwards-limitada, então ξ(t) ∈ A(t) para todo t ∈ T.
Exercício 3.1.9 Mostre que se {A(t) : t ∈ T} é um atrator pullback para o processo de
evolução {S(t, s) : (t, s) ∈ P} e Ss6tA(t) é limitado para toto t ∈ R, então A(t) é dado
por
A(t) = {ξ(t) :ξ : T → X é uma solução global
backwards-limitada para {S(t, s) : (t, s) ∈ P}}, ∀t ∈ T. (3.1.1)
O resultado a seguir relaciona os atratores pullback de processos de evolução autô-nomos e os atratores globais de semigrupos. Este resultado mostra que o conceito de atratores pullback estende aos processos de evolução, de maneira natural, o conceito de atratores globais para semigrupos.
Teorema 3.1.10 Se {T (t) : t > 0} é um semigrupo e S(t, s) = T (t − s), (t, s) ∈ P é o
processo autônomo associado então, {T (t) : t > 0} tem um atrator global A se, e somente se, {S(t, s) : (t, s) ∈ P} tem um atrator pullback {A(t) : t ∈ T}. Em qualquer dos casos
A(t) = A para todo t ∈ T.
Prova: Se{T (t) : t > 0} tem um atrator global A é claro que a família {A(t) : t ∈ T} com A(t) := A para todo t ∈ T atrai-pullback subconjuntos limitados de X para {T (t − s) :
(t, s)∈ P}. A minimalidade segue do fato que A é limitado e S(t, s)A = T (t − s)A = A para todo (t, s) ∈ P.
Por outro lado, suponha que {T (t − s) : (t, s) ∈ P} tem um atrator pullback {A(t) : t ∈ T}. É claro que {T (t) : t > 0} tem um atrator global A e que A ⊂ A(t) para cada t∈ T. Além diso, a família { ˜A(t) = A : t ∈ T} atrai-pullback subconjuntos limitados de X. Segue da minimalidade deA(t) que ˜A(t) = A ⊃ A(t) e a prova está completa. Observação 3.1.11 O atrator-pullback não precisa ter qualquer tipo de atração forwards.
Exceto em situações bastante específicas como, por exemplo, quando
lim
s→−∞sup
t∈R
distH(S(t, t + s)B,A(t)) = 0,
para todo subconjunto limitado B de X, o atrator pullback e o comportamento assintótico forwards não estão relacionados (veja, entre outros, [15, 18, 45, 59]).