Atribuição das perdas às transações.

3.6.0 Fluxo de Potência Ótimo

Na etapa de despacho, o FPO é resolvido minimizando os preços de geração das potências ativas no sistema, com as potências mínimas de geração estipuladas conforme estabelecido na seção (3.5). Os intercâmbios não contratados são determinados em função das curvas de preços fornecidas pelos geradores num FPO convencional, respeitando-se as transações pré-contratadas. A função-objetivo utilizada é representada por:

min { £ (a, + b, * Pg, +c, * P gf)} (3.9)

i

onde, P gi é a potência gerada na barra i ; a t, bt e c, são os coeficientes constantes, linear e quadrático da curva de preço de geração da mesma barra, respetivamente.

As referências [2, 3, 6], propõem a solução do problema em questão, via minimização do desvio das transações pré-contratadas. É na modelagem do FPO onde estão as principais vantagens da presente proposta. Essas vantagens são citadas a seguir.

• Consideração das curvas de preço dos geradores na determinação das perdas e das prováveis transferências ao mercado “Spot”;

• Não necessidade da modelagem explícita das transações como variáveis de otimização, com manutenção da dimensão do problema de otimização;

• Não necessidade da representação dos limites máximo e mínimo nas transações, o que é de relativa aplicação prática e causa aumento no número de restrições do sistema;

Neste trabalho, são utilizados dois algoritmos de otimização não-lineares: o convencional de Pontos Interiores Primal-Dual [7, 8] e o do Máximo Passo na Direção do

Caminho Central [21]. A base teórica destes algoritmos é apresentada nas seções

seguintes.

Além das variáveis tradicionalmente utilizadas nos problemas de FPO (módulo e ângulo das tensões nas barras), por simplicidade na formulação é utilizada como variável de otimização a potência ativa gerada pelas unidades. As curvas de preços dos geradores são representadas por funções quadráticas. Maiores detalhes da implementação podem ser encontradas nos trabalhos [9, 10].

3.7.0 Método de Pontos Interiores Primal-Dual, versão Não-Linear. Considere-se o seguinte problema de otimização

Minimizar f(x) (3.10. a)

sujeito a h(x)=Q (3.10.b)

g(x) <0 (3.10.c)

onde x é o vetor das variáveis de otimização; f é a função objetivo; h(x) é o vetor das restrições de igualdade; e g(x) é o vetor das restrições de desigualdade.

A função Lagrangeana associada ao problema (3.10 ) é dada por

LfaÃh, âg)=f(x) + d / h(x) + ÀgTg(x) (3.11)

onde Ãh e Ãg são os multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade, respectivamente.

A aplicação das condições de otimalidade de Karash-Kuhn-Tucker (KKT) ao problema (3.11 ) resulta nas equações (3.12).

¥ & L ( x , Â h , A g ) = Q. ( 3 . 1 2 . a )

h ( x ) = 0 ( 3 . 1 2 . b )

g ( x ) < 0 ( 3 . 1 2 . C )

[ Á g J g ( x ) = 0 ( 3 . 1 2 . d )

à g > 0 ( 3 . 1 2 . e )

onde J^L(x,Âh,Âg) = VJ~(x) + Vxh(x) Àh + P7xg(x) Ãg é a primeira derivada da função Lagrangeana em relação a i ; e a notação [..] representa a matriz diagonal dos elementos considerados.

No processo iterativo baseado no Método de Pontos Interiores duas modificações das condições de KKT são realizadas: a conversão das restrições de desigualdade (3.10.c) em igualdades, através do uso de variáveis de folga, e a perturbação da condição de complementaridade (3.12.d). O Método de Pontos Interiores Primal-Dual para programação não-linear pode ser resumido nos seguintes passos [7]:

a) transformação das restrições de desigualdade (3.10.c) em igualdades através das variáveis de folga s> 0 ;

b) perturbação da condição de complementaridade (3.12.d) através da introdução do parâmetro ju>0\

c) resolução do sistema de equações não-lineares resultante pelo Método de Newton.

A aplicação do itens a) e b) nas equações (3.12) resulta no sistema de equações não- lineares (3.13). ^ x L ( x , Â h , Ã g ) = 0 ( 3 . 1 3 .a ) h ( x ) = 0 ( 3 . 1 3 .b ) á [ ( x ) + á = 0 ( 3 . 1 3 .c ) [ A g ] s - / / e = 0 ( 3 . 1 3 .d ) (s, Ã g , ju ) > 0 ( 3 . 1 3 .e )

onde, ju é o chamado parâmetro de perturbação e e é o vetor unitário (1, .. , 1)T de dimensão adequada. O parâmetro de perturbação ju deve convergir a zero durante as iterações para que as condições de KKT (3.12) sejam satisfeitas no ponto ótimo, e deve ser não-negativo a fim de satisfazer (3.13.e). Uma forma de computar ju é através da distância primal-dual, calculando-se o parâmetro da perturbação como a média das distâncias ao ponto ótimo, medidas nas restrições de complementaridade. Este valor é afetado por uma constante 0 < a < 1, denominada parâmetro de combinação das direções. O parâmetro // pode ser calculado através da expressão (3.14) a seguir [8],

Á‘ s

ju = a = Z j (3.14)

na

onde n d é o número de restrições de desigualdades presentes em g(x).

As condições necessárias para a utilização do método de Newton são [7]:

a) Existência de um ponto ótimo (x^, s^_, Ã.h*, Ãg*), solução do problema (3.10) que satisfaça as condições de KKT (3.13);

b) Existência e continuidade das segundas derivadas parciais locais no ponto ótimo;

c) Regularidade: Os vetores gradiente das restrições de igualdade e restrições de desigualdade no limite, no ponto ótimo, são linearmente independentes;

d) Suficiência de Segunda Ordem: Para todo Q * 0 que satisfaz Phj(x)‘ % = 0 e

Vgrfx)1 n = Ono ponto ótimo, é rj \?xL(x)1 t}> 0.

e) Complementaridade Estrita: Para todo i, Ãgi + gi(x) > 0 no ponto ótimo.

As equações não-lineares (3.13) são resolvidas via método de Newton. A base deste método consiste na expansão das funções não lineares em série de Taylor até o termo de primeiro grau, resultando numa aproximação linear. Assim, a solução do sistemas de equações não-lineares (3.13) é obtida iterativamente através da resolução de sistemas lineares da forma

" v2lx V/z(x) Vg(x) 0 " Ax ^ xL (x,Ã h,Ã g)

V h(x)‘ 0 0 0 _{* 4**} h(x)

Vg(x) 0 0 _[e] AAg g(x) + s

0 0 _[s] As _{_ lâg]}

Note-se que as submatrizes da última linha e coluna da equação (3.15) são diagonais. Isso permite, através de artifícios matemáticos simples conforme mostrado na referência [8], reduzir este sistema linear de forma a determinar numa primeira etapa as variáveis Ax e AÁ/,.

~H J A x

ÍL

* — ₌

0 ₁₂ (3.16.a)

e posteriormente obter o valor das variáveis de folga e correspondentes multiplicadores.

As = - g ( x ) - s - V g ( x ) Ax

4^ =\âg\ e + hl]*\pi-Ug\ 4

ti = - V xL(X’â h ’â g) - V g ( x ) t *(pe + \ãg]£(x)) (3-17.c)

tj_ = - h ( x ) (3.17.d)

Após a resolução das equações (3.16), devem ser tomadas precauções que garantam a não-negatividade dos elementos dos vetores s e Ag, tal como expresso nas equações (3.13.b). Nesse sentido são utilizados dois passos, um correspondente às variáveis primais e outro para as duais. Eles são calculados segundo a expressão (3.18).

a p = min a d = min min I— Aj<0 \As ■ \ j \ min

Ãg/ -,

Calculados os fatores de passo, atualizam-se as variáveis primais e duais do problema, segundo a expressão (3.19) [8; 17; 21].

xk+1 = x + 0.99995 ap Ax .k+l k+l_ s."' ‘ = s + 0.99995 Op As à i = Âh + 0.99995 ad AÃh k+l. (3.19.a ) (3.19.b) (3.19.C) ãg™ = âg + 0.99995 ad AÂg (3.19.d)

onde o fator 0.99995 tem por finalidade que o novo ponto pertença ao conjunto de soluções fatíveis.

Da formulação anterior, é possível estabelecer o seguinte algoritmo para o método de Pontos Interiores Não-Linear Primal-Dual convencional.

Algoritmo do Método de Pontos Interiores Não-Linear Primal-Dual convencional.

1. Inicialização: Seja um ponto inicial ( xo,_so, Àho, àgo), com (s#, Ãgo) > O- 2. Cálculo de ju segundo ( 3.14).

3. Resolução do sistema linear ( 3.16.a) e as equações auxiliares ( 3.16.b e c).