USO DE AUTÔMATOS CELULARES NA AVALIAÇÃO DA DISPERSÃO DA DENGUE
Artigo redigido conforme normas da revista Physical Review E (versão preliminar)
Uso de autômatos celulares na avaliação da dispersão da Dengue Resumo
Resumo- Ferramentas computacionais têm sido cada vez mais usadas no estudo de epidemias. No caso dos estudos sobre a dengue, por se tratar de uma doença complexa, o uso de modelos computacionais que se preocupam com a dimensão espacial está em constante crescimento, além de ser uma opção particularmente necessária. Neste contexto, os autômatos celulares se apresentam como modelo computacional, espacialmente explícito, de grande destaque na modelagem epide- miológica. Este trabalho tem como objetivo principal estudar a evolução de uma epidemia de dengue usando os recursos dos autômatos celulares, simulando uma área hipotética. Analisou-se, principalmente a influência das alterações compor- tamentais dos indivíduos infectados no que se refere aos seus deslocamentos. Os resultados apontaram pequenas variações na evolução da epidemia em relação aos dados gerais dos casos ao longo de anos. No entanto, de modo visual foram iden- tificados comportamentos interessantes no espalhamento da doença e do agente infectante, levando a considerar o deslocamento do indivíduo infectado como fa- tor de destaque na manutenção do vírus na região. O uso de autômatos celulares mostrou-se adequado para a modelagem do problema visto que a transmissão e dispersão da dengue dependem do contato entre indivíduos e também da proxi- midade de uma região com outras potencialmente infectadas. No entanto, faz-se necessário adotar outras variáveis e regras no autômato celular que explicitem com maior fidelidade a região estudada no que se refere aos fatores que podem influen- ciar no problema da dengue, como temperatura, umidade e suporte.
Cellular automata using in Dengue disease dispersion evaluation Abstract- Computational tools have been increasingly used in epidemics study. In dengue studies, because it is a complex disease, the use of computer models that are concerned with spatial dimension is constantly growing, and is an option particularly necessary. In this context, cellular automata are presented as com- putational model, spatially explicit, highly visible in epidemiological modeling. This paper has a main objective to study dengue epidemic evolution by using cel- lular automata capabilities in a hypothetical area. It was analyzed especially the influence of infected individuals behavioral changes in relation to their displa- cement. The results showed low variations in epidemic evolution in relation to general data of cases over the years. However, it was identified in a visual way interesting behaviors in disease and infecting agent spread, leading to consider the infected individual displacement as a major factor in maintaining virus in the region. The use of cellular automata was adequate to modeling the problem as dengue transmission and spread depends on contact between individuals and also proximity of a region with other potentially infected. However, it is necessary to take other variables and rules in cellular automata that explain more accurately the region studied regarding to factors that may influence dengue problem, such as temperature, humidity and support.
I. INTRODUÇÃO
A epidemiologia é uma ciência que estuda quantitativamente a distribuição dos fenômenos de saúde e doença, e seus fatores condicionantes, nas populações. O clima, a maneira de viver, os hábitos de comer e de beber devem ser levados em conta ao analisar as doenças. Esta área da ciência permite ainda a avaliação da eficácia das intervenções realizadas nos campos da saúde pública. Neste aspecto, a modelagem de sistemas biológicos tem um papel importante visto que permite estabelecer hipóteses para quantificar os conhecimentos a respeito da dinâmica de transmissão de infecções, propagação de epidemias, entre outras questões.
Assim como ocorre com outras doenças, a dengue depende de condições não somente de contato entre indivíduos como também de fatores ambientais, ecológicos e sociais para determinar a permanência ou extinção da epidemia numa área. Para modelos de sistemas que lidam com a representação de fenômenos complexos, como é o caso da dengue, onde fatores espaciais devem ser considera- dos, julga-se apropriado o uso de técnicas que considerem essa dimensão em sua modelagem.
O autômato celular é um modelo computacional, espacialmente explícito, amplamente utilizado em modelagens ambientais. Eles tornaram-se notórios por serem tratáveis, de relativa simplicidade operacional e implementação, pela ha- bilidade em mimetizar formas e capacidade de serem adaptados para reproduzir vários tipos de fenômenos espaciais e, ao mesmo tempo, por conter a complexi- dade necessária para simular imprevistos como os fenômenos emergentes, como pandemias e epidemias. São também flexíveis no sentido de que lidam com os mais diversos processos dinâmicos do mundo real e podem ser vinculados a outras técnicas de modelagem, como redes neurais artificiais, teoria de agentes, inteligên- cia artificial, SIG, entre outras.
Propostos originalmente por Ulam e von Neumann nos anos 50 [1], os autômatos celulares, ou AC, objetivaram a simulação de autorreprodução de or- ganismos biológicos. As aplicações hoje existentes desse tipo de modelo são de alguma forma baseadas nos trabalhos originais de von Neumann e Ulam e também nos de Conway [2, 3]. Desenvolvido pelo matemático John Conway, em 1970, o “jogo da vida” é talvez o exemplo mais simples e característico de autômato celu- lar. A proposta ganhou popularidade a partir de uma publicação de Martin Gardner [2]. Este “jogo” nada mais é que um autômato celular que simula alterações em populações de seres vivos baseados em regras locais simples. John Conway escol- heu como regras locais de transição arranjos espaciais que evitassem que colônias de células morressem ou expandissem rapidamente. Cada célula nasce ou morre de acordo com as células vizinhas e o jogo tende a morte de todas as células ou à geração de padrões estáveis.
Wolfram [3] analisou de uma maneira sistemática um tipo de autômato celular muito simples e a formação de padrões singularmente similares. A com- plexidade do seu comportamento, induzida por regras elementares, levou-o a julgar que mecanismos semelhantes poderiam esclarecer fenômenos físicos complexos, ideias que desenvolveu no seu livro A New Kind of Science [4].
Na literatura são encontrados vários estudos propostos relacionados ao uso de autômatos celulares em epidemiologia.
Para estudar a evolução de uma doença de transmissão direta, do tipo SIR [5], Emmendorfer e Rodrigues [6], propuseram um autômato celular considerando vizinhança local (8 vizinhos) e contatos não locais que podem ocorrer entre in- divíduos que se encontrem a uma distância L. A distribuição dos compartimentos populacionais ao longo do tempo mostrou-se variada de acordo com o valor de L. De forma semelhante, Peixoto e Barros [7] utilizaram a teoria fuzzy para especifi-
car o parâmetro L.
Um modelo de AC foi usado para analisar o efeito do movimento das popu- lações na propagação de uma epidemia [8, 9]. No modelo, cada célula do autômato representa uma parte da população total que pode ter um dos estados do modelo SIR [5]. Como as partes se movem aleatoriamente no lattice do AC, a doença se espalha. Os autores estenderam o modelo, incluindo o efeito da vacinação de algumas partes da população sobre a propagação da epidemia.
Para estudar os mecanismos de extinção de uma doença, Sum et al. [10] apresentaram um AC que levava em conta taxas de nascimento, morte e migração das populações. Com o modelo, conseguiram estabelecer interessantes relações desses fatores com o fenômeno de permanência ou extinção de doenças.
Para estudos específicos da dengue, Gagliardi, Silva e Alves [11] desenvol- veram um software de simulação espaço-temporal baseado em AC probabilístico para avaliar o espalhamento da epidemia.
Outro estudo usando ACs no contexto da dengue pode ser encontrado em [12]. Um modelo de AC estocástico foi elaborado por [13] também para simular o espalhamento da doença. Na modelagem usada, cada célula correspondia a uma área construída e as populações eram analisadas constantemente no processo de simulação. Com o modelo, avaliaram fatores como a variação da taxa de renovação e tamanho da população humana e variações do índice de edifícios infectados.
Neste contexto, o presente trabalho tem como objetivo iniciar o estudo de propagação da dengue utilizando como ferramenta o autômato celular proposto por [14], o qual é acrescido de características dos indivíduos por meio da teoria de agentes.
Na próxima seção tem-se as definições e regras do autômato celular ado- tado bem como os parâmetros utilizados na modelagem. Na seção III, apresenta-se
os primeiros resultados e na seção IV as conclusões do estudo.
II. Definições do autômato celular
O AC proposto por [14] foi desenvolvido conforme uma regra que estabe- lece relações entre uma dada célula e sua vizinhança da seguinte forma. Assume- se que uma região (célula) sofre influência direta da sua vizinhança, baseado na distribuição dos indivíduos em categorias do SIR nessas regiões próximas. Essa relação entre uma célula e sua vizinhança ocorre devido a definição das regras de evolução do autômato. Tais regras baseiam-se em considerar as informações dos indivíduos não somente da célula em questão mas de toda a sua vizinhança, o que terá influência direta na probabilidade de infecção de um indivíduo na célula. Por exemplo, dada a célula 0 da Figura 1, a probabilidade de infecção naquela célula será uma constante, τ , multiplicada por um fator calculado com base nas informações nos indivíduos da própria célula e das demais da vizinhança (de 1 a 8). Este fator nada mais é que o R0, ou número reprodutivo básico, o qual repre- senta a força da infecção de uma área em relação à vizinhança da célula, dado pela equação 2.
R0 =
βSMi
σI (2)
onde β é a probabilidade de infecção humana na área, S e I representam, respec- tivamente, a quantidade de humanos suscetíveis e infectados presentes na célula e em sua vizinhança e Mié a quantidade de mosquitos infectados presentes na célula
e em sua vizinhança. σ é a probabilidade de recuperação humana no sistema. Com essa visão procura-se considerar as possibilidades de contatos não locais dos indivíduos, como os passeios, passagens rápidas em um local, fronteiras
Figura 1 Esquema representativo das regras de movimentação e influência da vizinhança
das regiões, além de casos isolados da doença e os casos assintomáticos.
As simulações foram realizadas tomando uma área hipotética, represen- tando a área urbana de uma cidade, sendo cada subárea (célula) considerada uma quadra dessa cidade. Como o modelo adotado é acrescido de características dos indivíduos, utilizou-se os parâmetros estabelecidos por [15], para efeito compara- tivo dos resultados. Esses parâmetros e seus respectivos valores são listados na Tabela 1. O tipo de vizinhança adotado nas simulações é o de Moore (8 vizinhos) por apresentar mais proximidade com o que ocorre numa situação real - possibili- dades de locomoção em todas as direções.
Tabela 1 Probabilidades e parâmetros da simulação. PARÂMETRO VALOR Tamanho da área: 50Km2 Tamanho da célula: 5000m2 Prob. contato: 0.5 População humana total: 4500 Prob. infecção humana: 0,1 Prob. recuperação humana: 0,85 Prob. morte pela doença: 0,004 População total de mosquitos: 5000 Prob. infecção dos mosquitos: 0,2 Prob. morte (p. favorável): 0,04 Prob. morte (p. não favorável): 0,059
assim como os tempos de simulação, conforme será apresentado na seção de re- sultados deste artigo. As condições iniciais também foram variadas, ora com dis- posição aleatória dos indivíduos, ora introduzindo focos de infectados em pontos específicos. Algumas variações comportamentais espaciais dos indivíduos tam- bém ocorreram em alguns testes, conforme os resultados apresentados na próxima seção.
III. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Em todos os resultados aqui apresentados foram realizadas 5 repetições, variando a semente de geração de números aleatórios. Apresenta-se, no entanto, o resultado médio dessas repetições transformados pela média móvel centrada em 5 termos.
Os primeiros resultados são mostrados na Figura 2. As condições iniciais neste caso foram 100% de humanos suscetíveis e 5% de mosquitos infectados, do total apresentado na Tabela 1. Não houve reinserção de infectados na área, por- tanto, a epidemia se mantém até a completa extinção do vírus, já que considera-se populações constantes e nenhuma influência externa na região. A Figura 2 mostra um comparativo com o resultado obtido pelo uso da mesma ferramenta computa- cional adotada utilizando o modelo somente com a dinâmica baseada em indiví- duos e, depois, com o uso de autômatos celulares. Ao utilizar a regra do autômato procura-se explicitar o sistema em sua dimensão espacial. A regra implementada pelo modelo faz uma ligação entre as probabilidades de infecção dos indivíduos com a situação espacial da área a cada instante de tempo e esta situação, por sua vez, é influenciada pela distribuição dos indivíduos nos compartimentos. Com isso obteve-se taxas diárias de infecção de 0.05, sendo 0.059 no período favorável e 0.022 no período não favorável; variando pouco, portanto, se comparadas com
os resultados obtidos nos casos de dinâmica somente com o uso da modelagem baseada em indivíduos, relatadas em [15].
(a) (b)
Figura 2 Simulação com autômatos celulares. Comparativo das dinâmicas com somente IBM e IBM + AC. (a) evolução de homens suscetíveis; (b) casos de dengue
Nesta calibração, a constante de multiplicação do fator de infecção utili- zada foi τ = 0.5. Em casos de comparação com dados reais, essa constante será um dos parâmetros de ajuste do modelo, assim como as probabilidades utilizadas pela modelagem baseada em indivíduos.
Deslocamento dos indivíduos
Partindo dos resultados apresentados em [15] onde analisou-se a variação de movimentação dos indivíduos relacionada à manutenção da epidemia, pôde-se aqui, avaliar aspectos comportamentais dos indivíduos infectados com relação à variável espacial e suas consequências para a doença. Na Figura 2 foi mostrada a evolução do sistema sendo considerado que o homem infectado não se movi- menta a partir do momento de sua infecção, passando a se deslocar normalmente quando se recupera da doença. Com isso admite-se que todos os casos relatados
são sintomáticos. Um indivíduo que fica doente ficaria imóvel numa célula - no caso apresentado a imobilidade ocorreu no local da infecção. Se essa imobili- dade for transferida para a célula de origem do indivíduo, obtém-se um comporta- mento visualmente diferente. O comparativo da análise dos dois casos é exibido na Figura 3. Apesar de aparentemente apresentar pequenas variações, as taxas de infecção do sistema não variaram em relação ao caso anterior; obteve-se a taxa média de infecção humana de 0.051, sendo 0.053 no período favorável e 0.027 no período não favorável. A mudança visual de comportamento pode ser explicada simplesmente como uma transferência do local de novas infecções, ou seja, o in- divíduo infectado numa região afastada estaria levando a doença para sua região de origem, contaminando outros agentes, dando continuidade à progressão e espalha- mento da doença. Essa variação comportamental espacial foi considerada pouco significativa do ponto de vista de mudança da evolução geral do sistema. Neste caso manteve-se a constante de ajuste do autômato em τ = 0.5.
Figura 3 Simulação com autômatos - indivíduos voltando a origem no momento da infec- ção. Homens infectados imóveis na célula de origem. (a) densidade de mosqui- tos infectados em 2 anos; (b) evolução da doença em anos
Em vários estudos, e mesmo nas ações da vigilância epidemiológica, assume- se a moradia do paciente como o provável local da infecção. No caso aqui apre- sentado, observa-se que o homem adquire a doença em locais próximos a focos de mosquitos ou em locais onde existem casos da doença, não necessariamente no local exato de sua moradia. Espacialmente, tem-se a distribuição das residências que apresentaram casos de dengue e os locais onde ocorreram as infecções nos primeiros 100 dias a partir do início da epidemia na área (Figura 4). Do total de casos registrados em humanos, 5% ocorreram na mesma célula de residência do indivíduo. A Figura mostra também os pontos onde estavam presentes os mosqui- tos infectados inicialmente. Essa distribuição espacial tem uma relação importante com essa capacidade de suporte. Como não é feito tratamento algum sobre a ca- pacidade de suporte humana na célula - os indivíduos são criados e se locomovem aleatoriamente no espaço sem restrições de ocupação das células - é possível obter comportamentos diferentes se essa limitação for inserida inicialmente. As condi- ções iniciais deste caso foram 100% de homens suscetíveis e 5% de mosquitos infectados inicialmente dispostos de modo aleatório na área. Não houve reinser- ção de infectados ao longo do tempo.
Se for inserido um foco pontual de mosquitos infectados inicialmente, tal distribuição de residências com casos da doença se apresenta ao longo do tempo conforme a Figura 5. Neste caso as condições iniciais foram 100% de homens suscetíveis e 5% de mosquitos infectados inseridos no centro, sendo os mosquitos suscetíveis dispostos aleatoriamente na área. Nota-se que os locais de infecção e os locais das residências com casos registrados são relativamente próximos, não necessariamente os mesmos. A distância média percorrida pelo mosquito até o momento de sua primeira picada infectante foi 3.48 unidades (246, 15 metros), sendo que no período favorável a média foi de 2.94 unidades (208 metros) e no
Figura 4 Residências com casos e locais de infecção. Focos iniciais aleatórios de mosqui- tos infectados
período não favorável 4.6 unidades (325, 52 metros). As maiores distâncias de vôos dos mosquitos foram de 10 unidades (707 metros) no período não favorável e de 7.28 unidades (514, 78 metros) no período favorável.
Considera-se agora um período mais longo da epidemia. Para isso utilizou- se a opção de reinserção de mosquitos infectados com probabilidade de 0.016 no período favorável e 0.001 no período não favorável a doença. Condições iniciais de 100% de todos os indivíduos suscetíveis e o vírus introduzido na área ao longo do tempo pela mesma probabilidade de reinserção de mosquitos infectados citada. Ao ser infectado, o homem fica imóvel na célula onde houve a infecção até sua recuperação, se houver. Com isso avaliou-se o comportamento ao longo de 14 anos - Figura 6. O número de infecções ocorridas dentro da própria célula de ori- gem do indivíduo humano não foi significativo. No entanto, espacialmente, foram observados os locais de infecção em regiões bastante próximas ao foco inicial de mosquitos infectados, conforme mostrado na Figura 7.
Uma questão deve ser considerada neste caso. O fato de todo indivíduo infectado permanecer imóvel no período infectante confere o pressuposto de que
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5 Residências com casos e locais de infecção. Foco pontual de mosquitos infec- tados no centro da área inicialmente. Distribuição entre os instantes: (a) 0 a 20; (b) 20 a 50; (c) 50 a 80 e (d) 80 a 100
todos eles apresentam sintomas da doença. Para obter um comportamento mais condizente com o que ocorre no mundo real, onde admite-se que parte dos casos de dengue não apresentam sintomas, foi necessário diferenciar essas duas condições. O resultado da diferenciação de casos sintomáticos e assintomáticos em anos é mostrado na Tabela 2. Em um estudo realizado em Ribeirão Preto, SP, Rodrigues et al. [16] apresentaram 76,6% de casos sintomáticos e 33,4 % assintomáticos. Já Vasconcelos et al. [17] obtiveram 59% dos casos apresentando sintomas e 41% sem sintomas, em Fortaleza, CE. Essas elevadas taxas de casos assintomáticos são atualmente apontadas como um dos fatores da manutenção do vírus numa região.
(a) (b)
Figura 6 Simulação com reinserção de infectados. (a) casos de dengue em anos; (b) evo- lução do número de homens suscetíveis
(a) (b)
Figura 7 Residências com casos e locais de infecção. Foco pontual de mosquitos infec- tados no centro da área inicialmente. Distribuição entre os instantes: (a) 0 a 50; (b) 50 a 100
Tabela 2 Proporções de casos sintomáticos (S) e assintomáticos (A). ANO TOTAL P. FAV. P. DESFAV.
S A S A S A
1 0,53 0,47 0,54 0,46 0,52 0,48 2 0,47 0,53 0,50 0,50 0,40 0,60 3 0,52 0,48 0,53 0,47 0,48 0,52 4 0,48 0,52 0,51 0,49 0,39 0,61
Nas simulações aqui realizadas, comparou-se o resultado exibido na Fi- gura 6 com a situação de diferenciação dos casos com e sem sintomas. Restrin- gindo o deslocamento do indivíduo infectado para somente se mover nos casos assintomáticos, ou seja, se ele desconhece o fato de que está portando um vírus