Etapa 4: Sistema de Gestão e Planejamento do Município - refere-se aos ajustes que possam vir a ocorrer durante o período de implantação do Plano Diretor
2.9 AUTÔMATOS CELULARES COMO MODELO DINÂMICO ESPACIAL
2.9.1 Autômato celular (AC)
Os Autômatos Celulares (AC) foram criados por John von Newmann nos anos de 1950, com o objetivo de prover modelos formais para estudar processos de crescimento e dar uma prova matemática da possibilidade de auto-reprodução de organismos biológicos, em seus estudos de neurofisiologia, um ramo de pesquisa originário de estudos em cibernética e de grande interesse durante a década de 50 (PÁDUA; VIEIRA, 2004).
Os mesmos autores (2004), comentam que von Neumann projetou o primeiro autômato celular (AC), seguindo as orientações do matemático Stanislaw Ulam, que indicava para a realização de seu experimento a construção de uma máquina auto-reprodutiva, composta por uma matriz com espaços celulares que tinha a capacidade de ter um comportamento próprio, além de ditar-lhe a própria atividade reprodutora.
Segundo Pascoal (2005), esta máquina artificial, apresentava a capacidade de produzir uma cópia de si mesma, a qual por sua vez era capaz de criar novas cópias. Desta forma, a capacidade desta máquina em se copiar, ou seja, em se auto-reproduzir estava baseada em algo diferente da mecânica tradicional, onde a informação seria a premissa da sua vida.
Para o autor acima (2005), a designação de autômato, teria sido dada por von Neumann, para designar esta sua máquina automática, que fazia processamentos lógicos, em etapas metódicas, estabelecidas ordenadamente por um meio externo e cujo comportamento poderia ser definido por termos matemáticos inconfundíveis, pois, no início, o objetivo de von Newmann, era apenas estudar as representações de sistemas evolutivos dentro da biologia, a partir de uma configuração inicial aleatória, onde cada componente do sistema tem sua evolução baseada na situação atual de seus vizinhos, e num conjunto de regras que são iguais para todos os componentes (CASTRO, M. L. A; CASTRO, R. O. 2008).
Os mesmos autores, (2008, p. 89), colocam que: ―embora as regras sejam as mesmas para todos os componentes do sistema, a situação dos componentes vizinhos pode variar indefinida e complexamente durante o tempo, podendo originar novos sistemas e chegando até a sua auto-reprodução‖.
Desta forma, um modelo autômato celular (AC), pode ser descrito como uma grade uniforme, ou uma malha infinita e regular composta por células (Figura 04), com variável discreta em cada célula, e em um tempo também discreto.
Neste modelo de autômato celular (AC), cada célula pode estar em um número finito de estados, os quais dependem do estado das células vizinhas e que podem variar de acordo com regras determinísticas, o que significa que o autômato não pode estar em mais de um estado em qualquer instante, ou então, de acordo com regras não determinísticas (probabilísticas) ele pode estar em vários estados ao mesmo tempo (WOLFRAN, 1983; RUCKER, 2005; GREMONINI; VICENTINI, 2008).
FIGURA 04 - REPRESENTAÇÃO DA GRADE DE UM AUTÔMATO CELULARE BIDIMENSIONAL FONTE: ADAPTADO DE LAURIANO, 2010, P.3
Gremonini e Vicentini (2008, p. 4), definem um conceito geral para autômato celular como: ―um sistema que pode alterar seu estado, por si mesmo, a partir de um conjunto de regras de transição‖.
O desenvolvimento dos primeiros experimentos de um modelo de autômato celular, nos computadores, tornou-se possível somente na década de 1960, pois, apenas nesta época, os pesquisadores começaram a notar que, autômatos celulares poderiam ser vistos como computadores paralelos, dada à característica de descentralização da computação envolvida nesses sistemas e, de uma série de novos teoremas que provaram formalmente o poder de computação paralela por parte destas máquinas (PÁDUA, VIEIRA, 2004; CASTRO, M. L. A; CASTRO, R. O., 2008).
Em 1970, o matemático John Holton Conway criou o ―Jogo da Vida‖, uma aplicação de autômatos celulares, que baseado em regras simples simulava alterações em populações de seres vivos. Neste autômato celular, cada célula nasce ou morre de acordo com as células vizinhas e o jogo tende a morte de todas as células ou a geração de padrões estáveis (CASTRO M. L. A; CASTRO, R. O. 2008).
A partir dos anos de 1980, Wolfram (1983), faz um estudo exaustivo sobre autômatos celulares e analisa de uma maneira sistemática, um tipo de autômato celular muito simples. A complexidade do seu comportamento, induzida por regras elementares, levou-o a levantar hipóteses que mecanismos similares poderiam esclarecer fenômenos físicos complexos (RUCKER, 2005).
Weimar (1998), caracterizou um sistema como um autômato celular, quando o mesmo mostra as seguintes propriedades fundamentais:
a) O sistema deve apresentar-se em forma de uma matriz ou grade regular de células bidimensionais;
b) O sistema deve apresentar uma evolução em passos discretos de tempo;
c) Cada célula pertencente à grade regular é caracterizada por um estado pertencente a um conjunto finito de estados;
d) Cada célula da grade de um autômato celular evolui de acordo com as mesmas regras, as quais dependem somente do estado em que a célula se encontra e de um número finito de vizinhos;
e) A relação de uma célula com a sua vizinhança é local e uniforme.
FIGURA 05 - REPRESENTAÇÃO (1D) UNIDIMENSIONAL, (2D) BIDIMENSIONAL E (3D) DE TRIDIMENSIONAL DE UM SISTEMA DE AUTÔMATOS CELULARES FONTE: ADAPTADO DE PASCOAL, 2005 P.19
Para Gremonini e Vicentini (2008), a primeira propriedade que caracteriza um autômato celular, diz respeito à caracterização da geometria do mesmo, a dimensão espacial, a forma de cada célula e como elas estão distribuídas. Assim, para termos um autômato celular, é necessário que se tenha uma malha com geometria regular, ou seja, todas as células devem possuir o mesmo tamanho e estar dispostas em uma rede ou malha.
Pascoal (2005), classifica os autômatos celulares quanto à dimensão e o formato da célula, em: Autômatos Celulares com uma dimensão (unidimensional 1D), duas dimensões (bidimensional 2D), três dimensões (tridimensional 3D), ou mais dimensões, podendo sua dimensão ser expressa por (nD), sendo n um inteiro positivo (Figura 05).
Gremonini e Vicentini (2008), colocam que dependendo da modelagem proposta de um sistema, as células podem apresentar-se de várias formas geométricas podendo assumir diversas configurações (triangular, quadrangular, hexagonal), desde que uma mesma grade de autômatos apresente todas as células com a mesma forma (Figura 06).
FIGURA 06 - REPRESENTAÇÃO DAS FORMAS DAS CÉLULAS PARA UM SISTEMA DE AUTÔMATOS CELULARES FONTE: GREMONINI; VICENTINI, 2008, P.6
Em computação, o modo quadrangular de um autômato celular representa maior usabilidade devido à sua simplicidade (PASCOAL, 2005).
A segunda propriedade característica colocada por Weimar (1998), expressa que a evolução deve se dar em passos discretos de tempo. Assim, a interação entre as células de um autômato celular, dependendo do conjunto de regras, ocorre quando a célula ativa (1) (Figura 07) faz uma leitura dos estados atuais das suas vizinhas no tempo (t). Após esta leitura a célula executa as instruções características que lhe foram conferidas pelas vizinhas em um tempo (t+1). Isto se dá de célula para célula em passos discretos (PASCOAL, 2005).
Após, todas as células terem lido as mesmas instruções das características dos estados de suas vizinhas, dá-se início à próxima interação, assim por diante (Figura 08).
Em relação à terceira propriedade característica, dos autômatos celulares, diz respeito a que cada célula deve ser caracterizada por um estado pertencente a um conjunto finito de estados. Pascoal (2005, p. 23), coloca que ―os estados de todas as células são atualizados simultaneamente (sincronizadamente) baseando-se em valores (momentâneos) das variáveis de sua vizinhança, de acordo com as regras locais‖.
FIGURA 07 - EXEMPLO DE TRANSIÇÃO DE UM AUTÔMATO CELULAR UNIDIMENSIONAIS
FONTE: ADAPTADO DE TORRENS, 2010.
Quanto à quarta propriedade característica de um autômato celular refere-se a sua evolução que dependente das regras, do estado que se encontra em um tempo (t) e das suas vizinhanças.
Assim, segundo (Wolfram, 1984):
...há quatro classes que definem como se dá a evolução das células em função das regras, a partir das configurações iniciais. São eles: classe de pontos limites, ciclo limite, caótica e comportamento complexo.
A primeira classe é denominada ―Pontos Limites‖. Nesta classe um autômato, após um número finito de interações, alcança um único estado.
Ou seja, a evolução leva a um estado homogêneo, no qual todas as células eventualmente alcançam o mesmo valor.
A segunda classe é a de ―Ciclo Limite‖. Nesta classe os autômatos geralmente criam imagens que se repetem periodicamente, com poucos períodos ou imagens estáveis.
A terceira classe é a ―Caótica‖. Nesta classe os autômatos conduzem a padrões aperiódicos.
Por fim, a quarta é denominada classe do ―Comportamento complexo‖.
Nesta classe os autômatos celulares, após um número finito de interações, normalmente morrem. Entretanto é possível a aparição de padrões estáveis, como os gerados pela segunda classe (WOLFRAM, 1984, p.25)
Finalmente, a quinta propriedade, diz respeito a relação apresentada por uma célula, em um autômato celular, com as sua vizinhança. Esta relação pode variar de diferentes formas, principalmente em relação ao formato da malha que contém as células, (unidimensional, bidimensional, tridimensional, ou apresentar uma dimensão nD) (GREMONINI; VICENTINI, 2008).
FIGURA 08 - EXEMPLO ILUSTRATIVO MOSTRANDO A EVOLUÇÃO DE INTERAÇÃO ENTRE AS CÉLULAS, USANDO O CONJUNTO DE REGRAS DO JOGO DA VIDA
FONTE: ADAPTADO DE PASCOAL, 2005, P. 24
A relação de vizinhança é que define quais serão as direções em que ocorrerá o processo evolutivo dos estados das células, ou seja, quais as direções que o autômato pode utilizar, para fazer as associações bem como a quantidade de células que irão se interagir, para a mudança de estado.
Pascoal (2005), cita que pode-se encontrar basicamente quatro tipos de vizinhança mais conhecidas que são: a vizinhança de von Neumann, Moore, Moore Estendida e a Aleatória.
1ª. Vizinhança de Von Neumann – é onde uma célula apresenta quatro células ortogonais como vizinhança (vertical ou horizontal), o que denota a capacidade da célula de se interagir para cima, para baixo, à esquerda e à direita, sendo o raio de atuação desta definição 1, porque somente a camada seguinte será considerada (Figura 09).
2ª. Vizinhança de Moore – considera-se que esta seja uma ampliação da vizinhança de Neumann, onde as diagonais também são consideradas como células vizinhas. Assim, uma célula apresenta uma vizinhança imediata de oito células (quatro ortogonais – horizontais e verticais e quatro diagonais), o que possibilita o autômato em interagir com as células vizinhas ortogonais, além de interagir com os vizinhos na diagonal. Neste caso, o raio também será r=1 (Figura 10)
FIGURA 09 - VIZINHANÇA DE VON NEUMANN FONTE: ADAPTADO DE PASCOAL, 2005, P. 20
Tempo 1 Tempo 2
FIGURA 12 - VIZINHANÇA ALEATÓRIA
FONTE: ADAPTADO DE PASCOAL, 2005, P.21 FIGURA 11 - VIZINHANÇA DE MOORE ESTENDIDA FONTE: ADAPTADO DE PASCOAL, 2005, P. 21
FIGURA 10 - VIZINHANÇA DE MOORE
FONTE: ADAPTADO DE PASCOAL, 2005, P. 20) Tempo 1
Tempo 2
3ª. Vizinhança de Moore Estendida – baseada no princípio básico da vizinhança de Moore, porém com um alcance maior de vizinhança de células, estendida para um total de dezesseis células (Figura 11).
4ª. Vizinhança aleatória - as células ficam espalhadas pela grade de forma não ordenada (Figura 12).
Castro, M.L.A e Castro, R. O. (2008, p. 105), baseando-se na caracterização de Weimar, (1998)16, sobre as propriedades que um modelo de autômato celular deve apresentar, colocam que as principais implementações históricas, na evolução dos autômatos celulares foram baseadas nos trabalhos de John von Neumann, John Holton Conway e Stephen Wolfram, que são:
A primeira delas, a implementação de John von Neumann reflete um pouco da arquitetura de von Neumann dos computadores atuais e foi a primeira a criar um autômato capaz de se reproduzir, ou seja, criar um outro autômato igual a si próprio.
A segunda implementação [...], a do matemático Conway chamada ―Jogo da Vida‖ é particularmente interessante por adequar-se à representação de dinâmicas populacionais.
A terceira implementação é à base dos experimentos de Wolfram e seus estudos culminam no Princípio da Equivalência Computacional, reforçada pelas outras duas implementações, que afirma que toda complexidade de sistemas evolutivos pode ser representada pela simplicidade de um autômato celular. (CASTRO M. L. A; CASTRO, R. O., 2008, Vol. III, Nº. 3, p.105)
Pádua e Vieira, (2004), descrevem que a primeira implementação de autômato celular foi feita por John von Neumann, na década de 1950, com o objetivo de dar uma prova matemática da possibilidade de auto-reprodução das espécies.
Este objeto tinha como base um espaço celular bidimensional, considerado infinito, semelhante a uma grade de células, onde cada célula se ligava a seus vizinhos ortogonais e cada célula estava num estado inativo (Figura 13).
Em sua experiência, von Neumann, introduziu um organismo com duzentas mil células sobre esta grade inicial de células, que se encontrava em um espaço
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16 WEIMAR, J. R. Simulation with cellular automata. Berlin: Logos Verlag Berlin, 1998.
FIGURA 13 - ESPAÇO CELULAR BIDIMENSIONAL COM VIZINHANÇA ORTOGONAL UTILIZADO PELO AUTÔMATO DE VON NEUMANN
FONTE: SARKAR, (2000,ADAPTADO POR CASTRO, M.L.A E CASTRO, R. O., 2008, P. 95)
FIGURA 14 - AUTÔMATO CELULAR BIDIMENSIONAL COM UMA VIZINHANÇA ORTOGONAL, PROPOSTO POR VON NEUMANN
FONTE: ADAPTADO DE PÁDUA E VIEIRA, 2004, P. 5
bidimensional. Cada célula desse espaço poderia possuir 29 estados distintos (representado por cores) e cada célula tinha vizinhanças de 5 células (a célula corrente, seus vizinhos horizontais e verticais) (CASTRO, M. L. A; CASTRO, R. O., 2008) (Figura 14)
Segundo os mesmos autores (2008), os detalhes das células da experiência de von Neumann eram representados pelos diferentes estados individuais das mesmas. Uma vez que este autômato foi englobado numa rede, onde, cada célula, agia como uma máquina de estado finito individual, cujo pulso inicial seguiu as regras que lhe foram ditas e aplicadas.
O efeito destes comportamentos locais fez com que emergisse um comportamento global: a estrutura auto-reprodutora interagiu com as células vizinhas e mudou alguns dos seus estados (CASTRO, M. L. A; CASTRO, R. O., 2008).
Assim, para von Neumann a questão que se apresentava era: “Que tipo de organização lógica é suficiente para um autômato ser capaz de reproduzir a si próprio?” (AGUIAR E COSTA, 2005, p.1)
Castro, M.L.A e Castro, R. O. (2008, p. 105), descrevem um exemplo de um modelo de autômato celular simples de von Neumann, usando o autômato celular do tipo Greenber-Hasting17, para modelar uma excitação média, para o estados dos tecidos nervosos ou musculares que envolvem o coração, descrevendo:
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17 O modelo de Greenberg-Hastings (GHM) é um simples e clássico modelo de autômato celular, introduzido por Greenberg-Hastings em 1978, para simular duas propriedades dos meios excitáveis: excitação por contato e um período refratário. Os vizinhos de uma célula são cinco ou mais células, incluindo a própria célula. Assim, uma célula no estado de repouso, com pelo menos alguns vizinhos animados fica animada em si. Assim, todas as células percorrem os estados animados e de descanso e finalmente retornam ao estado de repouso.
FIGURA 15 (b) - MODELO DE VIZINHANÇA DE UM AUTÔMATO CELULAR SIMPLES DE VON NEUMANN DO TIPO GREENBER-HASTING
FONTE: ADAPTADO DE CASTRO, M. L. A; CASTRO, R. O., P.93, VOL. III,Nº. 3, 2008 Uma situação exemplo de excitação média são os tecidos nervosos ou musculares (coração), que podem estar [em] três diferentes estados:
descansando, excitado ou em recuperação. Esse modelo pode ser representado por um autômato celular com três estados: (0) descanso, (1) excitado e (2) recuperando.
A evolução de uma célula pode ser caracterizada pelas seguintes regras:
Uma célula em descanso (estado 0) permanece descansando até que alguma vizinha entre no estado excitado (estado 1), nesse caso a célula entra também no estado excitado;
Uma célula em excitação entra em recuperação (estado 2) no próximo passo;
Uma célula em recuperação entra em descanso (estado 0) no próximo passo.
Em resumo teremos:
Para materializar visualmente a relação de vizinhança, os mesmos autores (2008), utilizaram um exemplo de transição de uma grade de autômatos celulares, com suas vizinhanças, num arranjo de quatro células ortogonais, utilizando três estados diferentes (Figura 15. b), expressos pelas seguintes cores, para as células (Figura 15. a):
Célula em estado de descanso – branco Célula em estado de excitado – preto Célula em estado de recuperação – cinza
FIGURA 15 (a) – COR DAS CÉLULAS SEGUNDO O SEU ESTADO FONTE: ADAPTADO DE CASTRO, M. L. A; CASTRO, R. O., P.93,
VOL. III,Nº. 3, 2008
FONTE: Modificada de: Castro, M. L. A; e Castro, R. O., p.92, Vol. III,Nº. 3, 2008.
0_se_nenhum_vizinho =1 0 →
1_se_algum_vizinho =1
Na exemplificação anterior (Figura 14), aplicando o tempo, os mesmos autores (2008), demonstram que a evolução do autômato vai depender da condição inicial dos mesmos no grid. Assim, eles ilustram a evolução da transição dos autômatos celulares partindo de um grid onde todas as células, inicialmente estão no estado 0 (descanso – cor branca) e apenas uma célula está no estado 1 (excitado – preto) (Figura 16)
Da mesma forma, Pedrosa e Câmara (2004), baseando-se na remodelação do conceito de autômato celular, formulado por von Neumann, ilustram o mecanismo de aplicação das regras de transição dos estados das células, sobre uma base tida como um espaço celular bidimensional, considerado infinito, onde cada célula se liga a seus vizinhos ortogonalmente, conforme o esquema de vizinhança (Figura 17. a) e podendo assumir dois estados ao qual eles exemplificaram pelas cores branco e preto (Figura 17. b), sendo que a vizinhança é definida sobre duas células adjacentes:
FIGURA 17 - (a) DISPOSIÇÃO DA VIZINHANÇA DAS CÉLULAS EM FORMATO ORTOGONAL
(b) ESTADO DAS CÉLULAS NA MALHA DO AUTÔMATO CELULAR
FONTE: ADAPTADO DE PEDROSA,B.M; CÂMARA,G.,CAP. 6, p.19, 2004)
Branco Preto
(a) (b)
FIGURA 16 - EVOLUÇÃO DO AUTÔMATO DE GREENBER-HASTING DURANTE O TEMPO FONTE: ADAPTADO DE CASTRO, M. L. A; CASTRO, R. O., P.93, VOL. III,Nº. 3, 2008).
Pedrosa e Câmara (2004, p. 17), ilustram a explicação das regras de transição, considerando a célula do vértice como corrente (Figura 18) e demonstram que: ―...As regras de transição especificam que o estado de uma célula num instante t+1 é igual ao dos seus vizinhos no instante t, se estes vizinhos tiverem os estados iguais; caso contrário, o estado da célula permanece o mesmo‖.
Assim, para Pedrosa e Câmara (2004, p.19), as dinâmicas de aplicação das regras de transição em um autômato celulares são (Figura 19):
...a primeira célula da segunda linha do autômato tem, no instante t, o estado branco e suas vizinhas possuem estados diferentes (uma é branca e outra preta). Neste caso o estado da célula permanece o mesmo (1ª regra de transição). Seguindo o mesmo mecanismo, a segunda célula da segunda linha, tem no instante t o estado preto e suas vizinhas tem ambas o estado branco, logo o estado desta célula sofre uma transição para branco (2ª regra de transição). O processo segue este mecanismo para as demais
1º No instante ―t‖ as células vizinhas à célula do vértice que é branca, estão em estados diferentes (branco e preto), portanto no instante
―t+1‖, o estado da célula do vértice permanecerá o mesmo (branco).
2º No instante ―t‖ as células vizinhas à célula do vértice que é preta, estão em estados iguais (branco), portanto no instante ―t+1‖, o estado da célula preta do vértice muda para o estado de branco.
3º No instante ―t‖ as células vizinhas à célula do vértice que é preta, estão em estados diferentes (branco e preto), portanto no instante
―t+1‖, o estado da célula preta do vértice permanece o mesmo.
4º No instante ―t‖ as células vizinhas à célula do vértice que é branca, estão em estados iguais (brancas), portanto no instante ―t+1‖, o estado da célula branca do vértice permanecerá branca, pois assume o estado das vizinhas, sendo estas iguais no instante ―t‖.
5º No instante ―t‖ as células vizinhas à célula do vértice que é branca estão em estados diferentes (preto e branco), portanto no instante
―t+1‖, o estado da célula branca do vértice permanece o mesmo.
6º No instante ―t‖ as células vizinhas à célula do vértice que é branca estão em estados iguais (preto), portanto no instante ―t+1‖, o estado da célula branca do vértice muda para o estado preto.
7º No instante ―t‖ as células vizinhas à célula do vértice que é preta, estão em estados diferentes (preto e branco), portanto no instante
―t+1‖, o estado da célula preta do vértice permanece o mesmo.
8º No instante ―t‖ as células vizinhas à célula do vértice que é preta estão em estados iguais (preto), portanto no instante ―t+1‖, o estado da célula preta do vértice permanecerá preta, pois assume o estado das vizinhas, sendo estas iguais no instante ―t‖.
FIGURA 18 - EXEMPLO DE REGRAS DE TRANSIÇÃO PARA 3 CÉLULAS DISPOSTAS ORTOGONALMENTE EM UMA MALHA DE AUTÔMATO CELULAR, CONFORME O MODELO DE VON NEUMANN.
FONTE: ADAPTADO DE PEDROSA, B.M ; CÂMARA,G., CAP. 6, P.19, 2004)
células até que todas tenham sido avaliadas (PEDROSA; CÂMARA (2004 p.19).
A segunda implementação de autômatos celulares é a mais conhecida e foi dada pelo matemático Conway, chamada ―Jogo da Vida‖, baseada em um autômato celular, composto de uma grade quadrada regular bidimensional, com uma vizinhança imediata de oito vizinhos (quatro ortogonais – horizontais e verticais e quatro diagonais), chamada vizinhança de Moore (Figura 20).
Para Pádua e Vieira, (2004), no Jogo da Vida, célula adjacente a uma célula de interesse inclui as células nas diagonais, como sendo vizinhas (Figura 21) e apresentam três regras básicas para o jogo da vida que são:
1. Uma célula inativa circundada por três células ativas torna-se ativa (diz-se que a célula nasce);
2. Uma célula ativa circundada por duas ou três ativas permanece ativa;
3. Para qualquer outro caso, a célula torna-se inativa (diz-se que a célula morre) ou permanece inativa. (PADUA; VIEIRA, p.1/2, 2004).
FIGURA 20 - OS AUTÔMATOS CELULARES CONHECIDAS COMO VIZINHANÇA DE MOORE, POR APRESENTAR OITO VIZINHANÇAS, QUATRO ORTOGONAIS (DUAS VERTICAIS E DUAS HORIZONTAIS) E QUATRO DIAGONAIS
FONTE: ADAPTADO DE PÁDUA E VIEIRA, P. 5, 2004
FIGURA 19 - EXEMPLO DA DINÂMICA DE APLICAÇÃO DAS REGRAS DE TRANSIÇÃO EM UM AUTÔMATO CELULAR
FONTE: MODIFICADO DE: PEDROSA; CÂMARA, CAP. 6, P.19, 2004
I Insta
Desta forma, neste autômato celular ―Jogo da Vida‖, o espaço é representado como uma grade de células, que apresenta um estado inicial aleatório, algumas células estarão vivas e outras mortas. A cada geração, novas células nascem ou morrem de acordo com as células vizinhas. Assim, uma célula morta
Desta forma, neste autômato celular ―Jogo da Vida‖, o espaço é representado como uma grade de células, que apresenta um estado inicial aleatório, algumas células estarão vivas e outras mortas. A cada geração, novas células nascem ou morrem de acordo com as células vizinhas. Assim, uma célula morta