Automata Celulares de Gás de Rede

O automato celular gás de rede (LGA) foi proposto por Frisch et al [81] como uma alterna- tiva aos tradicionais métodos de solução numérica das equações de movimento. Foi utilizado uma classe de gás de rede determinístico com elemenos Booleanos discretos para simular a equação de Navier-Stokes. O LGA é um tipo de sistema dinâmico-molecular que oferece a vantagem de garantir estabilidade numérica juntamente com uma simplicidade computacional excepcional. A idéia básica por trás dos LGA é definir convenientemente um automato celular juntamente com leis de conser- vação apropriadas, que conduzem à equação do movimento. Em comparação aos gases reais e aos líquidos reais, o modelo considera um micro-mundo de partículas, representando as moléculas, que estão dispostas nos sítio de uma rede regular (a triangular foi originalmente proposta). As partículas podem se mover de sítio a sítio ao longo das arestas da rede, obedecendo a regras previamente esta- belecidas, que representam entidades físicas tais como energia, momento linear, etc. Este movimento sobre a rede é similar ao das moléculas de um gás, dando origem ao nome “gás de rede“. O sucesso do método foi imediato sendo, então, utilizado em inúmeros trabalhos que estudaram avalanches em pilhas de areia [82, 83, 84], velocidades dos fluxos granulares [85], fluidos Newtonianos [86, 87, 88] e materiais granulares em geral [89, 90, 91]. Como o modelo LGA utiliza probabilidades, ele às vezes aparece na literatura com o nome de Automato Celular de Gás de Rede Probabilístico (PLGA). A seguir mostramos dois exemplos simples de utilização do PLGA.

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O modelo Tetris

Para a Física Estatística, vários estados microscópicos podem levar a um mesmo estado macros- cópico. Semelhantemente, para um sistema granular, um grande número de estados microscópicos pode fornecer uma determinada densidade macroscópica. Como citado anteriormente (equação 2.4), a densidade de compactação de um meio granular seco apresenta uma lei do inverso do logarítmo com o número de “tapinhas”. O modelo Tetris [92] é um modelo computacional em que obtém-se um “pacote granular” em uma configuração estável através da simulação computacional da formação de uma pilha. Várias configurações finais para um pacote granular podem ser obtidas para os mesmos tipos e quantidades de partículas colocadas numa rede. É um modelo similar ao jogo “Tetris”, muito comum nos computadores de hoje, no qual grãos vizinhos podem fazer parte de diferentes pacotes dependendo de suas orientações geométricas.

O modelo Tetris aborda a formação de um pacote granular numa rede bidimensional, em que as partículas movem-se na rede, somente podendo ocupar os nós da rede e movimentando-se sempre sobre influência da força da gravidade (sentido descendente da rede). Isso obriga as partículas a se moverem sempre para baixo, isto é, para o fundo do pacote. No modelo Tetris a rede é estável e apenas as partículas são dotadas de movimento (a única força atuante nas partículas é a gravitacional), sendo que somente uma partícula se move a cada iteração. A escolha de qual partícula entrará na rede e em que posição da rede ela será inserida é feita aleatóriamente. Um software gera uma seqüência de números pseudo-aleatórios que são utilizados para efetuar estas escolhas. Uma vez inserida na rede, a partícula só poderá se mover para uma das duas posições inferiores a que esta se encontra na rede. Novamente através do gerador de números pseudo-aleatórios será efetuada a escolha de qual será a nova posição que a partícula irá ocupar. A figura 4.1(a) e (b) mostram as representações gráficas de dois instantes diferentes do modelo Tetris, onde uma partícula é inserida na rede e começa a se mover. Uma partícula mover-se-á na rede até que esta chegue ao final da rede ou até que esta encontre outras partículas já previamente dispostas e estáveis na rede impedindo, assim, que a partícula continue a se mover, conduzindo-a à estabilidade. Para o caso em que já existem partículas na rede, são executadas iterações que testam o movimento da partícula em relação às partículas que já ocupam uma posição na rede.

Uma variação desse modelo [36] consiste de uma rede com dimensões que podem ser alteradas e partículas de três formatos distintos. Como as partículas tem formatos distintos, o movimento de cada partícula em relação às outras partículas também será diferente, ou seja, partículas de formatos diferentes interagem diferentemente em sua dinâmica. A figura 4.1(c) mostra uma rede já povoada com algumas partículas. Pode-se perceber a diferença entre os três tipos de partículas que estão dispostos na rede. Nota-se na figura 4.1(c) que algumas partículas podem parecer instáveis na atual configuração da rede, mas convém lembrar que as partículas só podem se mover pela rede, que na figura 4.1, é representada pelas linhas oblíquas. Desta forma, algumas partículas, apesar de parecerem instáveis, permaneceram estáveis na rede. É devido ao fato de restarem vazios na rede que se explica o fato de que, ao submetermos um pacote granular como o da figura 4.1(c) à uma determinada vibração, nota-se que o pacote tem seu volume reduzido, ou seja, este sofre uma compactação. Tal consideração

4.2

Automata Celulares

Fig. 4.1: Representação gráfica do modelo Tetris. Evolução temporal desse modelo, (a) e (b). Vários tipos de partículas no modelo Tetris (c). [36]

pode ser facilmente demonstrada na prática, para isto basta derramar açúcar dentro de um pote. O açúcar ao ser derramado no pote, formará uma pilha cônica e o encherá. Se ao cessar o derramamento de açúcar dentro do pote forem aplicados tapinhas na lateral do pote verifica-se que o açúcar parece diminuir dentro do pote. O que acontece na verdade é que o açúcar, como qualquer outro meio granular, sofre compactação pela ação da vibração. O fato é que a vibração provoca um rearranjo das partículas que antes estavam estáveis formando uma nova configuração no pacote, tornando-o mais compacto que anteriormente. Durante tal rearranjo os espaços previamente deixados na rede serão ocupados por uma partícula que estava em uma posição adjacente. O arranjo final é um pacote granular mais denso que o inicial.

O modelo de Petri e Oliveira

O modelo de Petri e Oliveira [1] consiste na elaboração de uma malha horizontal, onde as par- tículas granulares são dispostas de forma a se arranjarem de uma forma estável. Porém, apesar de inicialmente as partículas se encontrarem estáveis, existem buracos ou lacunas na malha e quando se submete o pacote a um movimento vibracional qualquer, as partículas se movem pela malha pro- vocando um rearranjo na malha. Este rearranjo interfere tanto no tamanho quanto na posição das lacunas.

Quando uma lacuna se situa sob uma partícula pertencente à linha imediatamente superior à linha da primeira e se a lacuna é maior ou igual ao tamanho da partícula, a partícula se move da malha superior para a inferior preenchendo a lacuna. Tal movimento, unicamente descendente, provoca um aumento na densidade da malha inferior e, conseqüentemente, do pacote granular como um todo. A figura 4.2 mostra uma representação gráfica de três instâncias do modelo de Petri e Oliveira.

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Metodologia - Automata Celulares

Fig. 4.2: Representação gráfica do modelo Petri e Oliveira. [36]

quando possível, podem se mover também na vertical. Para um dado movimento vibratório, as partí- culas se moverão mais ou menos rapidamente de acordo com a amplitude e freqüência do movimento a que estas estão submetidas. As colisões entre partículas também são consideradas neste modelo, pois estas influem na posição que as partículas irão ocupar.

Capítulo 5

Padrões em Meios Granulares Densos - Dados Experimentais

5.1 Introdução

Em um trabalho experimental realizado no Departamento de Física da Universidade Federal de Viçosa, estudou-se a formação de padrões na interface entre dois tipos de materiais granulares densos [91, 93]. Neste experimento, um tipo de grão é injetado em uma monocamada de outro tipo de grão em regime quase-estático. O experimento foi realizado confinando-se os grãos numa célula de Hele-Shaw. Como veremos mais adiante, padrões váriados e inesperados foram observados devido ao deslocamento de um meio granular no outro. Esses padrões variam desde padrões circulares até padrões dentríticos. Os resultados parecem ter alguma analogia com a formação de dendritos, quando se injeta um fluido viscoso noutro. Não foi encontrado na literatura nenhum resultado para deslocamento grão-grão em célula de Hele-Shaw, o que torna este estudo original e desafiador. Este tipo de experimento é muito utilizado no estudo da interação fluido-fluido, mas esta é a primeira vez que este tipo de experimento foi feito com materiais granulares.