Avaliação de obrigações e de Credit Default Swaps

Duffie (1999) e Hull e White (2000) apresentaram uma equação simplificada para a determinação do preço de um CDS e para a quantificação do diferencial existente entre o prémio do CDS e o spread de crédito implícito na obrigação. No presente trabalho foi seguida a metodologia adoptada por Zhu (2006) e por Ariel Levy (2009), a qual procura determinar em separado o prémio dos CDS e o preço das obrigações. Adicionalmente foi construído um portfolio que, ao pretender replicar um contrato de CDS, permitiu quantificar o diferencial existente entre o prémio do CDS e o yield spread da obrigação.

Neste contexto, considere-se então um mundo neutro ao risco e um portfolio constituído por três activos: uma obrigação sem risco de crédito, uma obrigação com risco de crédito e um contrato de CDS.

As condições de não arbitragem sugerem que o CDS pode ser replicado sinteticamente através da venda a descoberto de uma obrigação de taxa fixa avaliada ao par, emitida pela mesma entidade de referência e com a mesma data de maturidade e da compra de uma obrigação sem risco de crédito, com um cupão de taxa fixa e igualmente cotada ao par. O prémio do CDS deverá corresponder ao spread de crédito implícito na obrigação com risco de crédito. A lógica é a seguinte:

Considere-se que f(t) representa a probabilidade de default neutra ao risco de uma obrigação com risco de crédito no momento t. A probabilidade de sobrevivência neutra ao risco de uma obrigação com risco de crédito até ao momento t é representada por F(t) e é igual a:

.

Um contrato de CDS requer que o comprador de protecção pague regularmente um prémio constante, S, em cada um dos períodos t = 1, 2, 3, …, N, até à maturidade do contrato (momento N) ou até à ocorrência de um evento de crédito (geralmente uma situação de default). Em caso de default (no momento t), o pagamento líquido realizado pelo vendedor de

24 protecção7, corresponde à diferença entre o valor nominal (100 u.m., por exemplo) e o valor de recuperação da obrigação subjacente nessa data (Rt). Por simplificação assume-se que,

nesta situação, não ocorrerá o pagamento da fracção do prémio do CDS correspondente ao período decorrido entre a data do último pagamento e a data do evento de crédito. De forma semelhante, considere-se que o detentor da obrigação recebe, com a mesma frequência, um cupão fixo C e que Y representa o seu yield spread periódico.

Na versão mais simples deste modelo assume-se uma taxa de juro sem risco, r, constante ao longo do tempo.

Tendo em conta que os modelos de risco de crédito são usualmente formulados em tempo contínuo, o montante do prémio de um CDS satisfaz a seguinte condição:

O lado esquerdo da equação anterior representa o valor actual de todos os prémios de um CDS, descontados à taxa de juro sem risco, pagos ao vendedor de protecção no caso de não se verificar qualquer evento de crédito. O lado direito da equação corresponde ao valor esperado do pagamento devido ao comprador de protecção, em caso de ocorrência de uma situação de default. Em equilíbrio, num contexto de avaliação neutra ao risco, estes dois montantes terão de ser iguais, para assegurar que não existem oportunidades de arbitragem.

Com base na mesma metodologia de avaliação neutra ao risco, o preço de equilíbrio de uma obrigação com risco de crédito (com cupão fixo e avaliada ao par) é o seguinte:

7 _{Geralmente, em caso de default, o vendedor de protecção paga um valor equivalente ao notional do contrato de}

CDS e recebe da contraparte a obrigação subjacente. De salientar, contudo, que nos casos em que o notional dos contratos de CDS excede o montante nominal da dívida emitida subjacente, terá de ser efectuado um rateio da totalidade da dívida outstanding pelo nº total de compradores de protecção.

25 A quantificação do valor de uma obrigação com risco de crédito corresponde ao somatório do valor actual de todos os seus cash flows ponderados pela probabilidade de ocorrência de cada um dos pagamentos. A equação é constituída por três partes: (i) valor actual de todos os cupões recebidos, no caso de não se verificar qualquer evento de crédito; (ii) o valor actual do montante nominal, a ser reembolsado na maturidade da obrigação, num cenário em que não ocorre uma situação de default; e (iii) o valor esperado da obrigação em caso de default.

Da mesma forma, o preço de equilibro de uma obrigação sem risco de crédito que paga uma taxa de cupão igual à taxa de juro sem risco, r, em cada um dos períodos t é o seguinte:

Como no caso de um investimento sem risco, a probabilidade de default é nula e a probabilidade de sobrevivência é igual a 1, temos que:

Considere-se que um investidor vende a descoberto a obrigação com risco de crédito e compra uma obrigação de taxa fixa sem risco de crédito cotada ao par. Tendo em conta que no momento inicial o valor do investimento é nulo, a condição de não arbitragem requer que (equações (7) – (6)):

26 Comparando esta equação com a fórmula de avaliação de um CDS (equação (5)), torna-se intuitivo que num mercado sem fricções tenha de se verificar a seguinte condição:

Assim, o spread de um CDS deverá ser aproximadamente igual ao spread de crédito de uma obrigação de taxa fixa cotada ao par (cupão ou yield8 da obrigação deduzida da taxa de juro sem risco). Se o spread do CDS, S, for superior ao diferencial Y - r, um investidor irá procurar vender protecção no mercado de derivados, comprar a obrigação sem risco e vender a obrigação com risco de crédito no mercado à vista, obtendo desta forma um lucro. Se S for inferior a Y - r, a adopção de uma estratégia inversa permitirá, igualmente, gerar um resultado positivo.