Avaliação dos Modelos

A signifícância estatística dos modelos pode ser avaliada fazendo-se um análise da vari­

ância. Nenhum dos modelos pode apresentar falta de ajuste, porque 0 número de parâmetros é igual ao número de ensaios distintos.

Uma outra maneira segura de testar a qualidade dos modelos, e certamente mais interes­ sante para o pesquisador, é fazer ensaios com misturas que não foram usadas na modelagem e comparar os resultados experimentais com os valores previstos por cada modelo. O modelo que apresentar um valor absoluto médio dos resíduos menor, certamente, será o mais indicado.

4.6 Pseudocomponentes

Freqüentemente há casos em que não se explora totalmente o simplex, por causa de certas restrições nos limites das proporções dos componentes. Restrições nos limites inferiores de Xi limitam as misturas a uma sub-região do simplex. Essa limitação a uma sub-região também re­ sulta na definição dos limites superiores de alguns componentes da mistura. Um outro caso que ocorre com freqüência é quando os limites inferiores e superiores de algumas ou de todas pro­ porções dos componentes são limitadas, ou seja, requer-se a presença de todos os componentes para que se tenha imi produto aceitável. Em qualquer uma dessas situações, o fato de se ter um subconjunto do simplex, ou uma região menor de experimentação para a análise, diminui o custo e o tempo de experimentação, bem como aumenta a precisão das estimativas do modelo.

4.6.1 Introdução de L-Pseudocomponentes e U-Pseudocomponentes

Desde que a restrição dos limites inferiores de Xj forma uma sub-região do simplex origi­ nal, é natural redefinir as coordenadas dessa sub-região em termos de “pseudo” componentes. Isso é como introduzir variáveis codificadas que tomam valores, por exemplo como; -1, 0, +1, ao invés de usar valores originais como temperatura, tempo, etc.

Os pseudocomponentes são definidos como combinações das proporções dos compo­ nentes originais e a principal razão de introduzí-los é que a construção dos experimentos e o ajuste do modelo são mais fáceis quando feitos em sistemas pseudocomponentes do que quando feitos em sistemas com os componentes originais. Contudo, deve-se lembrar que pseudocompo­ nentes são “pseudo” e se deseja observar o efeito dos componentes originais que compõem o sistema deve-se também ajustar o modelo aos componentes originais ou fazer a transformação inversa para produzir imi modelo em função dos componentes originais.

Os L-pseudocomponentes são definidos em termos dos componentes originais e seus li­ mites inferiores. Em termos gerais diz-se que o sistema consiste de q componentes e Li > 0 re­ presenta o limite inferior para o componente i, i = 1, 2, .... , g- A condição de contorno para o limite inferior é expressada na forma geral por;

onde qualquer ou alguns dos Li pode ser igual a zero. Os L-pseudocomponentes (x ,) são defini­ dos pela subtração dos limites inferiorès Z, de e dividindo esse valor pela diferença 1- (soma dos 4 X como: — ' l - L (25) 9 onde L = < 1- <=i

Para ilustrar, mostra-se um exemplo em que a forma da superfície sobre a região do sim­ plex é definida pelos seguintes limites inferiores das proporções dos componentes da mistura:

x ,> 0 ,3 5 X2>0,20 X3>0,15 (26)

Em qualquer região a menor proporção Xi = 0,35 do componente 1 é requerida estar pre­ sente em cada mistura, combinada com a menor proporção X2 = 0,20 do componente 2 e a menor proporção X3 = 0,15 do componente 3. É claro que todas esses três componentes não podem as­ sumir esses três limites simultaneamente, pois nesse caso a soma Xi + X2 + X3 = 0,70 é menor do que um e não forma uma mistura válida.

Respeitando as restrições nos x^ apresentadas em (26), a região de mistxiras possíveis en­ volvendo os componentes 1,2 e 3 está representado pelo triângulo interior da Figura 12.

F igura 12 Sub-região do simplex original redefinida como um simplex de L-pseudo­ componentes, x j, i = 1,2, 3. [Cornell, 1990a: 140]

A localização dos limites inferiores das proporções dos componentes não distorce a for­ m a da sub-região e retém a forma de um simplex regular ou um triângulo equilátero em três componentes. Se o tamanho dos limites inferiores é igual, então o centro da sub-região é o cen­ tro (l/q , l / q , ...., l/q) do simplex original. Entretanto, se os limites superiores ou ambos, superio­ res e inferiores, possuem restrições de valores, a região resultante não assimiirá mais a forma de um simplex.

A orientação do simplex de L-pseudocomponentes é a mesma orientação do simplex ori­ ginal. Os vértices Xj = 1 do simplex original são os vértices = 1 do simplex de pseudocompo- nentes. As coordenadas x] =1, = 0 , j?ti dos pseudocomponentes correspondem às coordena­ das x^ = L j + l - L , Xj= L j , i^i, nos componentes originais que são:

f^X.|,X2,X3^ — ^ 1, 0, 0 ) — (^Xi,X2iX3^ — (l L2 L3, L2,L3^ = (-0,1,0)= = ( L ,

1

- L , - L

3

, L

3

) = ( 0 , 0 , 1 ) = = ( L „ L „ 1 - L , - y

A construção dos experimentos no sistema L-pseudocomponentes é ilustrada na Tabela 2. Por simplificação escolheu-se um polinómio de segundo grau para modelar a superfície da região em e optou-se por um arranjo (3, 2} nos Xj para observar os valores das respostas. 0 conjunto de experimentos x^ = 0, I é mostrado igualmente na Tabela 2.

T abela 2 Conjunto de componentes originais e conjunto de pseudocomponentes. [Cor­ nell, 1990a: 142]

Pseudocomponentes Componentes originais Valores

•^3 •^1 •^2 ^3 medidos 1 0 0 0,65 0,20 0,15 28,6 0,5 0,5 0 0,50 0,35 0,15 42,4 0 1 0 0,35 0,50 0,15 20,0 0 0,5 0,5 0,35 0,35 0,30 12,5 0 0 1 0,35 0,20 0,45 15,3 0,5 0 0,5 0,50 0,20 0,30 32,7

O conjunto de componentes originais X) correspondentes ao conjunto dexj são obtidos pela reversão e resolução da Equação 25, ou seja, o conjunto dos componentes originais é obti­ do usando;

X, = L , + (1- I > ; (28)

assim, para i = 1, L, = 0,35 e L = 0,70, tem-se o valor de xi correspondente a xj = 1; Xi =0,35 + (1-0,70)-1 = 0,65.

Similarmente, correspondendo x\ = 0,5, tem-se; X i= 0,35+ (1-0 ,7 0 )-0 ,5 = 0,5

O conjunto dos componentes originais, também, é listado na Tabela 2. Nota-se que o in­ tervalo de valores para cada x, é l - L , o que significa, x, indo de Z, a Z , + ( l - i ) , assim como x] vai de zero a um.

Sendo o sistema original da mistura definido como um conjunto de L- pseudocomponentes, a próxima etapa é coletar os valores observados da resposta no conjunto de experimentos para que o modelo possa ser obtido em termos de L-pseudocomponentes ou com­ ponentes originais.

Um polinómio de segundo grau em L-pseudocomponentes é;

77 = >',xi + ^2X3 + >^3X3 + >^,2xjx2 + >',3XÍX^ + y23X2X; (29)

OU

rj = fi^x^+ + p^x^ + p^:^x^x^ + p^^x^x^ + (30)

onde os |3’s podem ser expressos em termos dos ^ys como:

i

o >'i2-^2(A ~ 0 "''> ’i3-^(A “ 0'*‘ >’23-^2A . /=1

1- L -

« _ +-Vi3 A (^ “ 0+ y2J^2(A “ 0 , ^

1 - i

ß,j=y,jl(\-Lf.

/ J = l,2e3, ,'< ;

Quando duas ou mais das proporções dos componentes são restritas pelos limites superio­ res, Xi < Ui, definem-se os U-pseudocomponentes;

■‘1 9

onde t / = > 1. í=i

A região formada pelos U-pseudocomponentes w,, i = \ ,l ,...,q é chamada de U-simplex. Neste trabalho, limita-se ao uso de L-pseudocomponentes.

Na prática é possível encontrar situações em que existam restrições nos limites superiores e inferiores. Nessas situações, para formar uma mistura válida requer-se um L, mínimo, mas não maior do que Í7, do componente / , e combinações similares são especificadas, também, para as outras proporções dos componentes.

Para dar mn exemplo da localização dos limites das proporções dos componentes, mos- tra-se a formulação de uma mistura com as seguintes restrições;

0,40 < xi < 0,80 0,10 <X2

0,05 < X3 < 0,30 0,05 < X4 < 0,30

Embora a definição das formulações não defina um limite superior para o percentual de

X2, o limite 50% é estipulado pela presença dos limites inferiores de 40%, 5% e 5% de

respectivamente. Então, as restrições em x, são escritas como: 0,40 < Xi < 0,80

0,10 <X2< 0,50 0,05 < X3 < 0,30 0,05 < X4 < 0,30

Com q componentes, os limites são definidos como:

0 < Z , , < . x , < ^ , < l / = 1 , 2 , .... ,q (33) Quando somente uma ou duas das proporções dos componentes são restritas, a forma do espaço resultante não é tão difícil de imaginar ou definir. Contudo, se aproximadamente todas as proporções dos componentes são limitadas acima e abaixo, então o espaço resultante toma a forma de um poliedro consideravelmente mais complicado na forma, do que o simplex.

Os limites particulares que são escolhidos dependem na forma ou grau da equação que é usada para modelar a superfície sobre a região. Por exemplo, se um modelo de segundo grau, apresentado na Equação 34, é desejado para os dados coletados nas várias combinações de x^.

/■= 1, 2, q , sobre a região da Equação 33, então, um mínimo de q + q ( q - l ) l 2 pontos dis­

tintos são necessários para fazer a coleta de observações, sendo este o número de parâmetros a serem estimados.

^ = Z M + Z Z í=i /< j

Em geral o conjunto de pontos experimentais deve consistir de no mínimo q vértices extremos, os pontos centrais de, no mínimo, q{q - 1)/2 extremidades e um subconjunto de faces centrais.

Alguns algoritmos podem ser usados para determinar as coordenadas dos vértices extre­ mos da região delimitada. Há, também, fórmulas para calcular o número de vértices e a dimen­ são dos limites na região. As fórmulas, entretanto, requerem que os limites inferiores e superio­ res sejam consistentes.

4.6.3 Detecção de Inconsistência dos Limites

Piepel [1983] apresentou fórmulas para verificar a consistência dos limites das propor­ ções dos componentes

0 < L , < x ^ < U , < \ / = 1,2, .... , q e (35)

;=1

Os limites da Equação 35 são ditos ser consistentes quando as possíveis combinações dos Xi, i = 1, 2, q para essa região, para todas as proporções dos componentes (não necessa­

riamente todas simultaneamente) atendem seus limites inferiores (x, = L, ) e todas as proporções dos componentes atendem seus limites superiores (xj = t/, ). Por exemplo, o conjunto de limites:

0 <JCi <0.1

0 . 1 <jc2 < 0 . 2 (36)

0.6 < X3 < 0.8

não é consistente, ou é inconsistente, porque x^ não pode ser tão baixo como 0,6 (isto é, não há nenhuma combinação ou mistura dos componentes com x^= L^ = 0.6 ). O valor mínimo de X3 é

0 . 3 < j c i < 0 , 8

0 . 1 <x2 < 0 . 5 (37)

0.2 < X 3 < 0.6

também é inconsistente, porque o limite superior í/j =0.8 para Xi é inaceitável, se Uj no con­ junto for 0,7, então, ò conjunto dos limites é consistente.

Para verificar a consistência dos limites na Equação 35 ou quantificar os mesmos, para qualquer inconsistência nos limites, primeiro calcula-se o intervalo de cada :

R , = U ^ - L ^ , i = l ,2, . . . , q então:

/ ^: =— , i = l , 2 , . . . . , q (38)

1- Z A /=i

representa o intervalo do L-pseudocomponente, xj. Agora, se para qualquer i, i?j > 1, que é:

í ^ > 1 ~ Z A ou Ui + Y , ^ j > \ (39)

1 = 1 j*i

então, Í7, é inaceitável, como foi o caso de em (37), então Rj = 0.5/0.4 = 1.2 > 1. O limite inferior, L ,, também, é inaceitável se para qualquer i ,

o u <1 (40)

j*> j*’

como na Equação 34 é inaceitável, pois = (0.10 / 0.30 + 0.1 / 0.3) = 0.67 < 1.

Outra maneira de detectar a inconsistência dos limites, causada por um I, inaceitável é através do uso de U-pseudocomponentes. O tamanho linear do U-simplex (7?u) e o tamanho line­ ar do L-simplex (Ri) são definidos como:

R a = Í u , - l e R , = l - Í L , (41)

(=1 /

Quando os limites ou as restrições não são consistentes deve-se fazer os ajustes nesses limites. Os ajustes são feitos em todos limites que são inaceitáveis (isto é, redefíne-se novamente esses limites), ou em alguns dos limites em .

A consistência dos limites é necessária para calcular a dimensão da região delimitada pelos limites, bem como, no uso de U-pseudocomponentes para calcular as coordenadas dos vértices extremos da região delimitada.

4.6.4 Transform ação p a ra Limites Consistentes

O conjunto de limites inconsistentes pode ser ajustado para um conjimto consistente, mas isto afetará a forma e o tamanho da região experimental. Para ilustrar, considera-se as seguin­ tes restrições para Xj, Xj, e .Yj :

0,20 < X, < 0,40 0,20 < Xj < 0,60 0,18 <X3< 0,70 (42) Os intervalos dos componentes são R, = 0 ,4 0 -0 ,2 0 = 0,20, R2 =0 , 4 0 e R 3 = 0 , 5 2 , então:

Rl = 1 -0 ,5 8 = 0,42 Ru = 1 ,7 0 -1 = 0 ,7 0

e então, R j > Ri , desta maneira o limite superior U3 = 0,70 não é adequado e 0 conjimto de limites da Equação 42 é inaceitável. U3 pode ser recalculado pelo limite definido pela Equação 43:

U; = L ^ +R , (43)

onde é usado para determinar se os limites são consistentes.

i

Também pode-se forçar os limites a serem consistentes pela alteração dos limites inferio­ res. Por exemplo se U3 = 0,70 é mantido como limite superior para X3, então para alterar os li­ mites de da Equação 42 para tomá-los consistentes deve-se abaixar Li de 0,20 para 0,10, ou abaixar Lj de 0,20 para 0,10 ou abaixar ambos L] e L2 em quantidades iguais a 0,05, para dar Lj = 0,15 e L2 = 0,15. Todos esses casos apresentam alterações na forma e tamanho da região expe­ rimental em função das mudanças dos limites. A F ig u ra 13 mostra a região definida quando muda-se o limite superior U3 = 0,70 para Uj = 0,60. A região é delimitada por cinco vértices, os quais as coordenadas (xi, X2, X3) são (0,40; 0,42; 0,18) para o vértice 1, (0,40; 0,20; 0,40) para o vértice 2, (0,20; 0,20; 0,60) para 0 vértice 3, (0,20; 0,60; 0,20) para o vértice 4 e (0,22; 0,60; 0,18) para o vértice 5.

F igura 13 Região definida pelos limites 0,20 < Xj < 0,40, 0,20 < X2 < 0,60, 0,18 < X3 < 0,60 = u ; . [Cornell, 1990a; 163]

4.6.5 Escolha do Conjunto de Pseudocomponentes

Tanto L-pseudocomponentes como U-pseudocomponentes são usados como altemativas para o uso no lugar dos componentes originais, quando restrições aos limites superiores e inferi­ ores são feitas para .

Quando alguns ou todas as proporções da mistura têm restrições nos valores dos limites inferiores (I^) de jc, , a região experimental, ou região delimitada, fica dentro do simplex original

e seus vértices são alinhados também com os vértices do simplex original. A transformação para L-pseudocomponentes é feita pela E quação 25:

(25) 1 - E 4

;■=]

O conjunto de experimentos em L-pseudocomponentes e as proporções originais é cal­ culado usando a Equação 28 já mencionada. Um modelo em L-pseudocomponentes é, então ajustado aos dados que são coletados nos pontos experimentais.

Quando alguns ou todas as proporções dos componentes são restritas a valores dos limi­ tes superiores, í/, , em x, , os U-pseudocomponentes são usados e definidos como na Equação 32:

(32) •1

i = \

o U-simplex tem a orientação oposta ou reversa da orientação do simplex em x, (referi­ do muitas vezes por x-simplex). Os vértices do U-simplex podem se estender além dos limites

do x-simplex. Contudo, se “ ^min < ^ ^min ^ o mínimo dos Uj , então o U-simplex 1=1

fíca inteiramente dentro do x-simplex e o U-simplex é a região experimental. Neste caso, a

quantidade = - l é o comprimento dos vértices dos U-pseudocomponentes.

;=1

Quando algumas ou todas as proporções dos componentes são limitadas a valores superi­ ores ( U j ) e inferiores (Z,) em x ,, a primeira etapa na definição do uso de L-pseudocomponentes ou U-pseudocomponentes é verificar a consistência dos limites inferiores e superiores. Isso é

feito comparando cada intervalo, Rj = Í7, - ^ com 7?^ = 1 - ^ A ® ^ ^ qualquer

(=1 i=i

Rj > R i , então isso indica a inconsistência do limite superior Uj e se qualquer R; > R u , então

isso indica a inconsistência do limite inferior . A inconsistência do limite deve ser substituída

pelo seu respectivo limite U* = Lj + R^ e Z* = t/, - , para tomar o conjunto de limites con­ sistentes.

A escolha de trabalhar com L-pseudocomponentes x], ou U-pseudocomponentes, w, de­

pende da forma da região experimental. Se R i < R ^ , então o simplex L-pseudocomponentes é menor em tamanho do que o simplex U-pseudocomponentes e, também, se o L-simplex está inteiramente dentro do U-simplex, então os x] são escolhidos para serem usados, caso contrário, se usa Uj. Se Ru < Ri U-simplex é menor em tamanho do que o L-simplex, e além disso, se o U-simplex fica inteiramente dentro do L-simplex, então os w, são escolhidos para o uso. Se ne­ nhum simplex está dentro do outro, o use R^ = R^ , então a região experimental não é um sim­ plex, e M, são escolhidos para a construção dos experimentos.

No documento Formulação de fritas cerâmicas utilizando delineamento de misturas / (páginas 50-63)