4 Otimização Multiobjetivo
4.3 Avaliações de Conjuntos de Aproximação
Até o presente momento foram discutidos vários aspectos da otimização multiobjetivo. No entanto, um aspecto não menos importante neste contexto é a avaliação de conjuntos de aproxi- mação. No processo de solução de um problema multiobjetivo é importante poder diferenciar que conjunto é melhor, supondo que haja a aplicação de mais de um otimizador. Fazer tal declaração não é uma atividade trivial e requer algumas considerações importantes.
4.3.1 Indicadores de Qualidade
Um indicador de qualidade é uma função que mapeia um conjunto de aproximação C para um valor real como ilustra a equação 4.2
I: C −→ R (4.2)
A equação 4.2 ilustra um indicador de qualidade I unário, no entanto, é possível ter também indicadores binários.
Segundo Zitzler, Knowles e Thiele (2008) qualquer função que leve de C até um valor do conjunto R pode ser um indicador de qualidade. Adicionalmente, é necessário preencher alguns requisitos:
1. Monotonicidade: O valor atribuido pelo indicador de qualidade deve corroborar com a informação da estrutura de preferência (relação de dominância). Por exemplo:
2. Invariância de Escala: Qualquer transformação nos valores objetivos (Rn−→ Rn) não
deve afetar o indicador.
3. Esforço Computacional: Quanto esforço é necessário para utilizar o indicador de quali- dade, isto se torna mais complexo quando se utiliza o indicador dentro da busca como um direcionador do processo de evolução da população.
4. Conhecimento do Problema: Quanto menos dependência houver em relação a conheci- mento do problema (conjunto de referência por exemplo) mais interessante se torna o indicador.
Uma observação importante sobre o uso dos indicadores de qualidade é a seguinte: dada a utilização de um indicador de qualidade específico, então é necessário afirmar que um algoritmo obtém conjuntos de aproximação melhores que outro algoritmo com base no indicador utilizado. Há outros indicadores importantes como é o caso dos indicadores r (ver (HANSEN; JAZS- KIEWICS, 1998)). Assim como, o método de attainment function proposto por (FONSECA; FONSECA; HALL, 2001). Em (ZITZLER; KNOWLES; THIELE, 2008; ZITZLER et al., 2002) há uma discussão mais ampla sobre avaliação de conjunto de soluções. O restante desta seção trata de alguns indicadores de qualidade que são mais citados na literatura. São eles Hypervolumee o Epsilon.
Indicador Hypervolume
O indicador Hypervolume IHfoi proposto por Zitzler e Thiele (1999). Consiste em verificar
a quantidade do espaço objetivo que é fracamente dominado por um conjunto de aproximação. Neste caso, quanto maior for o valor atribuído a um conjunto de aproximação melhor ele é qualificado. De modo formal, tem-se que se o IH(A) > IH(B) indica que o conjunto A é melhor
que o conjunto B com relação ao indicador Hypervolume. Para sua computação é necessário o conhecimento de um ponto que seja estritamente dominado por todos os pontos dos conjuntos comparados. A figura 4.1 ilustra um exemplo de Hypervolume:
Caso o espaço objetivo não seja limitado então é necessário encontrar um ponto que seja, pelo menos, dominado fracamento por todos os pontos. O ponto em questão é denominado ponto de nadir.
Neste trabalho utiliza-se a implementação do Hypervolume disponível na Plataform and Programming Language Interface for Search Algorithms(PISA) (BLEULER et al., 2002). Esta implementação avalia o hypervolume de uma forma diferente da definição dada anteriormente.
Figura 4.1: Exemplo de Hypervolume o ponto preenchido de cor preta ilustra o ponto de referência. A área cinza ilustra a região do espaço objetivo dominada.
f1 f2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 Nadir Fonte: própria
Neste caso, quanto menor o valor do hypervolume melhor qualificado o conjunto será. Esta observação é importante, já que este indicador é utilizado na avaliação de configurações de parâmetros (ver seções 6.2 e 6.3).
Indicador epsilon Aditivo e epsilon Multiplicativo
Os indicadores epsilon aditivo Iε+ e epsilon multiplicativo Iε foram propostos por Zitzler
et al. (2003). Estes indicadores podem ser utilizados tanto na forma unária quanto na forma binária.
Na forma binária tem-se Iε(A, B) para o caso multiplicativo que indica um fator pelo qual o
conjunto B pode ser multiplicado de modo que ele seja fracamente dominado por A. De modo análogo tem-se Iε+(A, B) que indica um fator que pode ser somado aos vetores objetivos de B
de modo que o mesmo seja dominado fracamente por A. O indicador unário tem a seguinte forma: I+
ε (A) = Iε+(A, R), onde R representa um conjunto
de pontos de referência. Isto também vale para o caso multiplicativo.
Todos as formas do indicador epsilon, seja o multiplicativo ou aditivo se valem da seguinte relação:
Um aspecto interessante deste indicador de qualidade é seu baixo custo computacional. A figura 4.2 ilustra uma exemplo do uso do indicador epsilon.
Figura 4.2: A figura ilustra as áreas que são ε-dominadas pelo conjunto A1. Por exemplo,
Iε(A, P) = 4, indicando que o conjunto B deve ser multiplicado por 4, ou seja, ε > 1. Quanto
menor o valor do ε melhor o conjunto.
5 10 5 2 f f 1 P A1 A2 A3 ε < 1 ε = 1 ε > 1 Fonte:(ZITZLER et al., 2003)
4.3.2 Rank de Dominância
Outra forma de comparação de conjuntos de aproximação é realizada através de rank de dominância. Isto pode ser feito de modo semelhante ao que é feito por Fonseca e Fleming (1993) que atribui o fitness dos indivíduos com base na relação de dominância. Para comparação de conjuntos pode se usar a relação ✁ (melhor) definido na tabela 4.2.
Knowles, Thiele e Zitzler (2006) ilustram uma forma de usar o rank de dominância para comparação de otimizadores. Supondo que haja Ai e Bi conjuntos de aproximação, onde i =
1,...,n representam os n conjuntos de aproximação para dois otimizadores dados. Tem-se C um conjunto formado pela união dos Aie Biconjuntos de aproximação. Portanto:
rank(Ci) = 1 + |{Cj∈ C : Cj✁Ci}| (4.5)
A equação 4.5 ilustra o rank de dominância com base nas relação de conjuntos de aproxi- mação sendo utilizados no intuito de atribuir um valor para cada conjunto. Neste caso, o valor atribuído a um conjunto é a quantidade de indivíduos que o dominam mais um.
Uma vez que cada conjunto de aproximação gerado pelos otimizadores tem um valor atri- buido ao mesmo, pode-se lançar mão de métodos estatísticos (por exemplo, estatística não pa- ramétrica) para verificar se há diferença nas amostra obtidas.