2.4
Avalia¸c˜ao do Modelo Simplificado
A fim de avaliar a quantidade de faces na discretiza¸c˜ao do problema e o tamanho dos modelos PLI criados, um conjunto de instˆancias composto por pol´ıgonos simples foi ge- rado. Os n´umeros de v´ertices destes pol´ıgonos foram escolhidos no intervalo [20, 100], em incrementos de 20. Para cada tamanho, 30 pol´ıgonos simples foram gerados, totalizando 150 instˆancias. Mais detalhes sobre a gera¸c˜ao de pol´ıgonos simples podem ser encontrados no Apˆendice A.
Os programas utilizados foram codificados em C++ e compilados com GNU g++ 4.7, utilizando a biblioteca CGAL 4.2 (Computational Geometry Algorithms Library). O re- solvedor utilizado para computar os modelos foi o IBM ILOG CPLEX 12.2. Quanto ao hardware, usou-se um desktop com AMD Phenom II X6 1055T @ 2.80GHz e 12GB RAM. A quantidade m´edia de faces na subdivis˜ao planar pode ser vista na Tabela 2.1. Em m´edia, 73% ± 4% das faces s˜ao externas ao pol´ıgono.
Como pode ser visto na Tabela 2.2, a remo¸c˜ao das variaveis ygf diminui a quantidade total de vari´aveis no modelo em 99% ± 1%. Embora a redu¸c˜ao do n´umero de vari´aveis seja significativa, a quantidade de restri¸c˜oes no modelo, que diminui em 10% ± 5% do modelo inicial para o compacto, ainda ´e grande para ser tratada de forma eficiente nos resolvedores comerciais. Nos testes realizados, para as instˆancias com 60 v´ertices ou mais, o CPLEX n˜ao conseguiu resolver nenhuma instˆancia dentro do tempo limite de 20 minutos. Nas instˆancias onde o ´otimo foi provado, em m´edia, 92% ± 6% das restri¸c˜oes s˜ao removidas no pr´e-preprocessamento do pr´oprio resolvedor. Isto indica que a maioria das restri¸c˜oes podem ser obtidas pela combina¸c˜ao linear de outras restri¸c˜oes e, portanto, n˜ao precisariam estar no modelo. Logo, uma forma eficiente de encontrar tais restri¸c˜oes, e reduzir a quantidade de restri¸c˜oes redundantes, ´e essencial para resolver instˆancias de maior porte. Nos pr´oximos cap´ıtulos descreveremos os avan¸cos realizados nessa dire¸c˜ao.
Total Faces Faces
V´ertices de Faces Internas Externas
20 210,0 39,1 170,9
40 820,0 205,4 614,6
60 1.830,0 518,3 1.312,7
80 3.240,0 902,2 2.337,8
100 5.050,0 1.576,5 3.473,5
2.4. Avalia¸c˜ao do Modelo Simplificado 16
Modelo Inicial Modelo Compacto V´ertices Vari´aveis Restri¸c˜oes Vari´aveis Restri¸c˜oes
20 1.600 8.307,2 40 6.708,3
40 16.560 143.170,8 80 126.464,7
60 62.280 742.812,4 120 680.134,3
80 144.640 2.256.597,2 160 2.111.214,2 100 315.400 5.793.376,8 200 5.476.600,3 Tabela 2.2: N´umero m´edio de vari´aveis e restri¸c˜oes nos modelos.
Cap´ıtulo 3
Faces de Sombra e Luz
Neste cap´ıtulo, descreveremos uma forma de compactar o modelo PLI apresentado no Cap´ıtulo 2, reduzindo a quantidade de faces a serem consideradas na discretiza¸c˜ao do problema. Demonstraremos que n˜ao precisamos verificar todas as faces internas e externas ao pol´ıgono para garantir que satisfazem ou n˜ao a f´ormula Booleana, mas apenas um subconjunto delas.
3.1
Defini¸c˜ao de Faces de Sombra e Luz
Seja re a reta obtida pelo prolongamento da aresta e de um pol´ıgono P e seja f uma face da subdivis˜ao planar, interna ou externa a P . Sabemos que re separa o plano R2 em dois semi-planos. Se a face f est´a contida no semi-plano que ´e coberto por um guarda em e, em posi¸c˜ao natural de aresta, dizemos que re ´e um prolongamento de aresta de luz em rela¸c˜ao `a face f . Caso contr´ario, re ´e um prolongamento de aresta de sombra em rela¸c˜ao `
a face f . Um exemplo dessa defini¸c˜ao pode ser visto na Figura 3.1.
f h
re
Figura 3.1: Exemplo de prologamento de aresta re que ´e luz em rela¸c˜ao `a face f e sombra em rela¸c˜ao a h.
3.1. Defini¸c˜ao de Faces de Sombra e Luz 18 f h r2 r1 f h s2 s1
(a)
(b)
Figura 3.2: Exemplo onde o prolongamento de aresta r2 ´e luz em rela¸c˜ao a f e sombra
em rela¸c˜ao a h (a) e exemplo de segmento s1 que n˜ao ´e nem de sombra ou luz por ser do
bordo do pol´ıgono (b).
Agora considere sef o segmento de re que est´a adjacente a face f mas que n˜ao separa o interior do exterior de P , ou seja, sef n˜ao est´a contido no bordo de P . Dizemos que sef ´e um segmento de luz se re for um prolongamento de aresta de luz em rela¸c˜ao a f . Caso contr´ario sef ´e um segmento de sombra em rela¸c˜ao a f . Um exemplo pode ser visto na Figura 3.2, onde o segmento s2 de r2 ´e um segmento de luz em rela¸c˜ao a face f e sombra
em rela¸c˜ao a face h. Caso o segmento esteja contido no bordo do pol´ıgono, ele n˜ao ´e considerado nem um segmento de luz nem de um segmento de sombra, como o segmento
s1 da Figura 3.2(b).
Cada face f , interna ou externa ao pol´ıgono P , pode ser classificada em uma das seguintes categorias, adaptando-se conceitos definidos em [10], para o Problema da Galeria de Arte:
1. Face de luz: para toda aresta e ∈ P tal que sef existe, se sef for um segmento de luz, dizemos que f ´e uma face de luz.
2. Face de sombra: para toda aresta e ∈ P tal que sef existe, se sef n˜ao for um segmento de luz, dizemos que f ´e uma face de sombra.
3. Face de penumbra: se f n˜ao for nem de luz, nem de sombra, ent˜ao f ´e uma face de penumbra.
Um exemplo de faces de luz e sombra pode ser visto na Figura 3.3, onde f ´e uma face de luz, uma vez que todos os segmentos em seu bordo s˜ao luz em rela¸c˜ao a f , e k ´e uma face de sombra, uma vez que o ´unico segmento em sua fronteira que n˜ao faz parte do bordo do pol´ıgono ´e sombra em rela¸c˜ao a k. A face h, por possuir tanto segmento de luz e como de sombra em rela¸c˜ao a si, ´e considerada face de penumbra.
3.1. Defini¸c˜ao de Faces de Sombra e Luz 19
f h
k
Figura 3.3: Exemplo de pol´ıgono onde f ´e uma face de luz, k ´e de sombra e h ´e de penumbra.
Se P for convexo, h´a uma ´unica face interna f , definida pelas arestas de P . Note que, como n˜ao existe segmento sef para nenhuma aresta e, pela defini¸c˜ao, f ´e uma face de sombra.
Lema 3. Se n˜ao houver arestas colineares no pol´ıgono, para toda face f e h, adjacentes
entre si, se re for o prologamento de aresta que separa f de h, se re for luz em rela¸c˜ao a
f , ent˜ao qualquer cl´ausula satisfeita por h tamb´em ´e satisfeita por f . Prova.
Se re separar f de h, ou seja, cada face est´a em um semi-plano distinto na subdivis˜ao planar definida por re, como n˜ao h´a arestas colineares no pol´ıgono, como f e h s˜ao adjacentes, este ´e o ´unico prolongamento de aresta que as separam. Assim, como re ´e luz em rela¸c˜ao a f e sombra em rela¸c˜ao a h, um guarda em posi¸c˜ao natural de v´ertice ou aresta definido por e pode estar numa cl´ausula satisfeita por f mas n˜ao numa satisfeita por h.
Para todos os demais prologamentos de arestas, ou seja, para todo re0 tal que re0 n˜ao
separa f de h, f e h estar˜ao no mesmo semi-plano na subdivis˜ao planar definida por re0.
Assim, um guarda em posi¸c˜ao natural de v´ertice ou aresta definido por e0 pode estar na cl´ausula referente a h se, e somente se, tamb´em puder estar na cl´ausula referente a f .
Pelos itens acima, podemos concluir que o conjunto de guardas que pode estar na cl´ausula referente a h est´a contido no conjunto de guardas que pode estar na cl´ausula referente a f . Logo, qualquer cl´ausula satisfeita por h tamb´em ´e satisfeita por f .
Lema 4. Se todas as faces de sombra internas satisfazem uma f´ormula Booleana, ent˜ao
todas as faces internas satisfazem.
Prova. Por contradi¸c˜ao, seja B uma f´ormula Booleana que ´e satisfeita por todas as faces de sombra internas e seja S o conjunto de faces internas que n˜ao satisfazem B.
3.1. Defini¸c˜ao de Faces de Sombra e Luz 20
Tome por R um subconjunto conexo maximal de S. Dizemos que um segmento sef est´a na fronteira de R se a face f ∈ R for adjacente a uma face h /∈ R, tal que o prolongamento da aresta re separa f de h.
Suponha que exista um segmento sef de luz na fronteira de R, para alguma face f ∈ R. Como sef ´e de luz, ent˜ao re ´e um prolongamento de aresta de luz em rela¸c˜ao a f e sombra em rela¸c˜ao a h. Assim, pelo Lema 3, temos que qualquer cl´ausula satisfeita por h tamb´em ´e satisfeita por f . Como h /∈ R, e R ´e maximal, ent˜ao h /∈ S e, portanto, satisfaz alguma cl´ausula de B, de forma que f tamb´em satisfaz, contradizendo que f ∈ S. Portanto, sef ´e de sombra se estiver na fronteira de R.
Se |R| = 1, como R ´e composto por uma ´unica face, e todo segmento sef em sua fronteira ´e de sombra, essa ´unica face ´e de sombra, contradizendo que B ´e satisfeito por todas as faces de sombra.
Se |R| > 1, ent˜ao existe um prolongamento de aresta re, que separa R em duas partes disjuntas: R0 e R00. Vamos considerar, sem perda de generalidade, que sef seja de sombra e seh seja de luz para toda face f ∈ R0 adjacente a uma face h ∈ R00. Logo, R0 tamb´em n˜ao possui segmento de luz em sua fronteira. Podemos concluir de forma indutiva que, repetindo o particionamento de R sucessivamente em R0, teremos como base uma ´unica face de sombra, que pertence a R e, portanto, contradiz que B ´e satisfeito por todas as faces de sombra.
Lema 5. Se nenhuma face de luz externa satisfaz uma f´ormula Booleana, ent˜ao nenhuma
face externa a satisfaz.
Prova. Analogamente ao o Lema 4, se f e h s˜ao faces externas adjacentes entre si, separadas por um prolongamento de arestas de luz em rela¸c˜ao a f e de sombra em rela¸c˜ao a h, pelo Lema 3, qualquer cl´ausula satisfeita por h tamb´em ´e satisfeita por f . Pela contra-positiva, qualquer cl´ausula que n˜ao ´e satisfeita por f tamb´em n˜ao ´e satisfeita por
h.
Considere que nenhuma face de luz externa satisfaz uma f´ormula Booleana B. Por contradi¸c˜ao, suponha que exista um conjunto S de faces externas que satisfazem B. Tome por R um subconjunto conexo maximal de S. Por racioc´ınio an´alogo `a prova do Lema 4, nenhum segmento sef na fronteira de R ´e de sombra, e quando |R| = 1 ou |R| > 1, chega-se a uma contradi¸c˜ao quanto a n˜ao satisfa¸c˜ao de uma face de luz em rela¸c˜ao a B.
A partir dos Lemas 4 e 5 temos o seguinte teorema.
Teorema 2. Uma f´ormula Booleana B ´e v´alida para o NWLP se, e somente se, B ´e
satisfeita por todas as faces de sombra internas e por nenhuma face de luz externa.
Apesar dos resultados experimentais, como veremos adiante, mostrarem que ´e vanta- joso considerar apenas as faces de luz e sombra, n˜ao h´a um ganho assint´otico no n´umero