Axiomas, postulados e alguns teoremas de Q

(D1.1) [Q-set]: !(!) ≝ ¬(!(!) ∨ !(!))

Um quase-conjunto é um objeto que não é um átomo.

(D1.2) [Q-set puro]:  !(!) ≝ ! ! ∧ ∀!(! ∈ ! → ! ! ) ∧ ∀!∀!(! ∈ ! ∧ ! ∈ ! → ! ≡ !)

Um Q-set puro é uma coleção de m-átomos indistinguíveis. (D1.3) [Dinge]: D(x) ≝ ! ! ∨ !(!)

Podemos entender Ding como um objeto clássico dos q-sets. Um objeto clássico dos q-sets ou tem predicado unário M, ou Z.

A teoria de Conjuntos de Zermelo é relacionada a um domínio (Bereich) de indivíduos. No caso dos conjuntos e dos Urelemente, ele refere-se simplesmente aos objetos como sendo Dinge. (FRENCH E KRAUSE, 2006, p. 279).

(D1.4) E(x)  ≝ !(!) ∧ ∀!(! ∈ ! →  ! ! ) Um q-set cujos elementos também são q-sets.

Como dissemos, a identidade nos q-sets foi substituída pela indiscernibilidade. Mas, podemos introduzir por definição um conceito de identidade, chamada identidade extensional, do seguinte modo: (D1.5) [Identidade Extensional] x =E y≝ (! ! ∧ ! ! ∧ ∀! ! ∈ ! ↔ ! ∈ ! ) ∨ (!(!) ∧ ! ! ∧ ∀!!(! ∈ ! ↔ ! ∈ !)

∀_! é um quantificador universal relativizado para os q-sets. Assim, ‘x’ é igual ou idêntico a ‘y’ se, e somente se, forem ambos quase-conjuntos e tiverem os mesmos elementos, ou forem ambos M-átomos e pertencerem aos mesmos quase-conjuntos.

(D1.6) [Subconjunto q-set]: x ⊆ !   ≝ ∀!(! ∈ ! → ! ∈ !)

Em Q, não faz sentido dizer que um átomo está contido em algum q-set, nem que um q-set está contido em algum átomo. Assim, essa relação de subconjunto diz respeito apenas aos q-sets.

Dadas as definições acima, vamos seguir apresentando os primeiros axiomas e teoremas dos q-sets.

(Q1) [Reflexividade] ∀! ! ≡ ! (Q2) [Simetria] ∀!∀! ! ≡ ! → ! ≡ !

(Q3) [Transitividade] ∀!∀!∀! ! ≡ ! ∧ ! ≡ ! → ! ≡ ! (Q4) ∀!∀!(! =_! ! → ! !, ! → ! !, !

No axioma (Q4) segue a mesma restrição sintática usual, ou seja, A(x,x) é qualquer fórmula e A(x,y) surge de A(x,x) pela substituição de algumas ocorrências livres de x por y, contanto que y seja livre para x em A(x,x).

Dadas as relações de equivalência, podemos depreender o seguinte teorema que diz que, se um elemento for um elemento dos q- sets ou um macro-átomo, então eles são extensionalmente idênticos: [Teorema 1] Se Q(x) ou M(x), então x =E x

Prova. Se Q(x), desde ∀! ! ∈ ! ↔ ! ∈ ! , então x =E x pela definição da identidade extensional. Se ! ! , então naturalmente para todo q-set z, nós temos que ! ∈ ! ↔ ! ∈ ! , então x =E x ∎ (Q5) Nada é ao mesmo tempo um m-átomo e M-átomo: ∀! ¬(! ! ∧ ! ! )

Esse axioma determina os dois tipos de átomos para os elementos nos q- sets. Ou a identidade faz sentido para os elementos, tais como os indivíduos representados pelos M-átomos, ou a identidade não faz sentido, tais como os não-indivíduos representados pelos m-átomos.

A partir desse axioma, temos o seguinte teorema. [Teorema 2] Se Q(x) ou M(x), então ¬! !

Prova. Se Q(x), então ¬! ! pela definição (D1). Se M(x), então

¬! ! por (Q5). ∎

Cabe uma observação, como encontramos em Arenhart (2008), quanto ao tipo de classificação das coleções que serão construídas em Q as quais serão estabelecidas pelos próximos postulados para estruturar a teoria. A classificação desejada deve permitir que haja:

a. Conjuntos: que são os q-sets que satisfazem o predicado unário Z. Seus elementos são ou M-átomos ou outros q-sets que satisfaçam Z. b. Q-set puros: que são os q-sets que contêm apenas m-átomos indiscerníveis como elementos.

c. Q-set mistos: que possuem os dois tipos de elementos, M-átomos e m- átomos. Podem ter objetos clássicos, m-átomos, ou q-sets puros (ARENHART, 2008, p. 40).

Continuando com os axiomas, temos: (Q6) Os átomos são vazios: ∀!∀!  (! ∈ ! → ! ! ). (Q7) Todo conjunto é um q-set: ∀!  (!(!) → ! ! ).

(Q8) Os q-sets cujos elementos são ‘coisas clássicas’ são conjuntos e vice-versa: ∀!!(∀! ! ∈ ! → ! ! ↔ ! ! ).

(Q9) Esse axioma é a conjunção das três seguintes fórmulas e pretende definir cada um dos predicados m, M ou Z:

∀!∀!(! ! ∧ ! ≡ ! → ! ! ) ∀!∀!(! ≡ ! ∧ !(!) → ! ! ) ∀!∀!(! ≡ ! ∧ !(!) → ! ! )

A partir dos próximos axiomas, os q-sets serão construídos através dos postulados de existência de alguns elementos.

(Q10) [Conjunto Vazio] Existe um q-set (denotado por ∅) o qual não tem elementos: ∃_!!∀! ¬(! ∈ !) .

A unicidade do (quase)-conjunto vazio será provada a partir do Axioma da Extensionalidade Fraca, que para ‘objetos clássicos’ recai no Axioma da Extensionalidade usual de ZFU. Isso justifica a terminologia utilizada para o quase-conjunto vazio. Portanto, doravante, denotaremos por ∅ o (único) q-set postulado por (Q10).

[Teorema 3] O quase-conjunto vazio é um conjunto.

Prova. Tome ! =! ∅. Desde que ! ∈ ! é falso por (Q10), então o

antecedente de ∀! ! ∈ ! → ! ! é verdadeiro. Daí, ! ∅ por (Q8). ∎ (Q11) Os Dinge indistinguíveis (ver Definição 1.1) são extensionalmente idênticos: ∀_!!∀_!!(! ≡ ! → ! =_! !). Lembre-se que Dinge são ‘objetos clássicos’.

[Teorema 4] A relação de igualdade extensional tem todas as propriedade da igualdade clássica.

Prova. Com x tal que D(x) então ! ≡ ! → ! =_!! por (Q11); o axioma (Q4) fornece a Substitutividade para os Dinge; assim são obtidos os axiomas usuais (standard) para a identidade em uma linguagem de

[Teorema 5] Se M(x) e ! ≡ !, então M(y); o mesmo assume-se para ‘conjuntos’ nomeadamente Z(x) e ! ≡ !, decorrendo Z(y).

Prova. (Para M-átomos) Suponha M(x) e ! ≡ !. Se m(y), desde que ! ≡ ! por (Q2), então nós temos m(x) por (Q9). Daí, M(x) ou z(y). Mas, por (Q11), desde que x seja M-átomo, ! ≡ ! decorre em ! =! !, daí por

(Q4), se M(x) denota A(x, x), nós obtemos M(y). Coisas similares

acontecem se supusermos Z(y). ∎

Observação: Pelos axiomas e teoremas acima, a relação ‘≡ ’ de indistinguibilidade permite a substitutividade para todos os símbolos não-lógicos primitivos, exceto para pertinência ‘∈’. Isto é, se B é m, M, Z, então ! ! ∧ ! ≡ ! → !(!) é teorema. Se isso for possível para ∈, então ≡ seria reflexiva (Axioma Q1) e nós teríamos uma substitutividade completa para ≡. Daí, não poder-se-ia distinguir a indiscernibilidade da usual forma de identidade. Mas, com relação à pertinência, esse não é o caso, isto é, ! ∈ ! ∧ ! ≡ ! não decorre, necessariamente, que ! ∈ ! para que a teoria não tenha axiomas os quais envolvam esse fato. Dessa forma, a indistinguibilidade não é a identidade ‘standard’, ou seja, a identidade da lógica clássica.

(Q12) [Par-Fraco] ∀!∀!∃!!∀!(! ∈ ! ↔ ! ≡ ! ∨ ! ≡ !).

Para todo x e y, existe um q-set cujos elementos são indistinguíveis ou de x, ou de y. Nós denotamos esse q-set por [x, y]. Quando x e y são Dinge, nós podemos usar a notação usual {x, y}. Deixe-nos lembrar que [x, y] denota os q-sets de elementos distinguíveis ou de x, ou de y e, em geral, pode conter mais que dois elementos.

(Q13) [Esquema da Separação] ∀_!!∃_!!∀!(! ∈ ! ↔ ! ∈ ! ∧ ! ! ). Por considerar as restrições sintáticas usuais na fórmula A(t), isto é, A(t) sendo uma sentença (fórmula) bem-formada na qual t é livre, vale esse esquema de axioma. Esse q-set é escrito [! ∈ !: ! ! ]; e quando tal q- set é um conjunto, escrevemos{  ! ∈ !: ! ! }.

(Q14) [União] ∀!!(!(!) → ∃!!(∀! ! ∈ ! ↔ ∃! ! ∈ ! ∧ ! ∈ ! ))

Esse q-set denotado por ⋃! ou por ⋃!∈!! ou mesmo por !⋃! quando t

tem apenas dois elementos (q-sets) u e v.

(Q15) [Partes de Q-set] ∀!!∃!!∀! ! ∈ ! ↔ ! ⊆ !

Antes de continuarmos com os axiomas, seguiremos com mais um grupo de definições que nos orientarão a respeito da formação dos q- sets nas relações binárias.

[Definições do Grupo 2]

(D2.1) [Par ordenado] !, ! ≝ [ ! , !, ! ] (D2.2) [Conjunto Unitário Fraco] [x] = [x, x] Essa é a coleção dos objetos indistinguíveis de x. (D2.3) x  ×  ! ≝ [ !, ! ∈ ℘(℘ ! ∪ ! ): ! ∈ ! ∧ ! ∈ !]

Como no caso de [x, y], [x] é q-set de todos aqueles elementos indistinguíveis de x, dessa forma, pode-se ter mais de um elemento. O mesmo pode ser dito para o produto cartesiano de dois q-sets. O conceito de interseção e diferença de q-sets são definidos na forma usual, tal que:

! ∈ ! ∩ ! se, e somente se, ! ∈ ! ∧ ! ∈ ! ! ∈ ! − ! se, e somente se, ! ∈ ! ∧ ! ∉ !.

(Q16) [Infinito] ∃!!(∅ ∈ ! ∧ ∀! ! ∈ ! ∧ ! ! → ! ∪ ! ∈ ! ).

(Q17) [Regularidade] (Os q-sets são bem-fundados): ∀!!(! ! ∧

! ≠!∅ → ∃!! ! ∈ ! ∧ ! ∩ ! =! ∅ ).

Naturalmente esse axioma levanta um outro conjunto de questões. Se m-átomos são para serem pensados como representando partículas elementares, então, aparentemente, nós enfrentamos o velho problema de dividir continuadamente um certo objeto e o nosso axioma poderia sugerir que nós propomos que tal ‘divisão’ terá um fim. Mas, claro, isso não é assim para os axiomas, falando em termos de q-sets; todo q-set tem um q-set como elemento com o qual não há elementos em comum, mas nada é dito sobre átomos. Segundo French e Krause, com relação a essas questões, ainda permanece o problema relativo a uma mereologia apropriada, por isso não discutiremos esse problema aqui [Para maiores detalhes ver (FRENCH E KRAUSE, 2006, p. 281)].