Base conceitual

O formalismo de Frege est´a apoiado em uma interessante base de conceitos e distinc¸˜oes entre eles, a qual descrevo abaixo.

Sem sujeito e predicado

Na l´ogica Aristoteliana, cuja tradic¸˜ao predominava at´e o s´eculo XVIII, afirmac¸˜oes eram compostas por sujeito e predicado.11 Na linguagem comum, essa estrutura tem utilidades: po- demos, por exemplo, escolher entre as afirmac¸˜oes“Os Gregos derrotaram os Persas em Plat´eias”

e“Os Persas foram derrotados pelos Gregos em Plat´eias” e assim direcionar a atenc¸˜ao do leitor para o sujeito adequado, fazendo com que ele perceba mais facilmente a relac¸˜ao da frase com o restante do texto.

Como dito anteriormente, por´em, a Begriffsschrift foi criada para representar o ‘pensa- mento puro’. Dado um ju´ızo, Frege tencionava expressar deste somente a parte logicamente relevante, aquilo que faz outras afirmac¸˜oes serem ou n˜ao conseq¨uˆencias suas e vice-versa; para esse prop´osito, portanto, distinc¸˜oes como a mencionada acima n˜ao s˜ao necess´arias. Assim, ao inv´es de decompor afirmac¸˜oes em sujeito e predicado, Frege o fez, influenciado pelo exemplo da Matem´atica, atrav´es de func¸˜ao e argumentos.12

Func¸˜oes e objetos

Frege distingue entre o que ´e saturado, ‘completo em si’, e o que ´e insaturado, incompleto. O numeral “3” e a express˜ao “2+ 3”, por exemplo, tˆem um sentido completo: o primeiro

representa o n´umero 3 e a segunda o n´umero 5. Nesse sentido, Frege chama de objeto tudo

11_{[30], sec¸˜ao 4.} 12_{[35], p´ag. 12,§3.}

aquilo que ´e saturado. Atente para o fato de que, no exemplo em quest˜ao, os objetos s˜ao os n´umeros 3 e 5; “3” e “2+ 3” s˜ao apenas nomes para eles.

Consideremos agora a express˜ao “x+ 3”. Ela n˜ao representa um n´umero por si s´o; isso

acontece apenas quando substituimos a letra “x” pelo nome de um n´umero qualquer.13 Nesse sentido, “x+ 3” ´e um nome para algo incompleto. Aquilo que ´e insaturado, que necessita ser

completado (e que portanto n˜ao ´e um objeto), Frege chama de func¸˜ao. Aquilo que completa uma func¸˜ao em um determinado caso ´e chamado de argumento da func¸˜ao naquele caso, e aquilo que se obt´em em um tal completamento ´e chamado valor da func¸˜ao para aquele argumento. Os ‘lugares’ em que uma func¸˜ao precisa ser completada s˜ao chamados de lugares dos argumentos; as ocorrˆencias da letra “x” em “(2 + 3x2_{)x” servem, portanto, para indicar os lugares dos argu-}

mentos da func¸˜ao nomeada por essa express˜ao. Seguindo Frege, a letra “ξ” (e n˜ao “x”) ser´a, daqui para a frente, usada com essa finalidade.

Func¸˜oes de dois argumentos necessitam ser completadas duplamente, no sentido de que o

que se obt´em quando os lugares de um dos seus argumentos s˜ao completados ´e uma func¸˜ao de um argumento; um novo completamento deve ser realizado sobre esta ´ultima para que o valor da func¸˜ao original seja obtido. Usando-se a letra “ζ” para indicar um segundo argumento, “(ξ+ζ)2₊ζ_{” ´e portanto um nome para uma func¸˜ao de dois argumentos, “(}ξ_{+ 1)}2_{+ 1” ´e um}

nome para a func¸˜ao que obtemos completando com 1 os lugares do argumento indicado por “ζ” da func¸˜ao anterior, e “(3 + 1)2_{+ 1” ´e um nome para o valor da primeira func¸˜ao no caso dos}

argumentos 3 e 1, respectivamente.14

Valores-verdade, conceitos e relac¸˜oes

Os valores de func¸˜oes, entretanto, n˜ao precisam ser n´umeros. “ξ2 = 4” e “ξ > 2”, por

exemplo, s˜ao nomes v´alidos de func¸˜oes, cujos valores, dependendo do argumento, s˜ao ou Ver-

dadeiro ou Falso.15 Estes ´ultimos s˜ao chamados valores-verdade, e fazem parte do dom´ınio dos objetos em considerac¸˜ao no Formalismo. Por meio disso ´e que Frege permite que o esquema de func¸˜ao e argumentos substitua o de sujeito e predicado: ao inv´es de estruturar afirmac¸˜oes de acordo com o segundo esquema, ele o faz atrav´es do primeiro, utilizando func¸˜oes cujos valores s˜ao sempre valores-verdade.

13_{Aqui a palavranome j´a est´a sendo usada no sentido de uma express˜ao qualquer que representa algo. Assim,}

“7” ´e um nome para o n´umero 7, mas “5+ 2” tamb´em o ´e.

14_{Em [13], p´ag. xxxi, Furth diz que, na pr´atica, Frege n˜ao precisa de func¸˜oes de mais que dois argumentos.} 15_{Aqui e em par´agrafos anteriores, a exemplo do que Frege faz em seu texto, foi feito uso de s´ımbolos co-}

mumente usados na Matem´atica mas ainda n˜ao definidos naBegriffsschrift. Isso ´e feito apenas com a intenc¸˜ao de facilitar as explicac¸˜oes; na realidade, uma express˜ao como “3> 2” s´o pode aparecer no formalismo de Frege depois de os s´ımbolos “3”, “>” e “2” terem sido definidos.

Frege chama de conceito as func¸˜oes de um argumento cujos valores s˜ao sempre valores- verdade. Assim, por exemplo, “ξ > 2” ´e um conceito no qual se enquadram apenas os n´umeros

maiores que dois. Analogamente, func¸˜oes de dois argumentos cujos valores s˜ao sempre valores- verdade s˜ao chamadas de relac¸˜oes; assim, por exemplo,ξ <ζ ´e uma relac¸˜ao segundo a qual 1 e 2 est˜ao, nessa ordem, relacionados.

Sentido e denotac¸˜ao

Em 3.2 (p´ag. 36), ressaltou-se a diferenc¸a entre o que nomeia e o que ´e nomeado. Na terminologia de Frege, um nome denota aquilo que ele nomeia. Assim, por exemplo, 4 ´e a

denotac¸˜ao tanto de “2+ 2” quanto de “22”.16 Estas duas ´ultimas express˜oes, por´em, n˜ao s˜ao iguais, assim como n˜ao o s˜ao as ‘id´eias’ que elas nos passam. Isso, que ´e mais pr´oximo do que geralmente entendemos como o ‘significado’ de uma express˜ao, Frege chama de seu sentido. Assim, “22= 4” e “3 > 2” denotam o mesmo objeto (a saber, o valor-verdade Verdadeiro), mas

n˜ao expressam o mesmo sentido. O mesmo tamb´em se aplica a func¸˜oes: as express˜oes “4ξ” e “3_{· (3}ξ_{− 2) − 5}ξ+ 6” denotam a mesma func¸˜ao, mas tˆem sentidos diferentes.17 _{Um ´ultimo}

termo: Frege chama o sentido de um nome de um valor-verdade de pensamento.