APÊNDICE XIV Bibliografia consultada ao longo do estágio
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA AO LONGO DO ESTÀGIO
La conservation de la masse de l’air s’exprime par son écpiation de con
• des A’ constituants chimicjues gazeux
tinuité
60 Chapitre 3: Aspects mathématique
qui relie la masse spécifique de l’air p au champ de vitesse du vent v. En utilisant l’égalité: V(pv) = v.Vp + pVv, l’équation de continuité (3.3) peut s’écrire sous la forme d’une différentielle totale:
± = lp + v.Vp = -pVv (3.4)
3.3.3 Conservation de la quantité de mouvement
Dans un référentiel fixé à la Terre, la conservation de la quantité de mouvement peut s’exprimer par l’écpiation vectorielle suivante [117]:
dv 1
— — —v.Vv---Vp + g — X V + T (3.5)
ut P
où
V est le vecteur de la vitesse du vent,
P est la masse spécificiue de l’air,
IVp est la force du gradient de pression, g est la force de gravité,
n X V est la force de Coriolis,
f2 est le vecteur de la vitesse angulaire de rotation de la Terre (O = 7.292 X 10-® rad.s-^), et
T sont les forces de friction par unité de masse.
Les forces de friction peuvent être négligées dans l’homosphère car le coefficient de diffusion moléculaire est très faible (~ 1.5 x 10“^ m^.s“^).
Si nous choisissons un système d’axes de coordonnées {x,y,z) fixé à la surface terrestre tel que défini à la figure 3.1, en fonction de la latitude $ et de la longitude A, le produit vectoriel de la force de Coriolis s’exprime suivant les trois composantes de la quantité de mouvement par les expressions [111]:
2Clv sin $ — 2Q.W cos $ suivant x
—2fîîisin$ suivant y (3.6)
2Çlu cos $ suivant z où (u,v,w) sont les composantes du vent.
Dans la première expression, le terme en tu peut être négligé puisciue la vitesse verticale est de plusieurs ordres de grandeur inférieure à la vitesse horizontale. De plus, la composante verticale de la force de Coriolis est de plusieurs ordres de grandeur inférieure aux autres termes de l’équation 3.5 suivant z et est donc négligée.
3.3: ËqU(ition.<> primitives 61
Figure 3.1: Système de coordonnées {x,y,z) lié à la Terre.
Les composantes de l’équation de la quantité de mouvement peuvent s’écrire de la manière suivante:
du du du du 1 dp — + U— + V— + tü— = —TP + feV dt dx dy dz P dx dv dv dv dv 1 dp ôT + + "âi; + “’âî = Pâi; -diu dw dw dw 1 dp (3.7)
OÙ fc = 2fl sin $ est le paramètre de Coriolis.
3.3.4 Conservation de l’énergie
L’équation de conservation de l’énergie peut être dérivée des lois de la thermodynamique pour prendre la forme suivante [117]
d9y _ 9y
ir ~ 7^. (3.8)
où
9y est la température potentielle virtuelle définie par l’expression:
9y = Ty 1000 y P P )
(.3.9)
P est la pression atmosphérique (mb),
Cp=1004 J.kg“LK“^ est la chaleur spécificjue de l’air sec à pression con
stante,
62 Chapitre 3: Aspects mathématique
Se est le taux de réchauffement diabatique par unité de masse (J.kg~'.s~* ). Les sources et les pertes principales du réchauffement diabatique sont:
-l’absorption des radiations solaires,
-l’absorption et l’émission des radiations dans l’infra-rouge, -les changements de phase de la vapeur d’eau.
La dissipation d’énergie par mouvement moléculaire peut être négligée dans l’homosphère en raison de la très faible valeur du coefficient de diffusion moléculaire.
3.3.5 Conservation de la vapeur d’eau
L’abondance de l’eau dans ses trois phases peut s’obtenir à l’aide d’une équation de conservation pour chaque phase:
^ = 5,. i= 1,2,3 (3.10)
OÙ qi, Ç2 et cj3 sont les rapports de masse de l’eau sous forme de vapeur, liquide
et solide. 5',, représente les différents processus de changement de phase et de production ou perte chimicpie. Dans la troposphère, les changements de masse par les réactions chimiques sont négligeables et les différents processus intervenant dans le calcul de 5',, sont les suivants:
Sqi = (-févaporation - condensation) -f- ( -fsublimation - déposition)
Sq2 = (+fusion - congélation) + (-|-condensation - évaporation) -|- (-[-précipitation du dessus - précipitation vers le bas)
5,3= (-l-congélation - fusion) -h(-{-déposition - sublimation) + (-t-précipitation du dessus - précipitation vers le bas)
3.3.6 Conservation des constituants chimiques
Pour tous les composés gazeux considérés nous avons à écrire une équation de conservation. Nous utilisons une équation similaire à celle de la vapeur d’eau, mais qui exprime la conservation du rapport de mélange /:
(.3.11)
où Sni représente les termes de production et de perte photochimiques qui sont fonction des concentrations des gaz.
La concentration n, d’un gaz i se calcule en utilisant la loi des gaz parfait, si on connait le rapport de mélange /,, par la relation
3.4: Simplification des équations 63
Table 3.1: Nomenclature des échelles caractéristiques des phénomènes de trans port atmosphériques, d’après .Atkinson 199-5.
Echelles
Micro Méso Synoptique
Période < 1 hr 1-48 hr > 48 hr
Longueur d’onde < 20 km 20-500 km > 500 km
où P est la pression (mb), Nav — 6,02 x 10^^ est le nombre d’Avogadro, Rd = 8,3143 .J.K“^mole~* est la constante universelle des gaz et T„ est la température virtuelle (K).
L’ensemble des N équations de continuité des constituants gazeux forme un système non-linéaire dont les valeurs propres (temps de vie photochimique) sont fortement dispersées.
3.4 Simplifications des équations
Les équations de conservation que nous avons définies précédemment sont exprimées en fonction des opérateurs différentiels (dldt,d/dxi) et peuvent être discrétisées en termes de différences finies St, Sx, Sx, Sy et Sz pour autant que ces différences tendent vers zéro. Cependant, l’atmosphère étant considérée comme un milieu continu, ces diférences doivent être nettement supérieurs au rayon moyen des molécules. Actuellement les valeurs utilisées de ces différences sont de l’ordre du centimètre et de la seconde [193]. Or nous désirons résoudre ces équations avec une résolution de l’ordre d’une dizaine de kilomètres au- dessus d’Hawaii et de plusieurs centaines de kilomètres dans les régions distantes d’Hawaii. Une telle résolution permet de simuler correctement les phénomènes à méso-échelle, d’après la classification de Atkinson [10] reprise au tableau 3.1.
Les variables dépendantes sont décomposées en une variable moyenne explicitement résolue et une variable fluctuante qui doit être exprimée en fonction des variables moyennes.
Une variable est décomposée suivant l’expression:
A = Â + X" (3.13)
où A' est la valeur moyenne de X: y
64 Chapitre 3: Aspects mathématiciue
et X" est la déviation de X par rapport à la moyenne, appelée généralement
perturbation à sous-échelle.
Les intervalles At, A.r, Ay, A~ sont supérieurs à la minute pour l’intervalle de temps et à la centaine de mètres pour les intervalles d’espace (cf. tableau 3.1) La moyenne d’une cjuantité obéit aux règles suivantes:
A" = 0, dx dt dX dx dt ’ d^j dx dxi etc. (3.15)
Si l’on substitue les variables dans les éciuations par la somme d’une variable moyenne et d’une fluctuation nous obtenons une écpiation cpii peut être moyennée par une expression similaire à 3.14 tout en suivant les règles définies en (3.15). Ces équations se simplifient si l’on fait les approximations suivantes
1. Approximation de Boussinesq: Les variables moyennes à méso-échelle A' peuvent s’exprimer en terme d’une variable cpii ne dépend que de l’altitude A'^o(-^) et d’une perturbation X'. La variable A"o est la moyenne intégrée, sur plusieurs centaines de kilomètres et sur plusieurs heures, de A'. Elle corre spond donc à une variable à l’échelle synopticjue. Cette décomposition est réalisée pour la pression p [p = Po+p'), la masse spécifique p {p = po-\-p') et la température {T = Tq + T'). L’approximation de Boussinescj consiste, de plus, à traiter la masse spécifique comme une constante dont les variations sont dues à de faibles perturbations, excepté cjuand elle est couplée avec la gravité [117].
2. Approximation hydrostatique: La force de gravité est entièrement com pensée par le gradient vertical de pression, à l’échelle synoptique [117].
1 dpo
--- == 9
po dz (3.16)
Martin et Pielke [168] ont montré cpie cette approximation est toujours valide pour des longueurs d’échelle supérieures à une dizaine de kilomètres. 3. Approximation d’anélasticité: Pour les mouvements à l’échelle synop tique, le flux de masse d’air est non-divergent. L’écpiation de continuité se résume donc au terme de divergence:
V.(pov) = 0 (3.17)
où
Po est la masse spécifique de l’air moyenne à l’échelle synoptique, V est le vecteur de la vitesse instantanée.
65
Les développements de substitution de variables, d’intégration moyennes des équations et de simplification peuvent être trouvés dans des ouvrages de référence [193]; [222]; [10]. Nous donnerons ici uniquement la forme finale des équations:
3. i: Siniplifîcation des équations
dt ^_du ^ l dpoW'u'j 1 dp ^ ^ ---L.--- S--- + 0 = 1, ••,3) j dxj y po dxj podx dv ^__ ( = dv 1 dpov"uJ 1 dp >5--- ---b--- ^--- Ü = l,”,3 dxj y po dxj podij dw dw 1 dpow"u" 1 dp' p' dt drïi dt dxj J po dxj po dz po9 = —U .dûi 1 dpou'X _ , + ^nii l — J-, ”, dxj Po dxj dp _ dpuj dp"u'-dt dxj dxj ^ _ 1 dpou'X — dt •' dxj Po dxj ^
d9i —dqil dpou'X , — . , O
^ =---X---\-Sgi 1= 1,2,3 dt dxj Po dxj (3.18) (3.19) (3.20) (3.21) (3.22) (3.23) (3.24)
où S'ni, Se, Sgi sont les termes de perte et de production intégrés sur les intervalles
At, Ax, Ay, Az,
les variables ( )o, ( )’ et ( )” sont respectivement les variables moyennées
sur tout le domaine, les variables à meso-échelles apparues en introduisant l’approximation de Boussinesq, et les variables à sous-échelle cpii sont paramétrisées.
Nous voyons cpie pour chacune de ces équations primitives simplifiées nous avons une nouvelle inconnue, à savoir le terme de corrélation entre fliuctuations {overlineii"u'j, u'ju't,...) qui est appelé flux turbxdent. Nous avons d’autre part deux inconnues supplémentaires: les perturbations à sous-échelle pour la masse spécifique (p')
et la pression {p'). Cette dernière variable est calculée à partir d’une équation évolutive qui est dérivée de l’équation de continuité. Après cjuelques développements détaillés par exemple par Atkinson [10], nous obtenons l’équation suivante:
dp' _ -^düj dp' 'fp-^ .
J J •'
(3.25)
où 7 = CpjCy est le rapport entre les chaleurs spécifiques à pression et à volume constants.
66 Chapitve 3: Aspects mathématuiue
La fluctuation de la masse spécifique peut être calculée par la relation suivante [193]:
, PO, T P
P = p — [7fT--- )
P Tq po
(3.26)
où T' = T — Tq(z) est la fluctuation de la température absolue autour d’une valeur de référence Tq{z).
Les valeurs de référence po, Tq et po sont précalculées en intégrant respectivement les variables p, 9, p sur tout le domaine horizontal et la période de simulation pour chaque niveau vertical.
3.5 Transformations des coordonnées
3.5.1 Transformation des coordonnées horizontales
Le choix d’un système de coordonnées doit permettre une plus grande simplicité des équations et éviter d’introduire des points de discontinuité. Dans le cas des modèles globaux, il est en général fait usage d’un système de coordonnées lié à la surface terrestre et dont l’axe x est dirigé le long d’un paralèle, l’axe y
suivant un méridien et 2 suivant l’altitude comptée à partir du sol (cf. figure 3.1). Un tel système d’axes est non cartésien et les modèles à méso-échelle, ayant un domaine limité, utilisent un plan de projection où l’on peut définir un système cartésien. La surface de projection est un plan interceptant la Terre dans la région étudiée et la projection est de type conforme (Mercator, Lambert, stéréo- polaire) et un choix particulier se fonde sur la latitude du domaine: pour la région équatoriale, la projection de Mercator est utilisée; aux latitudes moyennes ce sera la projection de Lambert alors qu’un domaine proche des pôles est projeté sur un plan stéréo-polaire. A part la projection stéréo-polaire, tous ces systèmes de coordonnées ont un point de discontinuité aux pôles. Les pôles nécessitent donc un traitement particulier qui détériore en général la solution. Un autre problème qui se pose avec ces deux premiers systèmes de coordonnées est la connectivité entre les bords fictifs du domaine, la Terre étant une sphère. Ce problème se pose principalement pour la résolution des phénomènes de transport lors de fiux traversant ces bords: une masse d’air traversant le côté droit du domaine doit traverser identiquement le côté gauche pour assurer la continuité.
Pour la résolution des variables météorologiques nous utilisons une pro jection de Mercator et pour la résolution des variables chimiques nous employons la projection stéréopolaire.
67
3.5: Translonuations des coordonnées
B
Figure 3.2: Géométrie de la projection stéréopolaire. Les arcs AB et CD sur la surface de la Terre sont projetés respectivement sur les lignes A’B’ et C’D’.
Projection stéréopolaire
La projection stéréopolaire est une projection conforme cpii préserve la forme d’une surface, mais non ses dimensions. Line distance s mesurée sur la surface terrestre est liée à la distance projetée Sp par la relation (figure 3.2):
1 + sin
Sp s ,
1 + sm $ (3.27)
où
m = est le facteur d’échelle de la projection, ^ est la latitude,
est la "vraie” latitude.
La vraie latitude correspond à la latitude du plan de projection, en supposant cpLil est parallèle au plan éciuatorial. Hawaii est situé autour de 20*^ N et nous avons donc choisi = 20° N. Sur ce plan nous définissons un système d’axes cartésiens (.r, y, 5) dont l’origine correspond au pôle nord, l’axe x suit le méridien de Greenwich et l’axe ÿ suit le méridien de longitude 90°O (cf. figure 3.3). Le système de coordonnées (x, y) ainsi choisi est cartésien.
Les écpiations (3.18)-(3.2-5) ciui ont été exprimées dans les axes (x,y,z),
peuvent être transformées vers le nouveau système (.r,j/, I) après une série de transformations ciui peuvent être trouvées dans la littérature [193]. Les données globales qui servent à initialiser les variables et les paramètres sont en général exprimées dans le système d’axes (A, $). Il est donc utile de rappeler les relations entre ces coordonnées et les coordonnées cartésiennes (.r,ÿ) qui sont les suivantes
X y
II
m a cos $ cos A
68 Chapitre 3: Aspects mat hématique <p=90 North
Figure 3.3: Système de coordonnées {x, ÿ) utilisé sur le plan de pi-ojection stéréo- polaire cpii coupe la surface terrestre à une latitude de 20° Nord. L’axe x suit le méridien de Greenwich et l’axe y suit le méridien de longitude 90° Ouest.
où a est le rayon terrestre (6371 km). Quant aux vecteurs [u,v,iu) projetés sur (ù,ù, lè), ils sont liés entre eux par les relations
/ - > U / —msin A —m. cos A 0 >1 f \ II V • = -t-m cos A —777. sin A 0 < V ib y V 0 0 1 ^ 10 Projection de Mercator
La projection de Mercator est une projection conforme dont le facteur d’échelle m est donné par la formule (figure 3.4):
m = cos4>^ (3.30)
où $1, est la vraie latitude.
Le système d’axes cartésiens (x,ÿ,z) est choisi de sorte que l’origine est placée à l’intersection entre l’équateur et le méridien de Greenwich, ÿ est dirigé vers le nord suivant un méridien, x est dirigé vers l’est suivant un parallèle et z est l’altitude comptée à partir du sol. Les relations entre les coordonnées sphéricpies (A,$, z) et Mercator [x,ÿ,z) sont les suivantes
X Ù II >. J
ma X
m a In [[ cos$ (3.31)
Figure 3.4: Géométrie de la projection de Mercator. Les arcs AB et CD sur la surface de la Terre sont projetés sur A’B’ et C'D’.
3.5.2 Transformation de la coordonnée verticale.
Coordonnée verticale a
La plupart des modèles utilisent une coordonnée verticale indépendante de la topographie, en prenant le rapport entre la pression, p, et la pression au sol, ps- Afin d’atténuer la déformation due au relief, la coordonnée verticale au sommet du domaine représente un niveau de pression, pt (figure 3.5). La nouvelle coordonée verticale cr est définie par la relation:
.X = ,3 32)
Ps{x,lJ,t) - Pt
Calcul du vent vertical en coordonnée a
Pour le calcul de la vitesse verticale il faut distinguer deux cas, celui de l’approximation hydrostatique et le cas non-hydrostaticpie. L’approximation hydrostaticpie suppose cpie les fluctuations de la vitesse verticale sont négligeables face à la gravité et au gradient vertical de pression. 11 n’y a donc plus d’équation évolutive pour la vitesse verticale. Cependant, sa valeur peut être déterminée à partir de l’équation de continuité. En introduisant la variable p* telle que
p*{x,y,t) = ps{x,y,i)- Pt (3.33)
l’écpiation de continuité, exprimée dans le système de coordonnées (.r,j/, a), de vient
dp* ^ dp*ü dp*v ^ dp*à
70 Chapitre -i: Aspects mathématique s ai level n* I) adevel n) a ( tevel 2) a ( level I ) a = 0
Figure 3.5: Coordonnée verticale a ciui suit la surface terrestre produisant un système d’axes non-orthogonaux en présence de reliefs mais dont l’effet s’atténue avec l’altitude.
En imposant l’équation évolutive suivante pour la pression de surface,
dp* _ r
dt Jo
^.\dp*ü ^ dp*v (1er dx dy
il est nécessaire que à satisfasse l’éciuation
• _ ^ r \dp* dp*ü dp*v
P* Jo ^ dx dy der'
(3.35)
(3.36)
où cr' est la variable d’intégration telle ciu’à la surface (cr = 1 ) la vitesse <7=0. Dans le cas non-hydrostatique, nous avons une écpiation déterministe pour la vitesse verticale tu (équation 3.20) et la perturbation de pression p' (éciuation 3.25). La pression s’obtient alors par la relation
p(x,y,a,t) = p*{x,y,t)a + Pt A p'{x, y,a,t) (3.37)
En admettant que les variables synoptiques satisfont l’approximation hydrosta tique dp = —pogdz, en remplaçant p par la relation précédente et en isolant d, on obtient cr = (la dt _£o£çk _ p* dt dt = a-Ar-udx — a-Az-v (3.38) (3.39)
J.O: PaiHinctrisation des üiix turbulents 71
3.6 Paramétrisation des flux turbulents
Les termes de divergence du flux turbulent, tels que —, sont apparus en moyennant les écpiations primitives quand les variables instantanées ont été exprimées sous la forme d’une variable moyenne (A") et d’une variable fluctuante (A'"). La spécification de ces termes en fonction des autres variables est appelée
le problème de fermeture des équations car le nombre d’inconnues est supérieur au nombre d’équations [222]. Il est possible de développer des équations pour les flux turbulents inconnus (A'"«"), qui sont des termes du second ordre. Mais ces nouvelles équations font apparaître de nouvelles inconnues du troisième ordre (produit de trois quantités turbulentes). .Au fur et à mesure cpie de nouvelles équations sont ajoutées, de nouvelles inconnues apparaissent. Pour pallier ce problème, les variables turbulentes inconnues sont paramétrisées en fonction des variables et des paramètres connus. Ces paramètres sont généralement déterminés à partir de données observées ou de modèles plus complets. L’ordre de fermeture correspond à l’ordre du produit des variables turbulentes cjui sont paramétrisées: la paramétrisation des termes (A'"ù") en fonction de A'^ et de ùj est une fermeture du premier ordre. La plupart des modèles atmosphéricpies se limitent au premier- ordre de fermeture et les flux turbulents sont paramétrisés à l’aide d’un coefficient de diffusion turbulente par analogie avec la viscosité.
.Ainsi pour un fluide Newtonien, la contrainte de cisaillement (force viscjneuse par unité de surface) peut être approchée par
dv
T = (3.40)
où U est le coefficient de viscosité cinématique, p est la masse spécificiue de l’air et dvjdz est le cisaillement.
Par analogie, on peut s’attendre à ce cpre la contrainte turbulente puisse également s’exprimer en utilisant le terme de cisaillement {Ôw/dz) si l’on fait correspondre à la viscosité moléculaire u une viscosité turbulente K-m- Il existe des différences entre u et Km- Premièrement la valeur de i/ = 1.5 x 10~® m^.s“* est nettement plus faible que Km dont les valeurs typiques varient entre 1 et 10 m^.s“* [222]. Deuxièmement u est une fonction du fluide alors que Km est une fonction de l’écoulement et doit être paramétrisé en fonction d’autres variables. Dernièrement il faudrait considérer un coefficient Km différent pour les flux turbulents de la chaleur, de la quantité de mouvement et pour chaque composé gazeux à trans porter, y compris la vapeur d’eau.
Il existe une évidence expérimentale qui suggère que le coefficient Km pour la vapeur d’eau et la chaleur sont identiques [222]. Par simplicité et par manque de données, on fait l’hypothèse que le coefficient Km pour la vapeur d’eau et les autres composés gazeux sont identiques. Nous discuterons de la paramétrisation de ces coefficients Km cinquième chapitre.
72 Chapitre S: Aspects mathématique